RESISTENCIA DE MATERIALES I UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO RESISTENCIA DE MATERIALES I Esfuerzos en superficies inclinadas. Concentración de esfuerzos. Ejemplos de aplicación. Tema: Integrantes: Grupo 3 1.- CUSMA ALVITRES ELI IVAN 2.- MORE DURAND ENRIQUE 3.- SUCLUPE SANTISTEBAN DAVID 4.- TEJADA CAJUSOL ÁNGEL Docente: ING. JANNYNA BEATRIZ BERNILLA GONZALES ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

INTRODUCCIÓN En el presente trabajo el grupo realizará el estudio respectivo de los esfuerzos en diferentes posiciones como son los esfuerzos en superficies oblicuas o inclinadas, donde se detalla cualquier esfuerzo de carga axial sobre un plano inclinado. La concentración de esfuerzos en los elementos o materiales diversos que están sometidos a cargas axiales. Lo entenderemos mejor con algunos ejemplos de aplicación.

Entender y poder ubicar los esfuerzos que actúan sobre secciones inclinadas. Conocer acerca de la concentración de esfuerzos y qué es lo que lo ocasiona. Relacionar lo presentado en este trabajo con lo que se realiza en la vida del campo profesional de la ingeniería. OBJETIVOS

ESFUERZOS EN SUPERFICIES PLANAS 𝜃 En este caso se muestra una barra sometida a cargas axiales P, las cuales al cortar en una sección transversal intermedia, se podrá observar los esfuerzos normales que actúan en dicha sección. En este caso se muestra una barra sometida a cargas axiales P, las cuales al cortar por un plano inclinado formando un ángulo 𝜃 con la vertical, se podrá observar los esfuerzos normales que actúan en dicha sección. 𝜎 𝜃 = 𝑃 A (cos 𝜃) 2 𝜎 𝑥 = 𝑃 A

Ahora el elemento ha sido cortado por el plano inclinado pq, cuyas fuerzas se mantienen sobre su mismo eje, donde el esfuerzo cortante dependerá de su ángulo, se analizará cualquier lado de la sección.

𝐴 θ = 𝐴 0 cosθ 𝜎 θ = 𝑁 𝐴 θ = 𝑃cosθ 𝐴 0 /cosθ N= 𝑃cosθ V= −𝑃senθ 𝐴 θ = 𝐴 0 cosθ La orientación de la superficie inclinada se podrá definir por el ángulo θ, entre el eje “x” y un eje normal al plano “n”. 𝜎 θ = 𝑁 𝐴 θ = 𝑃cosθ 𝐴 0 /cosθ 𝜎 θ = 𝑃𝑐𝑜𝑠 2 θ 𝐴 0 = P(1+cos2θ) 2𝐴 0 𝜏 θ𝑡 = 𝑉 𝐴 θ = −𝑃senθ 𝐴 0 /cosθ 𝜏 θ𝑡 = - Psenθ∗𝑐𝑜𝑠θ 𝐴 0 = −P(𝑠𝑒𝑛2θ) 2𝐴 0

FORMA DE PLANOS EN LOS MATERIALES b FRACTURA FRAGIL FRACTURA DUCTIL

ESFUERZOS BAJO CONDICIÓN GENERAL DE CARGA Esfuerzos normal y cortante 𝛔 𝐱 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝐀→𝟎 ∆ 𝐅 𝐗 ∆𝐀 𝛕 𝐱𝐲 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝐀→𝟎 ∆ 𝐕 𝐲 𝐱 ∆𝐀 𝛕 𝐱𝐳 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝐀→𝟎 ∆ 𝐕 𝐳 𝐱 ∆𝐀

ESTADO DE ESFUERZOS LAS FUERZAS NORMALES EN EL PUNTO Q 𝐹 𝑦 =0 𝐹 𝑧 =0 𝛔 𝐲 ∆𝐀 𝛕 𝐲𝐱 ∆𝐀 𝛕 𝐲𝐳 ∆𝐀 𝐹 𝑦 =0 𝐹 𝑧 =0 𝐹 𝑥 =0 𝛕 𝐱𝐲 ∆𝐀 𝛕 𝐳𝐲 ∆𝐀 𝛔 𝐱 ∆𝐀 𝛕 𝐳𝐱 ∆𝐀 𝛕 𝐱𝐳 ∆𝐀 𝜎 𝑦 ∆𝐴− 𝜎 ′ 𝑦 ∆𝐴=0 𝜎 𝑦 ∆𝐴= 𝜎 ′ 𝑦 ∆𝐴 𝜎 𝑦 = 𝜎 ′ 𝑦 𝜎 𝑧 ∆𝐴− 𝜎 ′ 𝑧 ∆𝐴=0 𝜎 𝑧 ∆𝐴= 𝜎 ′ 𝑧 ∆𝐴 𝜎 𝑧 = 𝜎 ′ 𝑧 𝛔 𝐳 ∆𝐀 𝜎 𝑥 ∆𝐴− 𝜎 ′ 𝑥 ∆𝐴=0 𝜎 𝑥 ∆𝐴= 𝜎 ′ 𝑥 ∆𝐴 𝜎 𝑥 = 𝜎 ′ 𝑥

