Contenido General - Evaluación Exámenes 1 30% Probabilidad, distribuciones discretas y continuas 2 35% Muestreo, estimación de intervalos, prueba de hipótesis 3 20% Regresión, componentes principales, clusters Tareas 15% Regresión – Componentes Principales - Clusters

Revisión de los Conceptos Básicos de Probabilidad Tema 1

Contenido programático Espacio muestral y axiomas de probabilidad Probabilidad condicional e independencia Variables aleatorias discretas y continuas Medidas de tendencia central y dispersión Principales distribuciones discretas y continuas Variables aleatorias bidimensionales

Términos básicos Experimento: es el proceso de obtener una observación Eventos Simples: Cualquier resultado básico de un experimento. Un evento simple no se puede descomponer en resultados más simples. Ej.: ¿Cuáles son los eventos simples asociados al lanzamiento de un dado? Espacio Muestral (S): Es la colección de todos los eventos simples de un experimento. Ej.: ¿Cuál sería el espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado? En la mia se inicia por espacio muestral, como está aquí se habla de el e. muestral sin definirlo. Cambiar.el orden.

Términos básicos Eventos: Colección de elementos simples. Subconjunto del espacio S. Ej.: Un evento de lanzar un dado puede ser: A : {1,3,5} Donde A sería el evento en el cual el resultado obtenido es un número impar.

Diagramas de Venn Los diagramas de Venn son útiles para representar probabilidades. Ej.: Probabilidad de pertenecer a uno cualquiera de tres conjuntos.  

Operaciones elementales Unión El evento Unión (A  B) consiste de todos los eventos simples que estan contenidos en A o B y en ambos. A  B puede ser descrito como que ocurre por lo menos uno de los dos eventos A o B.   A B A  B

Operaciones elementales Intersección El evento Intersección (A ∩ B) consiste de todos los eventos simples comunes de A y B. A ∩ B puede ser descrito como que ocurren ambos eventos A y B.   A ∩ B

Operaciones elementales Complemento El evento A’, llamado complemento de A, consiste de todos los eventos simples que no están en A. A’ significa que el evento A no ocurra.   A’ A

Eventos Disjuntos Eventos disjuntos: Dos eventos son disjuntos si no pueden ocurrir al mismo tiempo, en otras palabras, ellos no tienen eventos simples en común. A y B son disjuntos si A ∩ B = Ǿ En el siguiente diagrama de Venn A y B son disjuntos porque su intersección es el conjunto vacío. B y C no son disjuntos.   A B C

Interpretación frecuentista de Probabilidad Generalmente, la probabilidad de un evento puede pensarse como la proporción de veces que se espera que el evento ocurra.  

Axiomas de la probabilidad Para cada evento, A, se asigna la probabilidad del evento, tal que: Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Axioma 2: P(S ) = 1 Axioma 3: Si A1, A2, A3, ..., An son disjuntos dos a dos: P(A1  A2  A3 ...An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + … P(An)   Caso particular: Dos eventos disjuntos cualesquiera A y B, P(A  B ) = P(A) + P(B)

Eventos complementarios Si el evento A no ocurre, decimos que su complemento A’ ha ocurrido y viceversa. Las probabilidades de A y A’ estan relacionadas por la fórmula: P(A’) = 1 – P(A)   A’ A

Regla general de la suma Cuando un evento se expresa de la forma A ∪ B, su probabilidad puede calcularse a través de la siguiente fórmula: P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Para 3 conjuntos: P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) -P(A ∩ B) -P(A ∩ C) - P(B ∩ C) +P(A ∩ B ∩ C)  

Operaciones elementales Ejercicio De los voluntarios que llegan a un banco de sangre, 1 de 3 tiene sangre tipo O+; 1 de 15, tipo O-; 1 de 3, tipo A+; y 1 de 16, tipo A-. Se selecciona al azar el nombre de un donante de los registros del banco. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada tenga Sangre tipo O+? Sangre tipo O? Sangre tipo A? Sangre que no es del tipo A, ni O?

Ejercicio La siguiente tabla muestra un resumen de una encuesta realizada a 500 personas en referencia a su posición frente al aborto: A favor En contra Total Mujeres 200 100 300 Hombres 50 150 250 500 Si aleatoriamente se selecciona una persona de entre las 500, ¿cuál es la probabilidad de que: El encuestado esté a favor de la legalización del aborto? El encuestado sea hombre y esté en contra de la legalización del aborto? Quitar o cambiar

Ejercicio La siguiente tabla muestra un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos: La curvatura cumple con los requerimientos El acabado superficial cumple con los requerimientos Sí No 345 5 12 8 Si se toma una flecha al azar ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado superficial? ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de acabado o con los de curvatura? ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado o que no cumpla con los de curvatura? ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado y curvatura?

Probabilidad Condicional Sean A y B dos eventos con P(B) > 0. La probabilidad condicional de A con respecto a B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurre B:   Hay ocasiones en las que nos interesa alterar nuestra estimación de la probabilidad de un evento cuando poseemos información adicional que podría afectar el resultado. Esta probabilidad modificada se denomina probablidad condicional del evento. (Mendenhall) En ocasiones, el conjunto de todos los resultados posibles puede constituir un subconjunto del conjunto universal. En otras palabras, la población de interés se puede reducir mediante algun subconjunto de condiciones no aplicables a la población total. Cuando se calculan las probabilidades con un subconjunto del conjunto universal como denominador, eñ resultado es una probabilidad condicional.

