EL CÁLCULO DE PI ……………. Integrantes del Trabajo: UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION E.P DE MATEMÁTICA, COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA EL CÁLCULO DE PI ……………. Integrantes del Trabajo: Zúñiga Mayhua Alexander Ichpas Vargas Joel Elber Castillo Ramos Jhimy Vargas Arias Abel Paitan Castillo Alexandro

INDICE DE CONTENIDOS CONCEPTOS BREVE HISTORIA METODO CLASICO PARA EL CALCULO DE PI ISAAC NEWTON Y EL NUEVO CALCULO DE PI BREVE DESCRIPCIÓN DE LA IMPORTANCIA Y COMPLEJIDAD DE PI

QUE ES PI ???? Según la Real Academia española, el número pi es un numero Mat. trascendente 3,141592…, que expresa el cociente entre la longitud de la circunferencia y la de su diámetro. (Simbología: π). En términos mas sencillos, pi viene siendo la cantidad de veces que el diámetro de una circunferencia cabe en su propio perímetro, este calculo al parecer sencillo, llevo a los mas grandes matemáticos de la historia a nuevos horizontes.

BREVE HISTORIA DEL CALCULO DE PI HAGA ZOOM…. La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes. Mesopotamia Antiguo Egipto Antigüedad Clásica Matemática China Matemática India Matemática Islámica Hacia el 1900-1600 a. C., algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de π igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de: En egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind, donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9; es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna: El matemático griego Arquímedes fue capaz de determinar el valor de pi con un error que oscila entre 0.024 % y 0.040 % sobre el valor real. El Astrónomo chino Zhang Heng (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación √10, que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el valor en 3.1416. A mediados del siglo vii, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata El siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6.2831853071795865 El método usado por Arquímedes era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados. Un siglo después El astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3.155555), aunque se desconoce el método empleado. Brahmagupta calcula pi como √10, cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3.14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación. El matemático Liu Hui fue en sugerir que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96 0 192 lados. Posteriormente estimo π como 3,14159 empleando un polígono de 3072 lados.

BREVE HISTORIA DEL CALCULO DE PI HAGA ZOOM…. Renacimiento europeo Época moderna (Precomputacional) Época moderna (Precomputacional) El matemático Fibonacci (1170-1250), en su “Practica Geometriae”, amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. El matemático aficionado de origen inglés William Shanks trabajó, durante 20 años, en hallar los dígitos decimales de, habiendo obtenido 707 decimales en 1873. En 1949 un ENIAC fue capaz de romper el récord, obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. pocos años después (1954), un NORAC llegó a 3092 cifras. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos de hasta 393 216 lados para aproximarse con buena precisión a 3.141592653. En 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de π mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento. En 1948, Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora electrónica. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando el método de Arquímedes. En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones

METODO CLASICO PARA EL CÁLCULO DE PI EL PLANTEAMIENTO DE ARQUÍMEDES para aproximar el número pi consistió en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n lados en una circunferencia, y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados cada uno. De este modo calculó que el valor de π debía encontrarse entre 3+10/71 = 223/71 y 3+1/7 =22/7 𝟐𝟐𝟑 𝟕𝟏 <𝝅< 𝟐𝟐 𝟕 3’140845 < 𝝅<3’142857

EL PLANTEAMIENTO DE ARQUÍMEDES EN GEOGEBRA Cuando esta inscrito Cuando esta circunscrito

ISAAC NEWTON Y EL CÁLCULO DE PI MÉTODO DE NEWTON Isaac newton en el año 1666, empezó a experimentar con expresiones simples como: (𝟏+ 𝒙) 𝟐 =𝟏+𝟐𝒙+ 𝒙 𝟐 (𝟏+ 𝒙) 𝟑 =𝟏+𝟑𝒙+ 𝟑𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 (𝟏+ 𝒙) 𝟒 =𝟏+𝟒𝒙+ 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒 (𝟏+ 𝒙) 𝟓 =𝟏+𝟓𝒙+ 𝟏𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 𝟑 + 𝟓𝒙 𝟒 + 𝒙 𝟓 TRIANGULO DE PASCAL TEOREMA DEL BINOMIO (𝟏+ 𝒙) 𝒏 =𝟏+𝒏𝒙+ 𝒏 𝒏−𝟏 𝒙 𝟐 𝟐! + 𝒏 𝒏−𝟏 𝒏−𝟐 𝒙 𝟑 𝟑! +… Para poder aplicar esta ecuación es que “n” debe ser un numero positivo.