𝜏 𝑥𝑦 = 𝜏 𝑦𝑥 = 𝜏 𝑥𝑦 ′ = 𝜏 𝑦𝑥 ′ = 𝝉 𝛕 𝐲𝐱 ∆𝐱∆𝒛 𝛕′ 𝐱𝐲 ∆𝐲∆𝒛 𝛕 𝐱𝐲 ∆𝐲∆𝒛 ESTADO DE ESFUERZOS LAS FUERZAS CORTANTES EN EL PUNTO Q 𝑭 𝒙 = 𝝉 𝒚𝒙 ∆𝒙 ∆𝒛−𝝉 𝒚𝒙 ′ ∆𝒙∆𝒛=𝟎 ∴ 𝝉 𝒚𝒙 = 𝝉 𝒚𝒙 ′ ∆𝐱 ∆𝒛 𝛕 𝐲𝐱 ∆𝐱∆𝒛 𝑭 𝒚 = 𝝉 𝒙𝒚 ∆𝒚 ∆𝒛−𝝉 𝒚𝒙 ′ ∆𝒚∆𝒛=𝟎 ∴ 𝝉 𝒙𝒚 = 𝝉 𝒙𝒚 ′ ∆𝒚 𝑴 𝒛 = (𝝉 𝒙𝒚 ∆𝒚 ∆𝒛)∆𝒙 − (𝝉 𝒚𝒙 ∆𝒙 ∆𝒛)∆𝒚=𝟎 ∴ 𝝉 𝒙𝒚 = 𝝉 𝒚𝒙 𝛕′ 𝐱𝐲 ∆𝐲∆𝒛 𝛕 𝐱𝐲 ∆𝐲∆𝒛 𝛕′ 𝐲𝐱 ∆𝐱∆𝒛 𝜏 𝑥𝑦 = 𝜏 𝑦𝑥 = 𝜏 𝑥𝑦 ′ = 𝜏 𝑦𝑥 ′ = 𝝉

ESTADO DE ESFUERZOS EN PLANOS INCLINADOS 𝜎 𝑥 ′ ∆A− (𝜎 𝑋 ∆𝐴 cos 𝜃 ) cos 𝜃 − (𝜏 𝑥𝑦 ∆𝐴 cos 𝜃 ) sin 𝜃 − 𝜎 𝑦 ∆𝐴 sin 𝜃 sin 𝜃 − 𝜏 𝑥𝑦 ∆𝐴 sin 𝜃 cos 𝜃 =0 𝛕 𝐱 ′ 𝐲 ′ ∆𝐀 𝛔 𝐱 ′ ∆𝐀 𝛉 𝜎 𝑥 ′ = 𝜎 𝑥 cos 2 𝜃+ 𝜎 𝑦 sin 2 𝜃+2 𝜏 𝑥𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃 𝛔 𝐱 ∆𝐀𝐜𝐨𝐬𝛉 𝜎 𝑥 ′ = 𝜎 𝑥 1+ cos 2𝜃 2 + 𝜎 𝑦 1− cos 2𝜃 2 + 𝜏 𝑥𝑦 sin 2𝜃 𝛕 𝐱𝐲 ∆𝐀𝐜𝐨𝐬𝛉 𝛕 𝐱𝐲 ∆𝐀𝒔𝒊𝒏𝛉 𝛔 𝐲 ∆𝐀𝐬𝐢𝐧𝛉 𝜎 𝑥 ′ = 𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦 2 + 𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦 2 cos 2𝜃 + 𝜏 𝑥𝑦 sin 2𝜃

