Modelos de Conectividad Métricas sobre grafos Carlos Aguirre Maeso Escuela Politécnica superior

Métricas. Muchas propiedades de los grafos van a depender del valor de ciertas métricas o de funciones que combinan los valores de diversas metricas. En general las metricas seran útiles para clasificar grafos. A cada grafo se le asignara un tipo (o varios) de res en función de los valores que tomen sus metricas

Tamaño y orden Se define orden |V| como el número de nodos que tiene el grafo Se define tamaño |E| como el número de ramas del grafo Un grafo se define disperso si |E| << |V|(|V|-1)/2

Tamaño y orden Se define el coeficiente de dispersión de un grafo G como 2*|E|/|V|(|V|-1)

Grado de los nodos. Se define el grado de un nodo <k> como el número de vecinos que tiene el nodo. Si el grafo es dirigido se distingue entre el grado de salida <k>out y el grado de entrada <k>in Se define el grado medio del grafo como la media del grado de los nodos. El grado medio tambien se puede calcular 2|E|/|V|

Grado de los nodos. Un grafo cuyos nodos tengan todos el mismo grado se denomina regular. Un grafo regular con k= |V|-1 se denomina completo.

Distribución de grado. Se puede representar la distribucion de los grados de los nodos del grafo. En el eje x se representan los posibles grados En el eje y se representan cuantos nodos tienen ese grado dividido entre el numero total del nodos del grafo

Distribución de grado. Un grafo regular corresponde a una distribución a una distribución de masa concentrada en un punto. Un grafo aleatorio tiene una distribución correspondiente a una poisson.

Distribución de grado. Un caso especial es la distribución libre de escala. Corresponde a una recta cuando se pinta en escala logaritmica-logaritmica. Los grafos con esta distribución de grados se denominan libres de escala.

Distribución de grado. Libre de escala Poisson

Conexidad. Una componente conexa de un grafo es un conjunto maximal de nodos tal que existe al menos un camino que conecta ambos nodos. Un grafo con una componente conexa se denomina conexo. La componente conexa de mayor tamaño se denomina la componente gigante B del grafo.

Conexidad. En un grafo conexo |B| = |V|. En grafos no conexos se puede considerar el tamaño de la componente gigante. Tambien se puede considerar la distribución del tamaño de las componentes conexas.

Caminos Se llama distancia entre dos nodos a la longitud del camino mas corto que los une. Se llama diámetro del grafo a la mayor distancia entre dos nodos del grafo.

Caminos Se denomina camino característico de un grafo al valor medio de la distancia entre todas las parejas de nodos del grafo Se llama diámetro del grafo a la mayor distancia entre dos nodos del grafo. El diámetro es una cota superior para el camino característico.

Caminos El camino carácterístico se suele calcular en dos pasos. a) Para cada nodo i se calcula la distancia media a los demas nodos del grafo. b) Se calcula el valor medio de los valores anteriores de cada nodo.

Indice de clusterizacion. El indice de clusterización es el valor medio del indice de clusterización de cada nodo Donde Ei es el numero de conexiones que existen entre los vecinos del nodo

Subgrafos La probabilidad crítica pc(N) de encontrar algunos subgrafos es:

Bi-conexidad. Una componente bi-conexa es un conjunto maximal de nodos tales que para cualquier par de nodos existen al menos dos caminos que los unen. El número de componentes biconexas indica la redundancia en caminos del grafo.