Probabilidad Condicional Ejemplo: Probabilidad de que un test de embarazo de positivo sabiendo que la persona está embarazada Dos moléculas raras tienen a encontrarse siempre juntas. La probabilidad de que una muestra de aire contenga alguna de las dos moléculas es pequeña. Sin embargo, como éstas tienden a aparecer juntas, el conocimiento de que una de ellas está presente aumenta de manera muy marcada la posibilidad de que la otra también esté presente en la muestra.  

Ejercicio La siguiente tabla muestra un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos: La curvatura cumple con los requerimientos El acabado superficial cumple con los requerimientos Sí No 345 5 12 8 Se escoge una flecha y se observa que cumple con los requisitos de curvatura. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado?

Eventos independientes Dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurra uno no afecta la ocurrencia del otro Luego:  

Eventos independientes En un grupo de estudiantes de bachillerato que consta de 60 mujeres y 40 varones, se observa que 24 chicas y 16 muchachos usan lentes. Además, se sabe que si un estudiante es elegido aleatoriamente la probabilidad de que el estudiante use lentes es 40%=0.4 Considerando esto, Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente use lentes dado que es un estudiante varón ¿Puede usted afirmar que ambos eventos son independientes en este grupo?

Eventos independientes   ¿Que los eventos sean independientes significa que los eventos son excluyentes?

Encuesta encubierta Se desea determinar el porcentaje de homosexuales en el Zulia, dado que el ser homosexual no es ampliamente aceptado en la sociedad no podemos hacer preguntas directas, para ello utilizamos ítems del tipo: Es homosexual o es fumador, de manera que la persona conteste con honestidad. Por ejemplo: Si Ud. fuma o es homosexual responda la siguiente pregunta … Es importante que el evento de interés en este caso ser homosexual sea relacionado con eventos independientes a él, tales como ser fumador, hacer deporte, etc.  

Encuesta encubierta P(F) Probabilidad de ser fumador (Conocida) P(H) Probabilidad de ser homosexual (Buscada) F y H son eventos independientes P(F  H) = P(F) + P(H) – P(F ∩ H) [Unión] P(F  H) = P(F) + P(H) – P(F)*P(H) [F y H Independientes] Despejamos P(H) y resulta:  

a.- P(A) b.- P(B\A) c.- P(B) d.- P(A\B) e.- P(A U B) La siguiente tabla muestra porcentaje de mujeres adultas desglosadas por estado civil y número de hijos en el pueblo de Macondo : Número de hijos Casadas Solteras Totales 0.30 0.10 0.40 1 0.15 0.05 0.20 2 3 0.06 0.04 4 0.01 5 ó más 0.07 0.03 Total 0.72 0.28 1.00 Suponga que de este conjunto se toma al azar una mujer. Sean A: el evento la mujer tiene cuatro o más hijos y B: el evento estar casada. Hallar: a.- P(A) b.- P(B\A) c.- P(B) d.- P(A\B) e.- P(A U B)

Teorema de Probabilidad Total La probabilidad de infarto para hipertensos es del 0,3% y para no hipertensos del 0,1%. Si la probabilidad de hipertensión en una cierta población es del 25% ¿Cuál es la probabilidad del infarto en esa población? A1 A1 = {ser hipertenso} A2 = {no serlo} (estos sucesos constituyen una partición) B = {padecer infarto} P(B) = ? B A2 Recordemos que:

Teorema de Probabilidad Total A1, A2,…, A6, forman una partición del espacio muestral. A2 A3 A6 B A1 A5 A4

Teorema de Bayes Por definición de probabilidad condicional se tiene: Hacer notar que el denominador es P(B) y viene de la lámina anterior

Teorema de Bayes Para el caso de una partición en dos conjuntos A y AC: Hacer notar que el denominador es P(B) y viene de la lámina anterior

Teorema de Bayes. Ejercicio Cuando los artículos llegan al final de una línea de producción, un supervisor escoge los que deben pasar por una inspección completa; 10% de todos los artículos producidos son defectuosos; 60% de todos los artículos defectuosos y 20% de todos los artículos buenos pasan por una inspección completa. ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso, dado que pasó por una inspección completa? Cambiar por uno que tenga más sentido

Teorema de Bayes. Ejercicio El departamento de meteorología ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: Que llueva: probabilidad del 50% Que nieve: probabilidad del 30% Que haya niebla: probabilidad del 20% Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: Si llueve: 20% Si nieva: 10% Si hay niebla: 5% Resulta que Ud, que estaba de viaje, escuchó en la radio que ocurrió un accidente el fin de semana ¿cuál es la probabilidad de que estuviera nevando?

Teorema de Bayes. Ejercicio Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos. En el pasado, el 95% de los productos con mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los productos con éxito moderado recibieron buenas evaluaciones, y el 10% de productos de escaso éxito recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40% de los productos ha tenido mucho éxito, el 35% un éxito moderado y el 25% una baja aceptación. a.- Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación? b.- Si un nuevo diseño recibe una buen evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? c.- Si un producto no obtiene una buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito?

