Introducción a la Lógica Difusa y al Enfoque Língüístico Difuso Charlas Sinbad2

SUMARIO Conceptos Básicos: Incertidumbre, Precisión y … Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Enfoque Lingüístico Difuso y Computación con Palabras Comentarios Finales

Conceptos Básicos Información Imperfecta Imprecisión en sistemas Humanos Imperfección del conocimiento percibido Sistemas de Información Fuentes de incertidumbre Probabilísticas Difusas Errores Imprecisión conceptual (lenguaje)

Conceptos Básicos Incertidumbre Probabilidad. Vaguedad ISO 3534-1: una estimación unida al resultado de un ensayo que caracteriza el intervalo de valores dentro de los cuales se afirma que está el valor verdadero. Relacionada con la información imperfecta. Imprecisión Distintas fuentes. Probabilidad. Casi todos los aspectos relacionados con la incertidumbre Mide mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio. Es una propiedad física de los objetos, determina la posibilidad de que cierto evento ocurra. Se calcula y verifica por experimentación. Vaguedad Constituye una forma de incertidumbre distinta a la probabilidad su carácter está relacionado con límites sin precisión clara. Es una característica del lenguaje de comunicación humano.

Incertidumbre ¿Cuándo entrará en erupción un volcán? ¿Aprobaré el examen? Si tiro la moneda, ¿sale cara o sello? ¿La respuesta a la pregunta es V o F? A medida que se dispone de más información la incertidumbre se puede reducir. La ausencia de incertidumbre es tener información total. Se trabaja con niveles de creencias.

Incertidumbre Rango de valores [0,1] ¿Cuándo va a entrar en erupción un volcán? Silencio sísmico ¿Aprobaré el examen? ¿Estudiaste?, ¿le dedicaste tiempo?, ¿hiciste tus trabajos? Si tiro la moneda, ¿saldrá cara o sello? ¿la moneda está sesgada? ¿Cuál es la respuesta para una pregunta con V o F? Si sabes, responde. Si no sabes, cualquiera es buena respuesta.

Probabilidad Rango de valores [0,1] Ejemplos: P (X = cara) = 0.5 P (X = VERDE) = 1/7 P(X=x) X

Vaguedad La vaguedad está relacionada con el grado con el cual los eventos ocurren sin importar la probabilidad de su ocurrencia. Por ejemplo, el grado de belleza de una persona es un evento vago per sé, sin importar que sea un elemento aleatorio. Relacionado con Fuzziness Característico del Lenguaje Humano

Vagueness (fuzziness) vs. Probability La incertidumbre probabilística se disipa con el incremento del número de ocurrencias y la vaguedad no. La vaguedad describe eventos ambiguos, la probabilidad describe los eventos que ocurren. Si un evento ocurre es aleatorio. El grado con el cual ocurre puede interpretarse como difuso.

Vagueness (fuzziness) vs. Probability Incertidumbre Conjuntos Difusos Redes Bayesianas Subjetividad en la calificación de eventos no aleatorios Aleatoriedad de eventos definidos de manera precisa

LÓGICA DIFUSA Y CONJUNTOS DIFUSOS

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Lofti Zadeh, 1965 Fue diseñada para representar y razonar sobre conocimiento expresado de forma lingüística o verbal Conocimientos “vagos”,”imprecisos”, “difusos”, “borrosos”

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos La lógica difusa es una extensión de la lógica convencional (Booleana) para manejar el concepto de verdad parcial. La verdad parcial se presenta cuando los valores de verdad se encuentran entre “absolutamente cierto” y “absolutamente falso” F V F V Lógica booleana Lógica difusa

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos EJEMPLO: Es peligroso llegar a estar demasiado cerca de un león

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Trasladamos la pregunta mediante la elección de un umbral T en lógica clásica: SI (distancia < T) ENTONCES peligro Esto se puede representar mediante la teoría clásica de conjuntos

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Consideremos una pequeña distancia, y su variación: ¿Hay peligro estando a la distancia T - ξ?