ESTADO DE ESFUERZOS EN PLANOS INCLINADOS 𝛕 𝐱 ′ 𝐲 ′ ∆𝐀 𝛔 𝐱 ′ ∆𝐀 𝜏 𝑥 ′ 𝑦 ′ ∆A+ (𝜎 𝑋 ∆𝐴 cos 𝜃 ) sin 𝜃 − (𝜏 𝑥𝑦 ∆𝐴 cos 𝜃 ) cos 𝜃 − 𝜎 𝑦 ∆𝐴 sin 𝜃 cos 𝜃 − 𝜏 𝑥𝑦 ∆𝐴 sin 𝜃 sin 𝜃 =0 𝛉 𝛔 𝐱 ∆𝐀𝐜𝐨𝐬𝛉 𝜏 𝑥 ′ 𝑦 ′ =− 𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃+ 𝜏 𝑥𝑦 ( 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃− 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃) 𝛕 𝐱𝐲 ∆𝐀𝐜𝐨𝐬𝛉 𝛕 𝐱𝐲 ∆𝐀𝒔𝒊𝒏𝛉 𝜏 𝑥 ′ 𝑦 ′ =− 𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦 2 𝑠𝑖𝑛2𝜃+ 𝜏 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝛔 𝐲 ∆𝐀𝐬𝐢𝐧𝛉

GRÁFICAS DE ESFUERZOS NORMALES Y DE CORTE El esfuerzo normal ( 𝜎 θ ) será mayor cuando θ=0° o θ=180° Esfuerzo 𝝈 𝜽 𝝉 𝜽 𝐏 𝐀 ( 𝜎 θ ) maximo = 𝑃 𝐴 θ 𝐏 𝟐𝐀 Ángulo 0° 45° 90° 135° 180° Podemos decir que la magnitud del ( 𝜏 θ ) máximo será igual a la mitad de la magnitud del ( 𝜎 θ ). − 𝐏 𝟐𝐀 El esfuerzo cortante ( 𝜏 θ ) será máximo cuando θ=45° o θ=135° ( 𝜏 θ ) maximo = 1 2 ( 𝜎 θ ) = 𝑃 2𝐴 θ

CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS P A Tenemos una barra, se le aplica una carga P y trazamos su sección A. Con estos datos, el esfuerzo es igual a σ= 𝐏 𝐀 , siempre y cuando el material sea homogéneo y de un solo material, la carga tiene que ser estática, central y axial, además la barra debe tener una sección constante y recta. σ= 𝐏 𝐀

CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS La concentración de esfuerzos ocurren en aquellos lugares o sitios donde existe cambios abruptos en la geometría del material, que puede ser por filetes, en ranuras semicirculares y orificios generalmente. La experiencia en el diseño nos indica que hay al menos dos grupos de casos que aparecen en el análisis o revisión estructural generando concentración de esfuerzos. D ½ d r Efectos que tienen los agujeros en placas y armaduras. d r D Efectos que se dan por la discontinuidad en una barra con dos porciones de diferentes anchos, conectadas por filetes

ESFUERZO PROMEDIO ESFUERZO MÁXIMO Si todos los elementos se deforman de la misma manera, es decir; la distribución de deformaciones unitarias a través del miembro debe ser uniforme. Si las cargas están concentradas, como se muestra en la imagen, los elementos en la cercanía inmediata de los puntos de aplicación de las cargas se encuentran sometidos a esfuerzos muy grandes. P’ P (1) (2) P P’

PRINCIPIO DE SAINT - VENANT La distribución de los esfuerzos a través de una sección dada es la misma, siempre y cuando se de en una sección donde la longitud sea mayor o igual al ancho de la sección transversal. En otras palabras, excepto en la cercanía inmediata de los puntos de aplicación de las cargas, la distribución de esfuerzos puede suponerse independiente del modo de aplicación de la carga. b P’ P P b P ½ b P ¼ b σmáx σprom σmin NOTA: A mayor cercanía de la zona de contacto con la carga, habrá un esfuerzo máximo mayor.

σprom P P r D σmáx r σmáx P P D d σprom DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS DE UN AGUJERO CIRCULAR EN UNA BARRA PLANA BAJO CARGA AXIAL σmáx σprom P D ½ d r P DISTRIBUCION DE ESFUERZOS CERCA DE LOS FILETES EN UNA BARRA PLANA BAJO CARGA AXIAL d r D P σmáx σprom P

FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS La intensidad de una concentración de esfuerzos se expresa por lo general por la razón entre el esfuerzo máximo y el esfuerzo nominal, y se llama factor de concentración de esfuerzos K: 𝒌= 𝝈 𝒎𝒂𝒙 𝝈 𝒑𝒓𝒐𝒎

𝑟 𝑤 𝑤 ℎ 𝑟 ℎ

Las concentraciones de esfuerzos se producen en los segmentos donde el área de la sección transversal cambia de manera súbita. Cuanto más grande es el cambio, mayor será la concentración de esfuerzos. Para el diseño o análisis, solo es necesario determinar el esfuerzo máximo que actúa sobre la sección transversal con el área más pequeña. Para ello se emplea un factor de concentración de esfuerzos k, que se determina mediante experimentación y es sólo función de la geometría de la probeta Tenga en cuenta que K es independiente de las propiedades del material de la barra; sólo depende de la geometría de la barra y del tipo de discontinuidad.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EJEMPLO: 1 Dos elementos de madera con sección transversal rectangular uniforme están unidos mediante un empalme sencillo pegado al sesgo como se muestra la grafica. Si se sabe que el máximo esfuerzo a tensión permisible en el empalme pegado es de 400 kPa, determine: La máxima carga P que puede aplacarse con seguridad Esfuerzo cortante correspondiente al empalme 𝐏 𝛉=45° 3.20 m 0.65 m

