Teoría de Conjuntos Prof. Carlos Coronel R.

Teoría de conjuntos Conjuntos y Subconjuntos Operaciones entre conjuntos Unión Intersección Diferencia de conjuntos Complemento de un conjunto Diferencia Simétrica Leyes de la teoría de conjuntos Diagramas de Venn

1. Conjuntos y subconjuntos Un conjunto es una colección o agrupación bien definida de objetos, los cuales presentan una propiedad en común. A estos objetos se llaman elementos y se dice que son miembros del conjunto. Sintaxis: A,B,C,.. Para representar los conjuntos (letras mayúsculas) w,x,y,… Para representar los elementos (letras minúsculas) Ejemplo: A es un conjunto formado por los diez primeros números enteros positivos. Se puede representar por extensión: A = {1,2,3,4,5,6,…10} O se puede representar por comprensión: A = {x / x es un entero y 1≤ x ≤ 10} / se lee “tal que” {x /….…} se lee “el conjunto de todos los x tal que …” 1  A 1 es un elemento del conjunto A -5  A -5 no es un elemento del conjunto A

Ejercicios Exprese los siguientes conjuntos por extensión y nombre de que tipo de conjunto se trata: A = {xx2 – 3x – 4= 0} Conjunto: _________ B = {x/x = 2n – 1 Λ x > 17} Conjunto: _________ C = {x/x = 2n Λ x < 38} Conjunto: _________ D = {x/x = 5n Λ -9 < x ≤ 15} Conjunto: _________ E = {x/8x = 27 – x} Conjunto: _________ F = {x/x  IN, 11 < x < 12 } Conjunto: _________

Ejercicios Exprese los siguientes conjuntos por comprensión y nombre de que tipo de conjunto se trata: A = {1, 3, 5, 7, 9, …} Conjunto: _________ B = { Ω } Conjunto: _________ C = {1, 4, 9, 16, 25, …} Conjunto: _________ D = {do, re, mi, fa, sol, la, si } Conjunto: _________ E = {a, e, i, o, u} Conjunto: _________ F = { } Conjunto: _________

Al trabajar con conjuntos finitos o infinitos, se deben describir los conjuntos en términos de las propiedades que deben satisfacer sus elementos. Ejemplos: Si U = {1,2,3,4,5,…} el conjunto de los números enteros positivos, sean: A = {1,4,9,…,64,81} = { x2 / x  U, x2 < 100} = { x2 / x  U Λ x2 < 100} = { x  U / x2 < 100} B = {1,4,9,16} = { y2 / y  U, y2 < 20} = { y2 / y  U Λ y2 < 23} = { y  U / y2 ≤ 16} C = {2,4,6,8,…} = {2k / k  U } Conjuntos finitos Conjunto infinito

Conjunto universal Conjunto Vacío Un conjunto se llama conjunto universal si incluye todos los conjuntos en discusion, y se denota por la letra U. Conjunto Vacío Es un conjunto que carece de elementos. Se llama conjunto vacío, y se representa por Ф o { }. Observe que |Ф| = 0 pero { 0 }  Ф , así mismo { Ф }  Ф Ejemplo: Si C = { x / x3 = 8 y x es impar }   entonces  C = { }  V C = Ф Nota : El conjunto vacío está incluido en todo conjunto.

Cardinal de un Conjunto: Es el número de elementos de dicho conjunto Cardinal de un Conjunto: Es el número de elementos de dicho conjunto. |A| = 9 Λ |B| = 4 Definición de Subconjunto: Si C, D son conjuntos del universo U, decimos que C es un subconjunto de D y se escribe : C  D si cada elemento de C es un elemento de D. C  D  D  C Si además , D contiene un elemento que no esta en C , entonces C es un subconjunto propio de D y se escribe como: C  D.