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Funciones de pertenencia continuas Conjuntos Difusos

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Problemas Básicos subyacentes: Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos que manejamos los humanos a menudo, no tienen una definición clara: ¿Qué es una persona alta? ¿A partir de qué edad una persona deja de ser joven? La lógica clásica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una afirmación puede no ser ni VERDAD (true) ni FALSA (false). “Ella es guapa”: ¿Es guapa, muy guapa o un poco mejor que regular?

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos De Conjuntos clásicos a Conjuntos Difusos X: Universo de discurso A: Un conjunto definido en ese universo de discurso Formas de definir el conjunto A: Enumerando elementos Especificando una propiedad Definiendo la función característica

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Ejemplo: Conjunto clásico de números reales en el intervalo [0,10] comprendidos entre 5 y 8 A = [5,8], X = [0,10]

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Función característica  Conjunto nítido Función de pertenencia  Conjunto difuso Para cada elemento x, es el grado de pertenencia al conjunto difuso A

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Ejemplo: Conjunto de gente joven B = {gente joven} B = [0,20] 30 15 20 25 50 35 40 45

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Un conjunto difuso se pueden definir como: Una función continua. Una enumeración de pares definidos sobre elementos discretos del conjunto donde  no representa una suma, sino una colección de todos los pares. A(x)/x no representa ningún cociente, sino un par (posibilidad/elemento)

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Sea el conjunto difuso joven grado de pertencia 30 15 20 25 50 35 40 45 1 edad A = {1/10, 1/15, 1/20, 0.75/25, 0.25/30, 0/35 } A = {(1,10), (1,15), (1,20), (0.75,25), (0.25,30), (0.35,0) }

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Tipos de funciones de pertenencia Funciones triangulares a b c

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Funciones trapezoidales a b c d

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos Funciones gaussianas Otras: campana, S, Z, etc. Funciones descritas mediante polígonos Generalizan cualquier otro tipo de representación Nivel de aproximación ajustable

CONCEPTOS BASICOS DE CONJUNTOS DIFUSOS

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos El soporte de un conjunto difuso A en el universo de discurso U es un conjunto nítido que contiene todos los elementos de U que tenga valores de pertenencia ≠ 0 en A. Soporte(A) = {x є U / μA(x) > 0} Si el soporte de un conjunto difuso es vacío, este es llamado conjunto difuso vacío (empty fuzzy set). Si el conjunto soporte está representado por un solo punto en U, este se denomina singleton difuso (fuzzy singleton). 1 soporte x μA(x)

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos El conjunto x, donde μA(x) alcanza el valor de 1 se denomina núcleo (core). 1 núcleo x μA(x) La altura de un conjunto difuso es el mayor valor de pertenencia logrado por algún punto. En un conjunto difuso normal la altura es 1. normal: μA(x) = 1 altura μA(x) x

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos Dado un conjunto difuso A definido en X y un número   [0; 1] un conjunto  - cut (alfa corte) es un conjunto nítido que contiene todos los elementos en U que tengan valores de pertenencia en A mayores o iguales que α, definido por: A = { x є U / μA(x)  } A + = { x є U / μA(x)  } strong  - cut Operaciones Estándar Complemento A(x) A(x) = 1 - A(x) Unión: t-conormas ( AB ) x = max[ A(x), B(x)] Intersección: t-normas ( AB ) x = min[ A(x), B(x)]

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos Un conjunto difuso es convexo si y sólo si su α-cut Aα es un conjunto convexo para algún α en el intervalo (0, 1] Un conjunto A es convexo si para algún λ en [0, 1]: μA(λx1 + (1 – λ)x2) ≥ min(μA(x1), μA(x2)) Alternativamente, A es convexo si todos los α-cuts son convexos 1 0.8

Normas y Co-normas Triangulares Establecen modelos genéricos para las operaciones de unión y intersección, las cuales deben cumplir ciertas propiedades básicas (conmutativa, asociativa, monotonicidad y condiciones frontera). Definiciones: Norma Triangular, t-norma: Operación binaria t: [0,1]2  [0,1] Conforma Triangular, t-conorma o s-norma: Operación binaria s: [0,1]2  [0,1]