Teorema de Bayes. Ejercicio A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en un 90% cuando la persona es culpable y en un 99% si la persona es inocente. Es decir, un 10% de los culpables son detectados como inocentes y un 1% de los inocentes son juzgados culpables. Si se administra el suero a un sospechoso escogido de un grupo donde solo el 5% han cometido un crimen y el suero indica que es culpable, ¿Cuál es la probabilidad de que sea inocente?

Variables Aleatorias Experimento: lanzar tres monedas S = {ccc,ccx,cxc,xcc,cxx,xcx,xxc,xxx} S R xxx ccc ccx cxc xcc cxx xcx xxc 3 2 1 Variable aleatoria: Función del espacio muestral S en el conjunto de los reales R (Número de caras)

Variables Aleatorias Definición Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Ejemplos de variables aleatorias son: Número de años que un recién nacido va a vivir Número de hembras en familias de 3 hijos Con frecuencia el interés recae en resumir con un número el resultado de un experimento aleatorio. … Ya que el resultado de un experimento no se conoce con anticipación, sucede lo mismo con el valor de la variable. Por esta razón, la variable que asocia un número con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria.

Variables Aleatorias Las variables aleatorias tienen asociada una estructura de probabilidad que se caracteriza por la distribución de probabilidad Las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula (por ejemplo X) y con una letra minúscula (x) el valor posible de la variable. Con frecuencia el interés recae en resumir con un número el resultado de un experimento aleatorio. … Ya que el resultado de un experimento no se conoce con anticipación, sucede lo mismo con el valor de la variable. Por esta razón, la variable que asocia un número con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria.

Variables Aleatorias (X=x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x", y p(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso. (X<x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor a x", y p(X<x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor a x.

Variables Aleatorias Discretas Una Variable Aleatoria X es Discreta si el conjunto de valores que toma es finito o, si es infinito, puede ordenarse en una secuencia que se corresponda con los números naturales. Ejemplo: El número de artículos defectuosos en una selección de 4 artículos de entre 240 El número de trabajos recibidos por un centro de cómputo en un día

Variables Aleatorias Discretas Ejemplo: Una pareja decide tener hijos hasta que nazca un varón o 5 hembras. Sea la variable aleatoria número de hembras

Variable aleatoria número de hembras Evento probabilidad Variable aleatoria v 1/2 hv 1/4 1 hhv 1/8 2 hhhv 1/16 3 hhhhv 1/32 4 hhhhh 5 Para cada valor que toma la variable es necesario conocer su probabilidad

Características La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta y, es una tabla , gráfica o fórmula que da la probabilidad p(y) asociada a cada posible valor de y. Eliminar los requisitos no dependen de que sea discreta

Ejemplo: Se lanza dos veces una moneda balanceada y se observa el número X de caras. Calcule la distribución de probabilidad para X.

El espacio muestral de un experimento aleatorio es {a, b, c, d, e, f} y cada resultado es igualmente probable. Se define una variable aleatoria de la siguiente manera: resultado a b c d e f x 1.5 2 3 Determine la función de probabilidad de X. Determine las siguientes probabilidades: P(X=1.5) P(0.5 < X < 2.7) P(0 <= X < 2) P(X=0 o X=2)

La representación gráfica más usual de la función de probabilidad es un diagrama de barras no acumulativo.

Distribución de Probabilidad Acumulada

Distribución de Probabilidad Acumulada Su representación gráfica tiene forma escalonada, siendo los saltos coincidentes con las probabilidades pi correspondientes a los valores xi de la variable X.

Supóngase que la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X es: Fx(x) Determine la función de probabilidad de X. Determine el valor de fX(0)

Variables Aleatorias Continuas Una Variable aleatoria X es Continua si el conjunto de valores que toma es uno o más intervalos de la recta real. Su distribución de probabilidad está caracterizada por la función de densidad f: a b La probabilidad es el área bajo la curva

Ejemplos: Supongamos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La función que asocia a cada persona su estatura es una variable aleatoria continua. Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 patillas de una plantación y pesarlas. La función que asocia a cada patilla su peso es una variable aleatoria continua. Pero ¿serán esas las variables asociadas a esos experimentos?

Diferencia entre la función de distribución acumulada de una variable discreta y una continua 7 8 9 10 11 12 13 Función discontinua en escalones vs. Función continua y monótona creciente

Distribución de Probabilidad Función de distribución acumulada F Función de Densidad f Con el propósito de calcular probabilidades, se tabula esta Función de Distribución Acumulada.

Propiedades de una función de densidad

Si X es una variable aleatoria continua, entonces, P(X=x)=0 Para cualquier x1 y x2,

Función de Distribución Acumulada Si f(x) es la función de densidad su distribución acumulada está dada por: Por ser una probabilidad siempre se cumple que: 0 ≤ F(x) ≤ 1.

Ejemplo: Sea c una constante y consideremos la función de densidad cy si 0<= y <= 1 0 en cualquier otro punto f(y) Calcule el valor de c Calcule P(0.2 < y <0.5) Obtenga la función de distribución acumulativa para la variable aleatoria y Calcule F(0.2) y F(0.7)

Medidas de Tendencia Central Para una Variable Aleatoria X es necesario establecer su valor medio, (Valor Esperado), y cómo se dispersa respecto de su valor medio (Varianza).