𝐏= 𝛔 𝛉 𝐀 𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝛉 𝛔 𝛉 = 𝐍 𝐀 𝛉 = 𝐏𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐀 𝟎 /𝐜𝐨𝐬𝛉 La Máxima Carga P=? SOLUCIÓN: 𝐏´ 𝐏 𝛉=45° 3.20 m 0.65 m 𝛔 𝛉 = 400 kPa = 4* 𝟏𝟎 𝟓 𝐍/ 𝐦 𝟐 𝐀 𝟎 = 3.20m * 0.65 m 𝐀 𝟎 = 2.08 𝐦 𝟐 𝛔 𝛉 = 𝐍 𝐀 𝛉 = 𝐏𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐀 𝟎 /𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐏= 𝛔 𝛉 𝐀 𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝛉 𝐏 𝛉=45° 𝐏𝐬𝐞𝐧𝛉 𝐏𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐏= 400∗ 𝟏𝟎 𝟑 𝐍/ 𝐦 𝟐 (2.08 𝐦 𝟐 ) 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟒𝟓° 𝐏= 𝟏𝟔𝟔𝟒 𝐊𝐍

𝛕 𝛉𝐭 = 𝐏𝐬𝐞𝐧𝛉∗𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐀 𝟎 = 𝐏(𝐬𝐞𝐧𝟐𝛉) 𝟐𝐀 𝟎 EL ESFUERZO CORTANTE 𝛕 𝛉𝐭 = 𝐏𝐬𝐞𝐧𝛉∗𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐀 𝟎 = 𝐏(𝐬𝐞𝐧𝟐𝛉) 𝟐𝐀 𝟎 𝛕 𝛉𝐭 = 𝟏𝟔𝟔𝟒 𝑲𝑵(𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟒𝟓° ) 2(2.08 𝒎 𝟐 ) 𝝉 𝛉𝒕 = 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝑷𝒂

EJEMPLO: 2 50 mm 30 mm 𝛉 10 KN Las 2 porciones del elemento AB están pegadas a lo largo de un plano que forma un ángulo a con la horizontal. Si los esfuerzos finales en la junta son 𝜎 𝑢 = 17 MPa y 𝜏 𝑢 = 9 MPa, hallar el intervalo de valores de 𝛉 entre los cuales el factor de seguridad es por lo menos igual a 3.0.

SOLUCIÓN: A´ 10 KN A DATOS: 𝑃=10 𝐾𝑁 factor de seguridad = 3 𝑃 cos 𝛉 Psen𝛉 A A´ DATOS: 𝑃=10 𝐾𝑁 factor de seguridad = 3 𝝈 𝒖 =17x 10 6 𝑁 𝑚 2 𝝉 𝒖 =9𝑥 10 6 𝑁 𝑚 2 𝛉=?=intervalos 𝐴=50(30) 𝑚𝑚 2 x 1 𝑚 2 10 6 𝑚𝑚 4 =1.5x 10 −3 𝑚 2

𝜎 𝑎 = 𝜎 𝑢 3 =5.667𝑥 10 6 𝑁 𝑚 2 = 10 4 𝑁( cos 𝜃 ) 2 1.5𝑥 10 −3 𝑚 2 …)Reemplazamos: 𝜎 𝑎 = 𝜎 𝑢 3 =5.667𝑥 10 6 𝑁 𝑚 2 = 10 4 𝑁( cos 𝜃 ) 2 1.5𝑥 10 −3 𝑚 2 ( cos 𝜃 ) 2 ≤0.85 𝜽≤𝟐𝟐.𝟕𝟖° …(1) 𝜏 𝑎 = 𝜏 𝑢 3 =3𝑥 10 6 𝑁 𝑚 2 = 10 4 𝑁 sin 𝜃 cos 𝜃 1.5𝑥 10 −3 𝑚 2 sin 𝜃 cos 𝜃 =0.45 sin 𝜃 1− (sin 𝜃 ) 2 =0.45 sin 𝜃 2 (1− sin 𝜃 2 )=0.2025 sin 𝜃 2 ≡0.7179 → sin 𝜃 =0.8472 𝜃=57.9° …(2) sin 𝜃 2 ≡0.2821 → sin 𝜃 =0.5311 𝜃=32.07° …(3) ∴𝟑𝟐.𝟎𝟕≥𝜽≥𝟐𝟐.𝟕𝟖 ESFUERZOS TANGENCIALES ESFUERZOS NORMALES