No hay restricciones en cuanto a los objetos que pueden ser miembros de un conjunto. Ejemplos: 1) S = {a, {1, 2}, p, {q}} {q}  S el conjunto {q} es miembro de S q  {q} el elemento q es miembro del conjunto {q} q  S el elemento q no es miembro de S 2) Si A = {{1}, 2, 3}; entonces se cumple: {1}  A {{1}, 2}  A {{1}}  A 2  A {2, 3}  A 1  A

Conjuntos Iguales Dos conjuntos A y B son iguales; si y solo si, A  B y B  A A = B  (A  B)  (B  A) A = B  x {x/ x  A  x  B} Ejemplos: {1, 2, 4} = {1, 2, 2, 4} {1, 4, 2} = {1, 2, 4} Si P = {{1,2}, 4} y Q = {1, 2, 4}; entonces: P  Q {{1}}  {1} Si U = {1,2,3,4,5}, A = {1,2} y B = {x/x2  U }= {1,2}, entonces A = B

Familia de conjuntos Para un conjunto A cualquiera, a la colección o familia de todos los subconjuntos de A se le llama conjunto potencia de A y se denota por (A). Ejemplos: 1) Si M = { 1, 2 }  entonces: | M | = 2 ; es decir: M tiene 2 elementos . Luego: (M) = { {1}, {2}, M, Ф }, Se verifica lo siguiente: |(M)|= 2|M| → 22 = 4 posibles subconjuntos de M 2) Si N = { 1, 2, 3 }  → El conjunto M tiene 3 elementos |(N)|= 23 ; hay 8 posibles subconjuntos de N. Luego: (N) = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, N, Ф } 

Ejercicios Determine el conjunto potencia de los siguientes conjuntos : P = { Ω, 5 } Q = { 0, {1,2 } , ∆ } R = { x  Z / 3 < x < 5 }

Diagrama de Venn Los diagramas de Venn permiten visualizar gráficamente las nociones de conjuntos y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto Universal.

Operaciones de Conjuntos y las leyes de la Teoría de Conjuntos

A  B  C = {x / (x  A)  (x  B)  (x  C)} Unión de conjuntos La unión de dos conjuntos A y B, que se denota como A  B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos. A  B = {x / (x  A)  (x  B) } De igual forma: A  B  C = {x / (x  A)  (x  B)  (x  C)} Nota: La unión de dos conjuntos es conmutativa, asociativa y reflexiva. B A A U B A B A U B A B A U B

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas de Venn respectivos: A U C = { 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 8 } B U C = {0,2,4,5,6,8} A U B = {0,1,2,3,4,5}

Intersección de conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B, se denota como A  B, y es el conjunto de todos los elementos que estan contenidos tanto en A como en B. A  B = {x / (x  A)  (x  B)} Propiedades: A  B = B  A A  A = A A  Ф = Ф Nota: La intersección en conjuntos es asociativa y conmutativa.

Intersección de conjuntos

Diferencia: B - A = {x / x  B  x  A } ¿Dibujo? Nota: A – B ≠ B – A Para A, B  U, la diferencia de de A en B, se denota por : A - B = {x / x  A  x  B } Y la diferencia de B en A, se denota por : B - A = {x / x  B  x  A } ¿Dibujo? Nota: A – B ≠ B – A

Complemento: A’ = { x / x  U  x  A } Para un conjunto A  U, el complemento de A se denota por: U - A V A’ VA : A’ = { x / x  U  x  A }

Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de A y B se denota como : A  B = {x / (x  A  x  B)  x  A  B} A  B = {x / (x  A  B)  x  A  B}

Ejercicios: Si: U = {1,2,3,…,9,10}, A = {1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6,7} y C = {7,8,9} , calcular las siguientes operaciones: A  B = B  C = A  B = A  C = A  B = A  C = A  C = B’ = A – B = B – C = (A  B)’ =

Ejercicios: Si U = {1,2,3,…,9,10, 11, 12 }, A = {1,2,3,4,5}, B ={1, 3, 5, 7} y C = {6,8,10} , calcular las siguientes operaciones: A – (C  B) = B’ = (A  C) – B = (B – A)  C = (C – A)  B = (A – B)  (B – A) = (A  B  C) = A’  C’ = U – A =

Leyes de la teoría de conjuntos Ley de doble complemento (A’) ’ = A Leyes De Morgan (A  B) ’ = A’  B’ (A  B) ’ = A’  B’ Propiedades conmutativas A  B = B  A A  B = B  A 4. Propiedades asociativas A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C 5. Propiedades distributivas A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 6. Propiedades idempotentes A  A = A A  A = A 7. Propiedades del neutro A  Ф = A A  U = A