Valor esperado Si X es discreta se define el Valor Esperado E(X): Si X es continua se define el Valor Esperado E(X):

Suponga la siguiente distribución para una variable aleatoria X y para una variable Y: 18 20 22 f(x) 0.2 0.6 y 15 25 40 f(y) 0.2 0.3 Determine el valor esperado de X y de Y

Ejemplo: Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad está dada por: x2/3 si -1<= x <= 2 0 en cualquier otro punto f(x) Calcule la media o valor esperado de x

Mediana La mediana es el número donde la distribución acumulada vale ½. F(mediana)=1/2 Si la distribución es simétrica la media y la mediana coinciden.

Medidas de Dispersión Si X es discreta se define la varianza V(X): Si X es continua se define la varianza V(X): y la Desviación Estandar:

Distribuciones continuas de distinta Varianza σ = 8 σ = 3

Suponga la siguiente distribución para una variable aleatoria X y para una variable Y: 18 20 22 f(x) 0.2 0.6 y 15 25 40 f(y) 0.2 0.3 Determine la varianza de X y de Y

Ejemplo: Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad está dada por: x2/3 si -1<= x <= 2 0 en cualquier otro punto f(x) Calcule la varianza de x

Regla Empírica Si un conjunto de datos tiene una distribución simétrica con forma aproximada de “joroba”, pueden utilizar las siguientes reglas prácticas para describir el conjunto de datos: Aproximadamente el 68% de las observaciones quedan a 1 desviación estándar de su media (esto es, dentro del intervalo μ ± σ para poblaciones) Aproximadamente el 95% quedan a 2 desviaciones estándar de su media (esto es, dentro del intervalo μ ± 2σ para poblaciones) Casi todas quedan a menos de 3 desviaciones estándar de su media (esto es, dentro del intervalo μ ± 3σ para poblaciones)

Probabilidades Si la Variable es X continua: Prob( X ≤ a ) = F(a) Prob( a < X ≤ b )= F(b) - F(a) Prob( X > a ) = 1 - F(a)

Probabilidades Si la Variable es X discreta y toma valores ordenados 0,1,2 ... etc.. entonces : Prob( X ≤ k ) = F(k) Prob( h ≤ X <= k )= F(k) - F(h-1) Prob( X > k ) = 1 - F(k) Prob( X = k )= F(k) - F(k-1) Prob( X < k ) = F(k-1)

Ejemplo de Distribuciones Discretas Una pareja decide tener hijos hasta que nazca un varón o 5 hembras. Si esta conducta es adoptada por todos los marabinos ¿Se altera el orden natural acerca del equilibrio entre hombres mujeres? ¿Cómo sería la tabla del número de hembras y varones? Compárese los valores esperados

Solución del Ejemplo Evento P(x) Hembras x P(x) v 1/2 hv 1/4 1 1/4 hhv hv 1/4 1 1/4 hhv 1/8 2 1/4 hhhv 1/16 3 3/16 hhhhv 1/32 4 1/8 hhhhh 1/32 5 5/32 total 1 31/32 Valor esperado de hembras = 31/32

Solución del Ejemplo 1 total 1/32 hhhhh hhhhv 1/16 hhhv 1/8 hhv 1/4 hv 1/32 hhhhh hhhhv 1/16 hhhv 1/8 hhv 1/4 hv 1/2 v x P(x) Varones P(x) Evento 31/32 Valor esperado de varones = 31/32

Distribuciones Discretas

Distribución Binomial Características: Hay n ensayos independientes. El resultado del ensayo es éxito (E) o fracaso (F). La probabilidad p de éxito es constante en los ensayos. Distribución asociada al muestreo con reemplazo.

Distribución Binomial Varianza: V(X)= n p (1-p) Parámetros: n, p. Variable aleatoria: Número x de éxitos en los n ensayos. Valor esperado: E(X)= n p

Gráfica de Distribución Binomial

Ejemplo de Distribución Binomial 5 pruebas de embarazo Si estando embarazada la probabilidad de que el test de positivo es 0.9 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 o más positivos en 5 ensayos? X = 4 1-binocdf(3, 5, 0.9) E = Positivo E F E E E n = 5 5 0.94 x 0.1 + 5 0.95 x 0.10 = 0.32805 + 0.5905 = 0.91854 4 5

Distribución Binomial. Ejercicio De acuerdo a un estudio realizado, el 26% de las personas adultas de Barinas tiene sobrepeso. Si se extrae una muestra aleatoria simple de 10 adultos, encuentre la probabilidad de que el número de personas con sobrepeso, dentro de la muestra, sean: Exactamente tres personas Menos de 2 Dos o más personas ocultar

Distribución Binomial. Ejercicio La probabilidad de que una persona que sufre de migraña tenga alivio con una fármaco específico es de 0.9. Se seleccionan aleatoriamente a tres personas con migraña a las que se les administra el fármaco. Encuentre la probabilidad de que el número de personas que logran alivio sean. Exactamente 0 Exactamente uno Dos o menos Dos o tres ocultar

Distribución Binomial. Ejercicio En un estudio se encontró un gran número de casos de contaminación en peces en supermercados de las ciudades de Nueva York y Chicago. El estudio reveló que el 40% de los trozos de pez espada disponibles para la venta tenía un nivel de mercurio superior al limite establecido por la Administración de Alimentos y Medicinas de Estados Unidos (FDA). Para una muestra aleatoria de tres trozos de pez espada, calcule la probabilidad de que: Los tres trozos tengan niveles de mercurio por encima del límite establecido por la FDA. Exactamente un trozo de pez espada tenga un nivel de mercurio por encima del límite Cuando mas, un trozo de pez espada tenga un nivel de mercurio por encima límite establecido por la FDA.