Isaac newton quiso poner en prueba la ecuación, utilizando como “n” números negativos, e incluso números decimales o fracciones. Su primer interés de newton estaba en 𝒏=𝟏/𝟐, tanto para números negativos como para números fraccionarios, la serie se vuelve infinita. (𝟏+ 𝒙) 𝟏 𝟐 =𝟏+ 𝟏 𝟐 𝒙+ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 −𝟏 𝟏 𝟐 −𝟐 𝒙 𝟑 𝟔 +… (𝟏+ 𝒙) 𝟏 𝟐 =𝟏+ 𝟏 𝟐 𝒙− 𝟏 𝟖 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝟏𝟔 𝒙 𝟑 − 𝟓 𝟏𝟐𝟖 𝒙 𝟒 + 𝟕 𝟐𝟓𝟔 𝒙 𝟓 +… Para 𝒏=𝟏/𝟐 resulta:

Por otro lado la ecuación que representa a una circunferencia de radio 1 centrada en un plano de coordenadas (x, y) es 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 =𝟏, donde si despejamos la variable y, obtenemos la ecuación 𝒚=(𝟏− 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 . Aquí es donde podemos evidenciar que el binomio (𝟏− 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 se puede igualar a la serie infinita obtenida mediante 𝒏=𝟏/𝟐. La única diferencia es que ahora sustituiremos X  por  −𝒙 𝟐 : (𝟏− 𝒙 𝟐 ) 𝟏 𝟐 =𝟏− 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝟖 𝒙 𝟒 − 𝟏 𝟏𝟔 𝒙 𝟔 − 𝟓 𝟏𝟐𝟖 𝒙 𝟖 − 𝟕 𝟐𝟓𝟔 𝒙 𝟏𝟎 +…

Aquí es donde Newton aplica el cálculo infinitesimal, teoría que el mismo acababa de desarrollar. El integraría ambos lados de la igualdad. La serie infinita, ahora integrada, representa el área bajo la curva en la circunferencia. Pero este integral se definiría de 0 a 1, por lo que el área en cuestión sería una cuarta parte del círculo de radio 1. Sabemos que un círculo posee un área de πr2, pero siendo r=1 el radio de nuestro círculo, su área total es π. Pero al integrar de 0 a 1 estamos tomando en cuenta el área por encima del eje "X" de ese rango, siendo esta área una cuarta parte del área total, es decir, π/4. La serie infinita integrada de 0 a 1 se iguala a π/4. Luego se despeja π y se evalúa el resultado para los límites establecidos. Obtuvimos así un valor cercano a π, teniendo en cuenta que solo tomamos 5 términos de la serie infinita:

La precisión de π dependerá de cuanto nos extendamos en la serie La precisión de π dependerá de cuanto nos extendamos en la serie. Pero Newton no se conformó con esto, y vio la posibilidad de llegar más rápido a un resultado más preciso, cambiando los límites de integración. En vez de integrar de 0 a 1, el límite superior se establece en 1/2. Como resultado, el área de interés ya no será π/4, sino que habrá que emplear algo de geometría para hallarla:

Esta nueva área, se iguala a la nueva integral Esta nueva área, se iguala a la nueva integral. Como resultado, el despeje de π nos lleva a una ecuación que converge más rápidamente que la anterior hacia un resultado más preciso, por lo que se requieren menos términos de la serie para una precisión similar a la anterior serie.

IMPORTANCIA Y COMPLEJIDAD DE PI Es importante porque la constante π nos ayuda a comprender nuestro universo con mayor claridad. La definición de π inspiró una nueva noción de medición de ángulos, una nueva unidad de medida. Ciencia Las fórmulas de otras ramas de la ciencia también incluyen π en algunas de sus fórmulas importantes, incluidas ciencias como estadística, fractales, termodinámica, mecánica, cosmología, teoría de números y electromagnetismo. La aplicación de Pi en la vida real incluye varias áreas como Trigonometría, ciencia, Geometría, y Naturaleza, etc. Trigonometría Se utiliza para obtener el valor de la función de trigonometría como seno, coseno, tangente, etc. Puede medir la velocidad circular de cosas como ruedas de camiones, ejes de motores, piezas de motores, engranajes etc. Naturaleza Usando pi, se puede medir cosas como curvas de ríos, onda de luz, distribución de partículas radiactivas, olas oceánicas, y probabilidad como la distribución de centavos, la cuadrícula de clavos y montañas usando una serie de círculos.

¿EN QUE SE DIFERENCIA PI Y PHI? Los egipcios conocían un valor aproximado de pi en el siglo xix a.C. La decisión de denominar de pi al numero 3,1415 fue del matemático suizo Leonard Euler, en 1737 Pi es la relación entre una circunferencia y su diámetro Phi(𝜑) Sin embargo de Phi no tenemos noticia hasta Euclides 1500 años mas tardes. Por otro lado la idea de usar phi, otra letra griega para denominar al numero 1,618033 fue del matemático Martin ohm, en 1837. Por otro lado phi es la relación entre la diagonal y el lado de un pentágono, PI