FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Definición de Conjuntos Representación gráfica de conjuntos- Diagramas de Venn – Euler. Notación de Conjuntos Igualdad de Conjuntos Determinación de Conjuntos Operaciones con Conjuntos Clasificación de Conjuntos Siguiente

DEFINICIÓN DE CONJUNTO Conjunto: Es una agrupación o colección bien definida de objetos, donde cada objeto es un elemento o miembro del conjunto que satisfacen ciertas propiedades específicas. Elemento: Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Siguiente

NOTACIÓN DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Conjunto: Se denota con una letra mayúscula: A, B, C, o enumerando sus elementos separados por comas y delimitándolos por llaves: { } Elementos: Se denotan con letras minúsculas: a, b, c, d, a menos que dichos elementos sean a su vez conjuntos. Relación de pertenencia: Sea x un elemento cualquiera y A un conjunto. Si es cierto que x es un elemento de A, se dice que x pertenece a A y se denota: x A. ( : Letra griega epsilón) Relación de no pertenencia: Si no es cierto que x es un elemento de A, se dice que x no pertenece a A y se denota como: x  A. Siguiente

DETERMINACIÓN DE CONJUNTO Hay dos formas de determinar conjuntos, por extensión y por comprensión: Por extensión: Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento. Ejemplo: B = { 2, 4, 6, 8 } C = { c, o, n, j, u, t, s } A = { 7,2,8,5,3,23} Siguiente

DETERMINACIÓN DE CONJUNTO Por comprensión o forma constructiva: Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. Este implica usar la notación siguiente para determinar un conjunto dado A. A = { x tal que x es un objeto que verifica una condición dada } O en forma más simple: A = { x / x es un objeto que verifica una condición dada } Ejemplos: B = { x / x es un número par menor que 10 } C = { x / x es una letra de la palabra conjunto } D = { x / x  N 0< x ≤5 } Siguiente

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CONJUNTO Diagramas de Venn: Son esquemas que nos permiten hacer la representación grafica de los conjuntos. A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica. El conjunto universo U, se representa por un rectángulo o por un cuadrado. Siguiente

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTO Los conjuntos que se encuentran en el universo, se representan por líneas curvas cerradas que demarcan los elementos del conjunto. Siguiente

IGUALDAD DE CONJUNTOS Se dice que dos conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B. En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa. Ejemplos: A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 1, 2} entonces A = B C = {1, 2, 3, 3, 4, 1} y D = 1, 2, 2, 3, 4, 4} entonces C = D E = {x/x son vocales de la palabra mundo} y F = {u, o } entonces E = F Siguiente

RELACIÓN DE CONTENIDO Ó SUBCONJUNTO Ó INCLUSIÓN Sean A y B dos conjuntos tal que todo elemento de A es también elemento de B, entonces decimos que: A es un subconjunto de B. A es una parte de B A está incluido en B Se denota o simboliza A B. Su definición matemática es: A B x A x B Siguiente

INCLUSIÓN DE CONJUNTOS Ejemplos: n      Dados los conjuntos q     A = { 0 , 3 } q     B = { 0,1,2,3,4, }   Observe n      A  B porque 0 y 3  B n      B  A porque 1,2 y 4  A . Siguiente

OPERACIONES CON CONJUNTOS Unión de conjuntos: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x  A  x  B }. Mediante un diagrama de Venn-Euler Cuando no tienen elementos comunes Siguiente

UNIÓN § Cuando tienen algunos elementos comunes §  Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto Siguiente

INTERSECCIÓN Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes en el conjunto A y en el conjunto B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. También se puede definir: A B = { x / x  A  x  B }. Mediante un diagrama de Venn-Euler § Cuando no tienen elementos comunes Siguiente

INTERSECCIÓN § Cuando tienen elementos comunes § Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto Siguiente

DIFERENCIA Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se denota por: A – B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como: A – B = {x / x  A  x  B }. Mediante un diagrama de Venn-Euler Cuando no tienen elementos comunes Siguiente

DIFERENCIA § Cuando tienen elementos comunes § Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto Siguiente

COMPLEMENTO Para cualquier conjunto A, tal que ACU, el complemento de A, denotado por AC, A', se define como el conjunto de los elementos que pertenecen a U y no pertenecen al conjunto A. Simbólicamente se expresa: AC = U-A ={ x/ x  U  x  A} Mediante un diagrama de Venn-Euler   Siguiente

DIFERENCIA SIMETRICA Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión de los conjuntos exceptuando la intersección. A B ={ x / x  (AUB)  x  (A B) }