Distribución geométrica Características: Pruebas idénticas e independientes. Dos posibles resultados: éxito o fracaso Probabilidad de éxito p (constante para cada prueba) Variable aleatoria geométrica Y es el número de la prueba en la cual ocurre el primer éxito (en lugar del número de éxitos que ocurren en n pruebas)

Distribución geométrica F F E Éxito en la tercera prueba P(x) = P(F F F … F E) X - 1 P(x) = (1-p) x – 1 p

Distribución geométrica

Distribución geométrica Se supone que el 5% de las enfermeras que se presentan en el Hospital General del Sur aspirando al cargo de asistente de cirugía, tienen entrenamiento en Instrumentación Quirúrgica. Determine la probabilidad de que se encuentre la primera enfermera con entrenamiento en instrumentación quirúrgica en la quinta entrevista. ¿Cuál es el número esperado de aspirantes que hay que entrevistar para encontrar la primera enfermera con entrenamiento en instrumentación quirúrgica? Cambiar por enfermeras que se presentan al hospital del sur como asistentes de cirugía. Y la probabilidad en 0.05

Distribución Hipergeométrica Características: Población de tamaño NP, K de ellos son del tipo A. Si se selecciona una muestra aleatoria de n elementos ¿Cuál es la probabilidad de que en ésta se hallen x elementos del tipo A? Muestreo sin reemplazo.

Distribución Hipergeométrica Parámetros: NP, K, n. NP=número total de elementos K=número de elementos que hay de un determinado tipo A n= número total de elementos que se seleccionarán (tamaño de la muestra) X = número de elementos A en la muestra

Distribución Hipergeométrica Sea p= K/NP la proporción de elementos del tipo A en la población: Valor esperado: E(X)= n p Varianza: Cuando la fracción de muestreo n/NP es “pequeña”, la hipergeométrica se puede aproximar por la binomial con parámetros p y n.

Ejemplo de Hipergeométrica X N NP ¡El KINO! NP = 25 Favorables = K = 15 Se elige una muestra de 15 ¿Cuál es la probabilidad de que x sea 12, 13, 14, 15? x P (X = x) P (X < x) P (X ≥ x) 12 0.01670358 0.98180472 0.01819528 13 0.00144550 0.99850830 0.00149170 14 0.00004589 0.99995381 0.00004619 15 0.00000031 0.99999969

P(12) = 0.0167 P(13) = 0.0014 P(14) = 0.000046 P(15)= 0.0000003

Ejemplo de Hipergeométrica Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.

Ejemplo de Hipergeométrica ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tiene la edad suficiente? ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?.

Distribución de Poisson Características Eventos que ocurren con velocidad constante en el tiempo (número de casos semanales de Dengue en el hospital del sur), o en el espacio (número de camarones por m3 en el Lago de Maracaibo). El número de eventos que ocurre en una unidad de tiempo, área o volumen es independiente del número de los que ocurren en otras unidades El número medio (o esperado) de eventos en cada unidad se denota por la letra griega lambda λ

Distribución de Poisson Características: Se utiliza como aproximación al modelo binomial cuando n es grande y p pequeño (ley de los sucesos raros). p < 0.1 np < 5, tomando como parámetro λ = np También se conoce como “la distribución de los sucesos raros”

Distribución de Poisson Parámetros: λ promedio de ocurrencias del suceso por unidad de tiempo o espacio. Variable aleatoria: Número x de ocurrencias del suceso por unidad de tiempo o espacio (x = 0, 1, 2, ...). Valor esperado: E(X)= λ Varianza: V(X)= λ

Ejemplo de Distribución de Poisson Si la media del número de casos semanales de Dengue en un hospital es 1.3, ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana se presenten 5 o más casos de Dengue? λ=1.3 x=4=5-1 Resultado = 1 - poisscdf(4, 1.3);

A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como una variable aleatoria de Poisson. Suponga que, en promedio, se reciben 10 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas? ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en 30 minutos?

Distribución de Poisson

Algunos resultados sobre valores esperados y varianzas Si X e Y son variable aleatorias y k es una constante entonces: E(k) = k E(k X)= k E(X) E(X+Y)= E(X) + E(Y) V(X) = E[(X - µ)2] = E(X2) - µ2

Distribuciones Continuas

Distribución Normal Importancia La distribución Normal es indudablemente la distribución continua fundamental, tanto por sus aplicaciones como por el rol que juega dentro de la Teoría Estadística. Es la piedra angular de la Inferencia ya que muchas estadísticas muestrales tienden hacia la distribución Normal cuando el tamaño de la muestra crece. Enfoque original: Moivre, 1971 Posteriormente: Karl Gauss, 1855 También es conocida como distribución Gaussiana

Distribución Normal Características Tiene forma de campana Es simétrica con respecto a la media Es Continua Las dos colas (extremos) de una distribución normal de probabilidad se extienden de manera indefinida y nunca tocan el eje horizontal.