EJEMPLO: 3 P Un tubo de acero de 300 mm de diámetro exterior y de espesor de pared de 8 mm, es sometido a una carga axial P = 250 KN. Hallar el esfuerzo normal y tangencial a la soldadura en el punto A. 𝛉=𝟐𝟎° A

SOLUCIÓN: P Vista de frente a´ a Sección transversal 300 mm 284 mm 𝛉=𝟐𝟎° P a a´ Vista de frente DATOS: ∅ e =300 mm ∅ i =284 mm 𝑃=250 𝐾𝑁 𝛉=𝟐𝟎° 𝑨 𝟎 = 𝝅 𝟒 𝟑𝟎𝟎𝒎𝒎 𝟐 − 𝟐𝟖𝟒𝒎𝒎 𝟐 𝑨 𝟎 =𝟕𝟑𝟑𝟗 𝒎𝒎 𝟐 . 300 mm 284 mm Sección transversal

𝜎 𝑎 = 𝑃 cos 𝜃 𝐴 0 cos 𝜃° = 𝑃 𝐴 0 cos 20° 2 =30.1𝑀𝑃𝑎 𝜏= Psen𝜃∗𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴 0 =10.95𝑀𝑃𝑎 𝛉=𝟐𝟎° P P=250 KN 𝟐𝟎° 𝑃 cos 20° Psen20° 𝑨 𝟎 =𝟕𝟑𝟑𝟗 𝒎𝒎 𝟐 ESFUERZOS NORMALES ESFUERZOS TANGENCIALES

EJEMPLO: 4 P 5in La carga P de 1.4 kips está soportada por dos elementos de manera con sección transversal uniforme, unidos mediante un empalme sencillo pegado al sesgo, como se muestra en la figura. Determine los esfuerzos normales y cortantes en el empalme pegado. 3in 60° P’

Área de seccion transversal: A 0 = 3𝑖𝑛 5𝑖𝑛 =15 in 2 N Carga: P=1.4 kips = 1400 lb P Área de seccion transversal: A 0 = 3𝑖𝑛 5𝑖𝑛 =15 in 2 N 𝟔𝟎° 𝐴 𝜃 V Descomposición de la carga en el plano inclinado: 𝟔𝟎° N=1400∙ sin 60° lb 𝐴 0 V=1400∙ cos 60° lb Área de la sección inclinada: A 0 = A θ ∙ sin 60° 3in A θ = 𝐴 0 sin 60° = 15 𝑖𝑛 2 sin 60° 5in

𝜎 𝜃 = 1400∙ sin 60° 𝑙𝑏 15 𝑖𝑛 2 sin 60° = 1400 𝑠𝑖𝑛 2 60°𝑙𝑏 15 𝑖𝑛 2 Esfuerzo Normal: Esfuerzo Cortante: 𝜎 𝜃 = 𝑁 𝐴 𝜃 = 1400∙ sin 60° 𝑙𝑏 𝐴 0 sin 60° 𝜏 𝜃 = 𝑉 𝐴 𝜃 = 1400∙ cos 60° 𝑙𝑏 𝐴 0 sin 60° 𝜎 𝜃 = 1400∙ sin 60° 𝑙𝑏 15 𝑖𝑛 2 sin 60° = 1400 𝑠𝑖𝑛 2 60°𝑙𝑏 15 𝑖𝑛 2 𝜏 𝜃 = 1400∙ cos 60° 𝑙𝑏 15 𝑖𝑛 2 sin 60° = 1400∙ sin 60° ∙ cos 60° 𝑙𝑏 15 𝑖𝑛 2 𝜏 𝜃 =40.41 𝑙𝑏 𝑖𝑛 2 =40.41 𝑃𝑠𝑖 𝜎 𝜃 =70 𝑙𝑏 𝑖𝑛 2 =70 𝑃𝑠𝑖 𝛔 𝛉 =𝟕𝟎 𝐏𝐬𝐢 𝛕 𝛉 =𝟒𝟎.𝟒𝟏 𝐏𝐬𝐢

EJEMPLO: 5 P Una carga P de 240 kips se aplica a un bloque de granito como se muestra en la figura. Determine el valor máximo resultante del esfuerzo normal. del esfuerzo cortante. Especifique la orientación del plano donde ocurren estos valores máximos. 𝜃 6in 6in