T-Norma ∩ Simetría Asociativa Monotonicidad Condición Frontera

U S-Norma o T-Conorma Simetría Asociativa Monotonicidad Condición Frontera

Ejemplos de: T-Norma y S-Norma Mínimo/Máximo: Lukasiewicz: Probabilística:

Características Para cada t-norma existe una s-norma dual o conjugada (y viceversa) : x S y = 1 – (1 – x) T (1 – y) (usamos la negación original) x T y = 1 – (1 – x) S (1 – y) Esas son las Leyes de De Morgan de la teoría de conjuntos difusos, que en conjuntos nítidos se aplican a la unión y a la intersección:

Enfoque Lingüístico Difuso y Computación con Palabras

Enfoque Lingüístico Difuso y CWW COMPUTING WITH WORDS Enfoque Lingüístico Difuso y CWW Zadeh in Computing with Words Methodology for reasoning and decision-making with information described in natural language Capability to converse, communicate, reason and make decisions in an environment of imprecision Capability to perform physical and mental tasks without any measurement J.M. Mendel, L.A. Zadeh, E. Trillas, R.R. Yager, J. Lawry, H. Hagras, and S. Guadarrama. What computing with words means to me. IEEE Computational Intelligence Magazine, 5(1):20–26, 2010.

Enfoque Lingüístico Difuso y CWW COMPUTING WITH WORDS Enfoque Lingüístico Difuso y CWW Fuzzy Linguistic Approach The concept of Linguistic variable was widely described in: Lotfi A. Zadeh. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning, Part I: Inf. Sci. 8, 199-249, 1975; Part II: Inf. Sci. 8, 301-357, 1975; Part III: Inf. Sci. 9, 43-80, 1975. Linguistic variables differ from numerical variables in that their values are not numbers but are words or phrases in a natural or artificial language (Zadeh, 1975). A linguistic variable is a 5-tuple <L, T(L), U, S, M> in which L is the name of the variable, T(L) is a finite term set of labels or words, S is the syntactic rule which generates the terms in T(L), U is a universe of discourse, and M is a semantic rule which associates with each linguistic label X its meaning, where M(X) denotes a fuzzy subset of U.

Enfoque Lingüístico Difuso y CWW COMPUTING WITH WORDS Enfoque Lingüístico Difuso y CWW Variable Linguistic variable Very low Low Medium Hight Very hight Linguistic terms Semantic rule Fuzzy constraints The successful use of linguistic variables is highly dependent on the determination of a valid membership function. This is crucial question that always appears in CW.

Enfoque Lingüístico Difuso y CWW COMPUTING WITH WORDS Enfoque Lingüístico Difuso y CWW Computing with Words Results quantifiable in natural language Initial computing scheme with fuzzy linguistic terms in DM: R.M. Tong and P.P. Bonissone. A linguistic approach to decision making with fuzzy sets. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, SMC-10(11):716–723, 1980

Enfoque Lingüístico Difuso y CWW COMPUTING WITH WORDS Enfoque Lingüístico Difuso y CWW Computing with Words Translation and Retranslation processes Machine and Human beings Interpretability Other computing schemes with fuzzy linguistic terms in DM: K.S. Schmucker. Fuzzy Sets, Natural Language Computations, and Risk Analysis. Computer Science Press, Rockville, MD, 1984 R.R. Yager. Computing with words and information/intelligent systems 2:applications, chapter Approximate reasoning as a basis for computing with words, pages 50–77. Physica Verlag, 1999 R.R. Yager. On the retranslation process in Zadeh’s paradigm of computing with words. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Part B: Cybernetics, 34:1184–1195, 2004.

Enfoque Lingüístico Difuso y CWW COMPUTING WITH WORDS Enfoque Lingüístico Difuso y CWW Mendel in Implementation of previous formulation (1) Establish a vocabulary of words that is application dependent (2) Collect data from a group of subjects about all of the words in the vocabulary (3) Map data into a fuzzy set model (4) Establish the CW engine (aggregation, reasoning, etc.) will be used (5) Implement the specific CW engine (6) Map the fuzzy set output into a linguistic results (recommendations) J.M. Mendel, L.A. Zadeh, E. Trillas, R.R. Yager, J. Lawry, H. Hagras, and S. Guadarrama. What computing with words means to me. IEEE Computational Intelligence Magazine, 5(1):20–26, 2010.