Distribución Normal Parámetros μ y σ Función de Densidad Se afirma que una variable aleatoria X es Normal N(μ,σ2) si su función de densidad está dada por: Valor Esperado μ Varianza σ2

Normal Estándar

Gráfica de Distribución Normal

Gráfica de Distribuciones Normales con diferentes medias e igual dispersión

Normal Estándar Función de distribución acumulada: Si X es N(μ,σ2) (una variable aleatoria normal con media μ y varianza σ2) entonces, Z = (X-μ)/σ, es N(0,1) y se le designa como Normal Standard. Esta propiedad permite relacionar la función de distribución acumulada de X con la de Z, ya que: Prob( X ≤ w ) = Prob ( Z ≤ (w-μ)/σ ).

Normal estándar Estándar 0 1.25 0 1.25

Consideremos que el peso de los niños varones en el momento del nacimiento se distribuye normalmente. Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 3,25 kgs y la desviación típica es de 0,82 kgs, ¿cuál es la probabilidad de que el peso de un niño varón al nacer sea superior a 4 kgs? Tipificamos la variable aleatoria X, peso de los niños al nacer. En el proceso de tipificación, al valor de X=4, le corresponde el valor, t=0,9146 :

Si el nivel de colesterol de los habitantes de Maracaibo tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 200 mg/100 ml y una desviación estándar de 20 mg/100 ml, calcule la probabilidad de que una persona de Maracaibo, elegida al azar, tenga un nivel de colesterol: a.- Entre 180 y 200 mg/100 ml b.- Mayor que 225 mg/100 ml c.- Menor que 150 mg/100 ml d.- Entre 190 y 210 mg/100 ml ocultar

El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes tiene una distribución normal con media de 100 horas y desviación estándar de 20 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por incapacidad del siguiente mes se encuentre entre 50 y 80 horas? ¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá planearse para que la probabilidad de excederlo sea solo del 10%?

Se supone que el ancho de una herramienta utilizada e la fabricación de semiconductores tiene una distribución normal con media de 0.5 micrómetros y desviación estándar de 0.05 micrómetros. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta sea mayor que 0.62 micrómetros? b.- ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta se encuentre entre 0.47 y 0.63 micrómetros? c.- ¿Debajo de qué valor está el ancho de la herramienta en el 90% de las muestras?

Distribución Gamma Características Valores positivos Asimetría hacia la derecha Muy versátil, dependiendo del valor de los parámetros adopta formas muy distintas Dos distribuciones fundamentales: Exponencial y Chi-cuadrado son casos particulares de ésta. “Se utiliza en problemas de líneas de espera para representar el intervalo total para completar una reparación, si esta se lleva a cabo en subestaciones”. “Existen algunos ejemplos que no siguen el patrón anterior, pero que se aproximan de manera adecuada mediante el empleo de la distribución gamma, como los ingresos familiares y la edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez”

Distribución Gamma Parámetros Función de Densidad: θ: Parámetro de escala α: Parámetro de forma Función de Densidad: Valor esperado θ * α Varianza θ2 * α Aprox (α-1)!

Distribución Gamma θ = 1 α = 1 α = 3 α = 5

Distribución Gamma α = 1 θ = 1 θ = 3 θ = 5

Distribución Exponencial Esta relacionada con la distribución de Poisson. Diferencia: a la distribución de Poisson le interesa el numero de ocurrencias, mientras que a la exponencial le interesa el tiempo transcurrido entre las ocurrencias. Ejemplo: Poisson: el número de personas en la cola del banco Exponencial: el tiempo entre llegadas a la taquilla

Distribución Exponencial Parámetro La distribución exponencial de θ theta es una GAMMA con α = 1. Función de Densidad: Valor esperado Θ Varianza Θ2

Distribución Exponencial Función de Densidad: La media del proceso de Poisson. Número medio de sucesos por unidad de medida. La variable aleatoria X indica el tiempo desde que empieza el proceso de observación hasta que ocurre un proceso de Poisson. Ejemplo: El tiempo que puede transcurrir, en la emergencia de un hospital, para la llegada de un paciente con una determinada enfermedad. El tiempo transcurrido hasta la falla de un dispositivo.

Distribución Exponencial Valor esperado Varianza Función de Probabilidad: La probabilidad de que no ocurra un proceso de Poisson en el tiempo x es equivalente a la probabilidad de que el tiempo de observación requerido para que suceda el evento es mayor que x.

Exponencial media = 40 Vida media = 27.73 50%

Ejemplo de Distribución Exponencial Si la Esperanza de vida de un boliviano es de 40 años ¿Cuál es la probabilidad de vivir más de 60 años?

Distribución Exponencial Los clientes de un supermercado llegan en promedio de 1 por minuto. Halle la probabilidad de que transcurran: A lo sumo 2 minutos antes de la llegada del próximo cliente Por lo menos 3 minutos

Distribución Exponencial La duración de un cierto tipo de bombillo es una variable aleatoria exponencial de media 5000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de dure más de 6000 horas ¿Cuál es la probabilidad de que dure más de 6000 horas si lleva funcionando 1000 horas? (6000 horas adicionales a las 1000 que lleva funcionando)

Distribución Exponencial Propiedad de la carencia de memoria En la duración que se espera que tenga el objeto, no influye para nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando El dispositivo no se desgasta. Para una variable aleatoria exponencial X, P(X < t1 + t2 / X > t1) = P(X < t2)

Distribución Exponencial El tiempo entre arribos de los taxis en un cruce muy concurrido tiene una distribución exponencial con media de 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que esté en el cruce tenga que esperar más de una hora para tomar un taxi? Suponga que la persona ya esperó una hora, ¿cuál es la probabilidad de que llegue uno en los siguientes 10 minutos?