Área de sección transversal: 𝐴 𝜃 V 𝐴 0 = 6𝑖𝑛 6𝑖𝑛 =36 𝑖𝑛 2 𝐴 0 Carga: P=240 Kips =240 10 3 lb P N Área de sección transversal: 𝐴 𝜃 V 𝐴 0 = 6𝑖𝑛 6𝑖𝑛 =36 𝑖𝑛 2 𝐴 0 45° Por definición sabemos que el esfuerzo cortante es máximo cuando el ángulo es 45° y tendrá el mismo valor que el esfuerzo normal. 6in 6in Por lo tanto el ángulo a utilizar será θ=45° Descomposición de carga: Área de la sección inclinada: N=240 10 3 ∙ cos 45° lb 𝐴 0 = 𝐴 𝜃 ∙ cos 45° V=240 10 3 ∙ sin 45° lb 𝐴 𝜃 = 𝐴 0 cos 45° = 36 𝑖𝑛 2 cos 45°

Esfuerzo Normal: Esfuerzo Cortante: 𝜎 𝜃 = 𝑁 𝐴 𝜃 = 240 10 3 cos 45° 𝑙𝑏 𝐴 0 cos 45° 𝜏 𝜃 = 𝑉 𝐴 𝜃 = 240 10 3 sin 45° 𝑙𝑏 𝐴 0 cos 45° 𝜎 𝜃 = 240 10 3 cos 45° 𝑙𝑏 36 𝑖𝑛 2 cos 45° = 240 10 3 ∙𝑐𝑜𝑠 2 45°𝑙𝑏 36 𝑖𝑛 2 𝜏 𝜃 = 240 10 3 sin 45° 𝑙𝑏 36 𝑖𝑛 2 cos 45° = 240 10 3 sin 45° ∙ cos 45° 𝑙𝑏 36 𝑖𝑛 2 𝜎 𝜃 =3.33 10 3 𝑙𝑏 𝑖𝑛 2 =3.33 𝑘𝑠𝑖 𝜏 𝜃 =3.33 10 3 𝑙𝑏 𝑖𝑛 2 =3.33 𝑘𝑠𝑖 𝛔 𝛉 =𝟑.𝟑𝟑 𝐊𝐬𝐢 𝛕 𝛉 =𝟑.𝟑𝟑 𝐊𝐬𝐢

EJEMPLO: 6 La barra plana que se ve en la figura está sujeta a una fuerza de tracción P=6 klb. La barra tiene un espesor de t=0.5 pulg. Determinar el esfuerzo máximo para un agujero de diámetro de d = 2 pulg y con un ancho de w = 5 pulg P w d t

Para encontrar el factor de concentración de esfuerzos K SOLUCIÓN: Para encontrar el factor de concentración de esfuerzos K DATOS: 𝑃 = 6klb 𝑡 = 0.5 pulg r = 1 pulg w = 5 pulg 𝑟 𝑤 = 1 𝑝𝑢𝑙𝑔 5 𝑝𝑢𝑙𝑔 = 0.2 K = 2.45

σ 𝑚𝑎𝑥 = 𝑘 𝑃 𝐴 σ 𝑚𝑎𝑥 = 𝐾∗𝑃 (𝑤−2𝑟)∗𝑡 σ 𝑚𝑎𝑥 = 2.45∗6𝑘𝑙𝑏 3𝑝𝑢𝑙𝑔∗0.5 𝑝𝑢𝑙𝑔 1 D = w - 2r = 5 - 2 = 3 pulg σ 𝑚𝑎𝑥 = 𝑘 𝑃 𝐴 σ 𝑚𝑎𝑥 = 𝐾∗𝑃 (𝑤−2𝑟)∗𝑡 σ 𝑚𝑎𝑥 = 2.45∗6𝑘𝑙𝑏 3𝑝𝑢𝑙𝑔∗0.5 𝑝𝑢𝑙𝑔 σ 𝑚𝑎𝑥 = 9.8 ksi 1 σmáx σprom P d

EJEMPLO: 7 Una barra de acero tiene las dimensiones mostradas en la figura. Si el esfuerzo permisible es σ perm = 15.8 𝑘𝑠𝑖, determine la máxima fuerza P que la barra puede soportar. P 4pulg 2pulg 1pulg

SOLUCIÓN: σ perm = 15.8 𝑘𝑠𝑖 = 1𝑝𝑢𝑙𝑔 2𝑝𝑢𝑙𝑔 = = 4𝑝𝑢𝑙𝑔 2𝑝𝑢𝑙𝑔 = Para encontrar el factor de concentración de esfuerzos K K DATOS: Para la parte de la barra con filete. σ perm = 15.8 𝑘𝑠𝑖 r = 1pulg w = 4pulg h = 2pulg t = 1pulg 𝑟 ℎ = 1𝑝𝑢𝑙𝑔 2𝑝𝑢𝑙𝑔 = 0.5 𝑤 ℎ = 4𝑝𝑢𝑙𝑔 2𝑝𝑢𝑙𝑔 = 2 K = 1.4

