CÁLCULO DIFERENCIAL Ing. Walter Rodríguez Aroca, Msc. FUNCIONES UNIDAD 1 FUNCIÓN COMPOSICIÓN TEMA 2

SUBTEMAS  Subtema 1: Definición y Propiedades.  Subtema 2: Ejemplos de Funciones Compuestas.

OBJETIVO Calcular la regla general de la composición de dos o más funciones. Determinar el dominio y rango de funciones compuestas. Realizar operaciones con las funciones compuestas.

ACTIVIDAD DE INICIO Sres. Estudiantes, para comenzar el Tema 2 de la asignatura de Cálculo Diferencial, por favor realizar el siguiente cuestionario, que se encuentra en el link:

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Definición de Función Compuesta. La composición de funciones hace referencia a la sustitución de la variable de una función por otra función que ocupa todas las posiciones de la variable de la función original. Se define la función compuesta de dos funciones () y () cualesquiera, y designada por ( )() a la función que transforma en (()). ( )() = (())

SUBTEMA 1: DEFINCIÓN Y PROPIEDADES Definición de Función Compuesta. Figura 1. Analogía de la función composición. Fuente: Compendio Cálculo Diferencial de la UNEMI.

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Definición de Función Compuesta. Figura 2. Ejemplo de función composición. Fuente: Compendio Cálculo Diferencial de la UNEMI.

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ejemplo de Función Compuesta. Si () = √ y () = √2 −, encuentre la siguiente función: ( )() (1) = √2 − 1 = √1 = 1 (1) = √1 = 1 ( )(1) = ((1)) = 1

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Propiedades de la Función Compuesta. Asociativa: esta propiedad define que dada tres funciones cualquiera (), ( ) y ℎ (), se cumple que [ ℎ ( )] = [( ℎ ) ]: Dadas las funciones () = √, () = 2 y ℎ () = + 2. Hallar [ ℎ ( )] ( )() = (()) ( )() = (()) = (√) = (√) 2 = [ ℎ ( )]() = ℎ [( )()] = ℎ () = + 2

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Propiedades de la Función Compuesta. No es Conmutativa: Es decir ( ) y ( ) son funciones distintas (te darán soluciones distintas). Utilizaremos las funciones () = 3 y () = + 1 para comprobar que no cumple la propiedad conmutativa ( )() = (()) = ( 3 ) = ( )() = (()) = ( + 1) = ( + 1) 3

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Dominio y Rango de la Función Compuesta. La función compuesta existe cuando ⊆. Figura 3. Dominio y rango de (g o f). Fuente: (Fernández, s.f.)

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Dominio y Rango de la Función Compuesta. La función compuesta existe cuando ⊆. Figura 4. Dominio y rango de (f o g). Fuente: (Fernández, s.f.)

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Operaciones con Funciones. Tabla 1. Operaciones con funciones. Fuente: Compendio de Cálculo Diferencial de la UNEMI

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Operaciones con Funciones. Obtener las funciones +, −, () y (⁄) a partir de: Reglas de correspondencias asignadas a cada función: Figura 5. Interpretación del ejemplo. Fuente: (Instituto de Ciencias Matemáticas, 2006)

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Operaciones con Funciones. Figura 5. Interpretación del ejemplo. Fuente: (Instituto de Ciencias Matemáticas, 2006) Figura 6. Distribución de las funciones a operar. Fuente: (Instituto de Ciencias Matemáticas, 2006)

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Operaciones con Funciones. Figura 7. Resultados de las operaciones efectuadas. Fuente: (Instituto de Ciencias Matemáticas, 2006)

SUBTEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Operaciones con Funciones. Las reglas de correspondencia del ejercicio anterior, son las siguientes:

SUBTEMA 2: EJEMPLOS Ejemplo de Composición de Funciones. Sean () = 6 ⁄ ( 2 − 9) y () = √3. Determinar a)( )(12) b)( )() c)El dominio de ( )(). ( )(12) = ((12)) (12) = √3(12) = √36 = 6 ((12)) = (6) = 6(6) ⁄ (6 2 − 9) = 36 ⁄ (36 − 9) = 36 ⁄ 27 = 4 ⁄ 3

SUBTEMA 2: EJEMPLOS Ejemplo de Composición de Funciones. Sean () = 6 ⁄ ( 2 − 9) y () = √3. Determinar a)( )(12) b)( )() c)El dominio de ( )(). ( )() = (()) = (√3) = 6√3 ((√3) 2 ⁄ − 9) = 6√3 ⁄ (3 − 9) 6√3 ⁄ (3 − 9) = 6√3 ⁄ 3( − 3) = 2√3 ⁄ ( − 3)

SUBTEMA 2: EJEMPLOS Ejemplo de Composición de Funciones. Sean () = 6 ⁄ ( 2 − 9) y () = √3. Determinar a)( )(12) b)( )() c)El dominio de ( )(). Tenemos un radical en el numerador (√3) y un cociente ( − 3), por lo tanto se realizan las inecuaciones siguiendo las respectivas restricciones: √3 → 3 ≥ 0 ≥ 0 − 3 ≠ 0 ≠ 3 El dominio es el resultado de la intersección de ambos resultados: = [0,3) ∪ (3, ∞)

ACTIVIDAD DE CIERRE Sres. Estudiantes, realizar la siguiente prueba, que se encuentra en el siguiente link:

BIBLIOGRAFÍA 1.Fernández, J. (s.f.). Fisicalab. Obtenido de 2.Gil Sevilla, J. L., & Díaz Téllez, R. (2013). Cálculo diferencial: para cursos con enfoque por competencias. México: Pearson Educación de México, S.A. 3.Instituto de Ciencias Matemáticas. (2006). Fundamentos de matemáticas. Ecuador: ICM-ESPOL. 4.Purcell, E., Varberg, D., & Rigdon, S. (2007). Cálculo diferencial e integral. México: Pearson Educación. 5.Jiménez, R. (2006). Funciones matemáticas 4. México: Pearson educación.

BIBLIOGRAFÍA 6.[KhanAcademyEspañol]. (2014). Introducción a la composición de funciones [Archivo de video]. Recuperado de [jairo yamil]. (2009). valor absoluto [Archivo de video]. Recuperado de [lasmatematicas.es]. (2012). Operaciones con funciones [Archivo de video]. Recuperado de