El tiempo de duración de un ensamble mecánico en una prueba de vibración tiene una distribución exponencial con media de 400 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble falle durante la prueba en menos de 100 horas? ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble trabaje durante más de 500 horas antes de que falle? Si el ensamble se ha probado durante 400 horas sin falla alguna, ¿cuál es la probabilidad de que falle en las siguientes 100 horas?

El tiempo de vida de los reguladores de voltaje de los automóviles tiene una distribución exponencial con un tiempo de vida medio de seis años. Una persona compra un automóvil que tiene una antigüedad de seis años, con un regulador en funcionamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que el regulador de voltaje falle en el lapso de seis años? Si el regulador de voltaje falla después de tres años de haber efectuado la compra del automóvil y se reemplaza, ¿cuál es el tiempo promedio que transcurrirá hasta que el regulador vuelva a fallar?

Distribución Exponencial. Ejercicio En una red de computadoras grande, el acceso de los usuarios al sistema puede modelarse como un proceso de Poisson con una media de 25 accesos por hora. Cuál es la probabilidad de que no haya accesos en un intervalo de 6 minutos? Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta el siguiente acceso este entre 2 y 3 minutos

Distribución Beta Características: Se la utiliza para representar variables aleatorias cuyos valores se encuentran restringidos a intervalos de longitud finita.

Distribución Beta Parámetros : Función de densidad : α y β ambos parámetros de forma. Función de densidad : Es 0 en todas partes salvo en el intervalo [0,1] donde está definida por:

Distribución Beta Valor esperado: Varianza : α/(α + β) Varianza : α β/(α + β)2(α + β + 1) Función de distribución acumulada en el MATLAB: betacdf(x, α, β) Es la función de distribución acumulada definida para todo x en (0,1). Inversa : BETAINV(p, α, β).

Gráfica de Distribución Beta

Los sensores de infrarrojo de un sistema robótico computarizado envían información a otros sensores en diferentes formatos. El porcentaje x de las señales que se envían y que son directamente compatibles para todos los sensores del sistema sigue una distribución beta con α=β=2. Calcule la probabilidad de que más de 30% de las señales de infrarrojo enviadas en el sistema sean directamente compatibles para todos los sensores

Distribución Uniforme Continua Características: La distribución uniforme o rectangular tiene densidad constante en un intervalo [a, b] y vale 0 fuera del mismo. f(x) a b

Distribución Uniforme Continua Parámetros: a y b Función de densidad: f(x)= 1/(b-a) en [a, b] 0 en el resto Valor esperado: (a + b)/2 Varianza: (b – a)2/12

Distribución Uniforme Continua Suponga que un departamento de investigación de enfermedades cardiovasculares está realizando un estudio sobre la hipertensión arterial, trabajando para ello con una muestra aleatoria de personas y donde la presión arterial diastólica se distribuye uniformemente entre 60 y 160. Este grupo de investigación desea excluir aquellos pacientes cuya presión arterial esté por debajo de 90. Calcule la media y la desviación estándar de x, la presión arterial diastólica de las personas de la muestra. Grafique la distribución de probabilidad Calcule la fracción de personas que se omitirán para el estudio. Poner un ejemplo después lo elegimos que sea de salud

Distribución Uniforme Continua Suponga que el departamento de investigación de un fabricante de acero cree que una de las máquinas de la compañía está produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor es un variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 200 milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros de espesor debe desecharse, pues resulta inaceptable para los compradores. Grafique la distribución de probabilidad de las láminas de acero producidas por esta máquina Calcule la fracción de las láminas de acero producidas por esta máquina que se desechan

Distribución Uniforme Continua Investigadores de la Universidad de los Andes han diseñado, construido y probado un circuito de condensador conmutado para generar señales aleatorias. Se demostró que la trayectoria del circuito estaba distribuida uniformemente en el intervalo (0,1). Indique la media y la varianza de la trayectoria del circuito Calcule la probabilidad de que la trayectoria esté entre 0.2 y 0.4 ¿Esperaría usted observar una trayectoria que excediera 0.995?

Distribución de probabilidad conjunta Si X y Y son variables aleatorias discretas, la distribución de probabilidad conjunta de X y Y, es una descripción del conjunto de puntos (x,y) en el rango de (X,Y) junto con la probabilidad asociada con cada uno de ellos. Es conocida como distribución bivariada o distribución bivariable Satisface las siguientes condiciones: (1) (2) (3) para todos los valores de x y y

Distribución de probabilidad conjunta Suponga dos variables aleatorias: X: Posición frente al aborto (0: en contra, 1: a favor) Y: Nivel de educación de la persona (1: primaria, 2: bachiller, 3: universitaria) Distribución Bidimensional Discreta DISTRIBUCIÓN CONJUNTA Y 1 2 3 X .1 .2 .3

Distribución de probabilidad conjunta Y Marginal de X 1 2 3 X .1 .2 .3 .6 .4 Marginal de Y Distribuciones de probabilidad marginales (incondicionales)

Distribución de probabilidad conjunta Y Marginal de X 1 2 3 X .1 .2 .3 .6 .4 Marginal de Y Obtenga la distribución de probabilidad condicional de x dado y=1

Distribución de probabilidad conjunta Valor esperado En el ejemplo, DISTRIBUCIÓN CONJUNTA Y Marginal de X 1 2 3 X .1 .2 .3 .6 .4 Marginal de Y ¿Cuál sería el valor esperado de X? ¿y el de Y? ¿el de XY?