A = (2pulg)*(1pulg)= 2 pulg² σmáx σ 𝑚á𝑥 = K σ 𝑝𝑟𝑜𝑚 15.8ksi = 1.4*(P/2) 𝑃= 22.57 kips

EJEMPLO: 8 Determine el esfuerzo normal máximo desarrollado en la barra cuando está sometida a una tensión de P = 11 kN. P 6 cm 0.5cm 0.33 cm 3cm 1cm

SOLUCIÓN: P P 3cm Analizamos por separado la barra: 6 cm 1cm 0.5 cm

= 0.5𝑐𝑚 6𝑐𝑚 = Para encontrar el factor de concentración de esfuerzos K DATOS: Para la parte de barra con agujero P = 11 kN r = 0.5 cm w = 6 cm t = 0.5 cm 𝑟 𝑤 = 0.5𝑐𝑚 6𝑐𝑚 = 0.083 K = 2.68

σ 𝑚𝑎𝑥 = 𝑘 𝑃 𝑤−2𝑟 ∗𝑡 σ 𝑚𝑎𝑥 = 𝐾∗𝑃 𝐴 σ 𝑚𝑎𝑥 = 2.68∗11𝑘𝑁 2.5∗ 10 −4 𝑚 2 D = w - 2r = 6 - 1 = 5cm A = (5cm)*(0.5cm)= 2.5 𝑐𝑚 2 σ 𝑚𝑎𝑥 = 𝑘 𝑃 𝑤−2𝑟 ∗𝑡 σ 𝑚𝑎𝑥 = 𝐾∗𝑃 𝐴 σ 𝑚𝑎𝑥 = 2.68∗11𝑘𝑁 2.5∗ 10 −4 𝑚 2 σ 𝑚𝑎𝑥 = 117.92 MPa 1 P σmáx 𝑃= 22.57 kips

Para encontrar el factor de concentración de esfuerzos K DATOS: Para la parte de barra con filete P = 11 kN r = 0.33 cm w = 6 cm t = 0.5 cm K 𝑟 ℎ = 0.33𝑐𝑚 3𝑐𝑚 = 0.11 𝑤 ℎ = 6𝑐𝑚 3𝑐𝑚 = 2 K = 2.23

σ 𝑚á𝑥 = K σ 𝑝𝑟𝑜𝑚 A = (3cm)*(0.5cm)= 1.5 𝑐𝑚 2 1 σ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃 𝐴 1 σ 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃 𝐴 1 σ 𝑚á𝑥 = K σ 𝑝𝑟𝑜𝑚 6cm P σmáx σ 𝑚á𝑥 = 2.23* 11 𝑘𝑁 1.5∗ 10 −4 𝑚 2 ) σ 𝑚á𝑥 = 163.533 MPa

COMPARACIÓN < σ 𝑚𝑎𝑥 = 117.92 MPa σmáx P P σmáx σ 𝑚á𝑥 = 163.533 MPa 6cm P σmáx P σmáx σ 𝑚𝑎𝑥 = 117.92 MPa < σ 𝑚á𝑥 = 163.533 MPa RPTA: El esfuerzo normal máximo de la barra se da en su porción que contiene los filetes.

EJEMPLO: 9 La probeta de aluminio que se muestra en la figura esta sujeto a dos esfuerzos axiales céntricas iguales y opuestas de magnitud P Si se sabe que E=70GPa y 𝝈 𝒑𝒆𝒓𝒎 =𝟐𝟓𝟎𝑴𝑷, determine el valor máximo de P y la elongación total correspondiente de la probeta.

SOLUCIÓN: 𝐏 𝐦𝐚𝐱 =?? 𝝈 𝒑𝒆𝒓𝒎 =𝟐𝟓𝟎𝑴𝑷𝒂 E=70GPa DATOS r = 6mm w = 75mm h = 60mm t= 15mm 1 1 𝑤 ℎ = 75𝑚𝑚 60𝑚𝑚 =1.25 𝑟 ℎ = 6𝑚𝑚 60𝑚𝑚 =0.1 K=1.95

k= 𝜎 𝑚𝑎𝑥 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝜎 𝑚𝑎𝑥 𝑘 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃 𝐴 𝑃= 𝐴( 𝜎 𝑚𝑎𝑥 ) 𝑘 Calculamos: 𝑃 𝑚𝑎𝑥 =?? k= 𝜎 𝑚𝑎𝑥 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝜎 𝑚𝑎𝑥 𝑘 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃 𝐴 𝑃= 𝐴( 𝜎 𝑚𝑎𝑥 ) 𝑘 𝑃 𝑚𝑎𝑥 (900𝑥 10 −6 𝑚 2 )(250𝑀𝑃𝑎) 1.95 𝑃 𝑚𝑎𝑥 =115.38𝐾𝑁 A=900𝑥 𝟏𝟎 −𝟔 𝒎 𝟐 𝝈 𝒑𝒆𝒓𝒎 =𝟐𝟓𝟎𝑴𝑷𝒂 k=1.95 𝝈 𝒎𝒂𝒙