Enfoque Lingüístico Difuso y CWW COMPUTING WITH WORDS Enfoque Lingüístico Difuso y CWW Guidelines must be passed or else the work should not be called Computing with Words G1: A word must lead to a membership function rather than a membership function leading to a word. G2: Numbers alone may not activate the CW engine G3: The output from a CW must be at least a word and not just a number

Linguistic Computing Models

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW CLASSICAL COMPUTATIONAL MODELS FOR LINGUISTIC AGGREGATION Semantic model It works on the fuzzy numbers associated to the semantics, and uses the extension principle for aggregation. Symbolic model It works on the indexes of the linguistic labels. Very low Low Medium High Very high Order

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW SEMANTIC MODEL Linguistic aggregation approach based on the Principle of Extension (fuzzy arithmetic): The result is a fuzzy number that usually has not associated a linguistic label on the initial label set S. We must use an approximation function app1(·) for associating a label set. Another possibility is to use fuzzy ranking procedures for ordering the alternatives.

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW EXAMPLE: SEMANTIC MODEL (0.33,0.41,0.53) The approximation process (label red to L or M) deals with a loss of information. Degani, R., Bortolan, G. The problem of linguistic approximation in clinical decision making  Int. J. Approx. Reas. 2 (1988) 143-162. 

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW SYMBOLIC MODEL The symbolic aggregation computes on the label indexes The result is a real value on the granularity interval (that usually is not an integer) For assigning a label (an integer value) we also need an approximation process, app2(·)

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW SYMBOLIC MODEL Linguistic symbolic computational model based on ordinal scales and max-min operators Linguistic symbolic computational model based on convex combination R.R. Yager. A new methodology for ordinal multiple aspect decisions based on fuzzy sets Decision Sciences 12 (1981) 589-600. Delgado, M., Verdegay, J.L., Vila, M.A., On aggregation operations of linguistic labels International Journal of Intelligent Systems 8:3 (1993)  351-370.  38

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW EXAMPLE: SYMBOLIC MODEL BASED ON CONVEX COMBINATIONS The approximation process (round(2.75) = 3) also leads us to a loss of information.

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW Linguistic Symbolic Approach Advantages Easy computation Results Interpretability Drawback Loss of information Computing with Words Lack of accuracy Challenges To improve accuracy To increase Operational laws

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW New Linguistic Symbolic Approaches Linguistic 2-tuple Model [Herrera & Martínez 00] F. Herrera and L. Martínez. A 2-tuple Fuzzy Linguistic Representation Model for Computing with Words. IEEE Transactions on Fuzzy Systems 8:6 (2000) 746-752.

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW SYMBOLIC MODEL 2-tuple fuzzy linguistic representation. A new symbolic approach Why to propose it? There exist limitations in the loss of information caused by the need to express the results in the initial expression domain that is discrete via an approximate process. This loss of information implies a lack of precision in the final results from the fusion of linguistic information. We present tools for overcoming this limitation. F. Herrera and L. Martínez. A 2-tuple Fuzzy Linguistic Representation Model for Computing with Words. IEEE Transactions on Fuzzy Systems 8:6 (2000) 746-752.

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW 2-tuple fuzzy linguistic representation. It is a linguistic model based on a pair of information and uses indexes based aggregation operators It is based on the concept of “symbolic translation”

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW 2-tuple fuzzy linguistic computational model. From numerical value to 2-tuple From 2-tuple to numerical value

Linguistic Computing Models Enfoque Lingüístico Difuso y CWW 2-tuple fuzzy linguistic computational model. Negation Operator Comparison Let and be two 2-tuples If k < l then is less than If k = l then: If then and are equal If then is less than If then is greater than Aggregation operators

FUTURE WORK AND CHALLENGES Comentarios Finales Computing with words Increase the operational laws Symbolic point of view Increase the vocabulary to elicitate linguistic preferences Not natural language processing Joint CW with other methodologies for reasoning