Distribución de probabilidad conjunta Teorema Si x y y son variables aleatorias independientes, entonces E(xy) = E(x)E(y)

Covarianza La covarianza(X,Y) es una medida de asociación lineal entre las variables X e Y Producto cruzado de las desviaciones (x-μx) (y-μy) para cada punto de datos

Signos de los productos cruzados (x-μx)(y-μy) + (x,y) (y-μy) (x-μx) + - (μx , μy)

(valor medio cercano a 0) Signos de los productos cruzados (x-μx)(y-μy) Relación lineal débil (valor medio cercano a 0)

Covarianza Si Definición Teorema

La covarianza(X,Y) es una medida de asociación lineal entre las variables X e Y Si la relación entre las variables aleatorias no es lineal, puede que la covarianza no sea sensible a dicha relación. Ejemplo: Covarianza: 0

En el ejemplo, DISTRIBUCIÓN CONJUNTA Y Marginal de X 1 2 3 X .1 .2 .3 .6 .4 Marginal de Y E(x) = 0.4 E(y) = 2 E(xy) = 0.6 Calcule la covarianza de las variables aleatorias

¿Será lo contrario cierto también? Es decir: Teorema Si X y Y son dos variables aleatorias independientes, entonces: Cov(X,Y)=0 ¿Será lo contrario cierto también? Es decir: ¿si la covarianza es cero entonces puede concluirse que las variables son independientes?

Supongamos Y1 y Y2 dos variables aleatorias discretas con la siguiente distribución de probabilidad conjunta: DISTRIBUCIÓN CONJUNTA Y1 -1 1 Y2 1/16 3/16

Valor esperado y varianza de funciones lineales de variables aleatorias Sean X y Y dos variables aleatorias continuas y a y b dos constantes: E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) Var (aX + b) = a2Var(X) Var(aX+bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X,Y) Si X y Y son independientes, entonces: Var(aX+bY) = a2Var(X) + b2Var(Y)

Un vendedor obtiene sus ingresos mediante la venta de dos productos distintos. Por experiencia sabe que el volumen de ventas de A no tiene influencia alguna sobre el de B. Su ingreso mensual es el 10% del volumen, en dólares, del producto A y el 15% del volumen de B. Si en promedio las ventas del producto A ascienden a $10.000 con una desviación estándar de $2.000 y las de B a $8.000 con una desviación estándar de $1.000, obténgase el valor esperado y la desviación estándar del ingreso mensual del vendedor. Sean X y Y dos variables aleatorias que representan el volumen de ventas en dólares de los productos A y B, respectivamente. Por hipótesis: E(X)=10000 desv (X)=2000 E(Y)=8000 desv(Y)=1000 De esta forma se tiene: E(0.1X + 0.15Y) = 0.1*E(X) + 0.15*E(Y) = $2.200 Var(0.1 X + 0.15 Y) = 0.01Var(X) + 0.0225 Var(Y) = 62500 (Esto porque Var(aX)=a2Var(X)) Luego, la desviación estándar es de $250. (Libro de Canavos)

Correlación La correlación entre dos variables (x, y) es una medida de asociación que expresa el grado de dependencia lineal entre ambas, formalmente: -1 ≤ ρ ≤ 1 Si las variables aleatorias son independientes entonces la correlación entre ambas es 0

En el ejemplo, DISTRIBUCIÓN CONJUNTA Y Marginal de X 1 2 3 X .1 .2 .3 .6 .4 Marginal de Y E(x) = 0.4 E(y) = 2 Cov(xy) = 0.6 - 0.4*2 = -0.2 Calcule el coeficiente de correlación ρ para x y y

Correlación Positiva Si la correlación es 1, todas las observaciones se encuentran alineadas en una recta. -1 ≤ ρ ≤ 1 Si ρ = 0 X, Y independientes

Coeficiente de Correlación r X1 X2 r = 0.9 r = 0.5 r = 0 r = -0.5 r = -0.9 Distintos grados de asociación lineal entre dos variables Nótese la orientación de la nube en función del signo de la correlación Independencia

Algunos resultados sobre valores esperados y varianzas Si X e Y son variable aleatorias y k es una constante entonces: E(k X)= k E(X) V(k X)= k2 V(X) E(X+Y)= E(X) + E(Y) Además si X e Y son independientes: V(X + Y) = V(X - Y) = V(X) + V(Y)

Cuidado con la confusión entre correlación y causalidad Que dos fenómenos estén correlacionados no implica que uno sea causa del otro. Es frecuente que una correlación fuerte indica que las dos variables dependen de una tercera que no ha sido considerada. Este tercer elemento se llama “factor de confusión”. Por ejemplo, puede ser que una fuerte correlación exprese una verdadera causalidad, como en el número de cigarrillos que se fuma al día y la aparición de cáncer de pulmón. Pero no es la estadística la que demuestra la causalidad, ella solo permite detectarla.

Cantidad de prostitutas y cajas de chicles consumidas en Maracaibo Periodo: 1990 - 2004

P(0.2 < y < 0.5)

F(0.7)