CALCULANDO LA ELONGACIÓN AREA MAYOR A= 15𝑚𝑚 𝑥 75𝑚𝑚 =1125 𝑚𝑚 2 A=1.125𝑥 10 −3 𝑚 2 𝛿= 𝑃 𝐿 𝑖 𝐸 𝐴 𝑖 𝛿= 𝑃 𝐸 𝐿 𝑖 𝐴 𝑖 𝛿= 115.384𝑥 10 3 𝑁 70𝑥 10 9 𝑃𝑎 ( 0.15𝑚 1.125𝑥 10 −3 𝑚 2 + 0.3𝑚 900𝑥 10 −6 𝑚 2 + 0.15𝑚 1.125𝑥 10 −3 𝑚 2 ) 𝛿=0.791𝑚𝑚

EJEMPLO: 11 Una placa de acero A-36 tiene un espesor de 12 mm. Si tiene filetes en B y C, 𝜎 𝑝𝑒𝑟𝑚 =180𝑀𝑃𝑎 , E=200GPa Determine la carga axial máxima P que puede soportar. Calcule su alargamiento despreciando el efecto de los filetes.

SOLUCIÓN: 𝐏 𝐦𝐚𝐱 =?? δ=?? 𝝈 𝒑𝒆𝒓𝒎 =𝟏𝟖𝟎𝑴𝑷𝒂 DATOS r = 30mm w = 120mm h = 60mm t= 12mm 𝑤 ℎ = 120𝑚𝑚 60𝑚𝑚 =2 𝑟 ℎ = 30𝑚𝑚 60𝑚𝑚 =0.5 K=1.4

k= 𝜎 𝑚𝑎𝑥 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝜎 𝑚𝑎𝑥 𝑘 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃 𝐴 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠: 𝑃 𝑚𝑎𝑥 =?? k= 𝜎 𝑚𝑎𝑥 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝜎 𝑚𝑎𝑥 𝑘 𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝑚𝑎𝑥 = 720𝑥 10 −6 𝑚 2 (180𝑥 10 6 𝑃𝑎) 1.4 𝑃 𝑚𝑎𝑥 =92.57𝐾𝑁

Calculamos la elongación AREA MAYOR A= 120𝑚𝑚 𝑥 12𝑚𝑚 =1440 𝑚𝑚 2 A=1440𝑥 10 −6 𝑚 2 𝛿= 𝑃 𝐿 𝑖 𝐸 𝐴 𝑖 𝛿= 𝑃 𝐸 𝐿 𝑖 𝐴 𝑖 𝛿= 92.571𝑥 10 3 𝑁 200𝑥 10 9 𝑃𝑎 ( 0.2𝑚 720𝑥 10 −6 𝑚 2 + 0.8𝑚 1440𝑥 10 −6 𝑚 2 + 0.2𝑚 720𝑥 10 −6 𝑚 2 ) 𝛿=0.514𝑚𝑚

Debemos ubicar correctamente nuestros esfuerzos en planos inclinados así como efectuar sus cálculos respectivos. La concentración de esfuerzos se da cuando existe cambios abruptos en la geometría del material. Cuando hay cargas estáticas y un material frágil se debe considerar el factor total de concentración de esfuerzos. Estos temas son de suma importancia en nuestra vida académica como profesional, por ello es necesaria su correcta comprensión. CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS GOODNO, J. M. (2016). MECÁNICA DE MATERIALES (OCTAVA EDICIÓN ed.). México DF, México: CENGAGE LEARNING EDITORES . Arisnabarreta, I. L. (2014). RESISTENCIA DE MATERIALES. Lima, Perú: EDITORIAL MACRO. MECÁNICA DE MATERIALES, SÉPTIMA EDICIÓN. James M. Gere y Barry J. Goodno. MECÁNICA DE MATERIALES, SEXTA EDICIÓN. R. C. Hibbeler. MECÁNICA DE MATERIALES, QUINTA EDICIÓN. Ferdinand P. Beer - E. Russell Johnston, Jr. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS