PROPAGACIóN DE ERRORES DE CÁLCULO Bioestadisticas Universidad de guadalajara

PROPAGACION DE ERRORES En el ámbito científico es común el realizar mediciones repetidas de una o más variables, cada una con sus incertidumbres individuales. Cuando se desea realizar el cálculo de una nueva cantidad basado en mediciones de otras que tienen una incerteza asociada se requiere “propagar” el error hacia esta nueva cantidad.

La propagación del error es simplemente el proceso de determinar la incerteza (incertidumbre) de un cálculo que se basa en una operación Andrea 5 cms Ximena 5.2 cms Julian 5.2478 cms Cuando realizamos mediciones, interesa saber con que errores lo hacemos, y eso define la calidad de nuestras mediciones.

Error Aleatorio o Accidental Error Sistemático Son errores relacionados con la forma en la que se utiliza el instrumento de medida * Error de Calibrado.- calibrar equivale a estandarizar el instrumento/equipo. * Error de Paralaje.- Es propio de instrumentos de medida analógicos Error Aleatorio o Accidental Son errores que se producen debido a causas que no se pueden controlar Se reduce midiendo varias veces la variable, en las mismas condiciones y se considera como valor final más probable la media de los datos obtenidos.

Error de Redondeo Son errores producidos cuando se debe considerar sólo un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo. Hay dos razones del porqué pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos: 1 Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta.. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo 2 El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

88.21650 ------------------- 88.216 5 Cifras Significativas Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redondeo de números cuando se realizan cálculos a mano. - Las cifras significativas son todos los dígitos distintos de cero y los ceros que van a la derecha de dichos dígitos. - Aquellos ceros a la izquierda de la primera cifra significativa NO son significativos.  5.6723 --------------------------  5.67´   3 Cifras Significativas 1.25001 -------------------------- 1.3     2 Cifras Significativas 88.21650 ------------------- 88.216     5 Cifras Significativas

Error Humano Ocurren cuando se toman datos estadísticos o muestras, si estos datos son mal recopilados los errores al utilizarlos serán obvios. Cuando se desarrollan modelos matemáticos y estos son mal formulados y no describen correctamente el fenómeno o equipo en estudio. Ejemplo Una incertidumbre por más precisa que sea no tiene sentido expresarla así si es que no es del mismo orden de la magnitud de la medición. Se logró medir un tumor ovárico igual a (9,82 ± 0,02385)g, no tiene sentido indicar tan precisamente la incertidumbre si esta misma no afectaría en casi nada al valor original; por lo tanto, en estos casos se redondea la incertidumbre. Medida del Tumor = (9,82±0,02)g

Expresión de los Errores Los resultados finales de cada medición se expresan junto con una incerteza o incertidumbre. La incertidumbre expresada en un resultado estadístico es conocida como Incertidumbre Estándar, que se expresa como Desviación Estándar. La incertidumbre o incerteza es un rango de valores en los cuales se puede encontrar el valor real, considerando cierta probabilidad. 95%

Dado que el valor real o verdadero de una medición no es posible conocerlo con una certeza completa, se realizan estimados de él. Para poder realizar los cálculos de error de cada una de las medición de una variable común, se sacará el promedio de éstas, siendo esta cantidad considerada como el valor “real”. Ejemplo Mes Conteo de Eritrocitos Promedio Junio 5.46 4.60 Julio 4.30 Agosto 5.23 Septiembre 4.10 Octubre 4.01 Total 23.09

 =5.149 cm  =¿? 𝑋 𝑖 𝑜 𝑥 =5.2 𝑐𝑚 5.2 5.149 5.251 δ 𝑥 = ±0. 051𝑐𝑚 Existe un 0.9% de error entre la medición realizada y la medición real de la llave 𝑒 𝑟 =0.009 𝑐𝑚 Error Absoluto.- Es la diferencia entre el valor “real” de la medida y el valor medido (tomado como exacto). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. δ 𝑥 =𝑋 −𝑋𝑖 δ 𝑥 =5. 149 −5.2 δ 𝑥 =±0.051 Error Relativo.- Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. 𝑒 𝑟 = 𝛿 𝑥 𝑥 𝑒 𝑟 = 0.051 5.2 𝑒 𝑟 =0.009 𝑒 𝑟% = 𝑒 𝑟 ∗100 𝑒 𝑟 =0.009 𝑒 𝑟% =0.9%

Julian Andrea 𝑒 𝑟 = 𝛿 𝑥 𝑥 δ 𝑥 =𝑋 −𝑋𝑖 𝑒 𝑟% = 𝑒 𝑟 ∗100  =5.149 cm 𝑒 𝑟 = 𝛿 𝑥 𝑥 δ 𝑥 =𝑋 −𝑋𝑖 𝑒 𝑟% = 𝑒 𝑟 ∗100 Andrea Julian  =5.149 cm 𝑋 𝑖 𝑜 𝑥 =5 𝑐𝑚  =5.149 cm δ 𝑥 = ±¿?𝑐𝑚 𝑋 𝑖 𝑜 𝑥 =5.247 𝑐𝑚 𝑒 𝑟 =¿? 𝑐𝑚 δ 𝑥 = ±¿?𝑐𝑚 𝑒 𝑟 =¿? 𝑐𝑚

Medidas Indirectas ¿Cuál es la incerteza de la nueva variable R? Magnitudes Indirectas Magnitudes que se calculan a partir de los valores encontrados en las medidas de otras magnitudes. Supongamos que se miden las cantidades X,Y, Z,… cuyas incertezas son δX, δY, δZ,… Se requiere calcular una cantidad R que depende de X, Y, Z,.. etc. ¿Cuál es la incerteza de la nueva variable R? Pudiera parecer intuitivo que dadas las cantidades X, Y, Z, … y sus incertidumbres δX, δY, δZ, etc., la incertidumbre de la nueva cantidad R calculada a partir de la suma o resta de X, Y, Z, … sea simplemente la suma de las incertezas.

La ambigüedad es que dos números con incertidumbres no pueden dar un tercer número con certeza absoluta. Para eliminar esta ambigüedad se elevan al cuadrado las incertidumbres de cada cantidad (que aporta solo resultados positivos) y enseguida se obtiene la raíz cuadrada de la suma. 𝑥=5 cm 𝛿 𝑥 =−0.051 cm δ 𝑅 = δ𝑥 2 + δ𝑦 2 + δ𝑧 2 y=5.2 cm 𝛿 𝑦 =+0.149 cm δ 𝑅 = (−0.051) 2 + (0.149) 2 + (−0.098) 2 z=5.247 cm 𝛿 𝑧 =−0.098 cm δ 𝑅 = 0.0026+0.0222+0.0096 R=5. 149 cm 𝛿 𝑅 = ¿? δ 𝑅 = 0.0026+0.0222+0.0096 𝑒 𝑟 = 𝛿𝑅 𝑅 𝑒 𝑟% = 𝑒 𝑟 ∗100 δ 𝑅 = 0.0344 δ 𝑅 =0.1854 𝑒 𝑟 = 0.1854 5.149 𝑒 𝑟% =0.036∗100 Existe un 3.6% de error entre la medición realizada y la medición real de la llave 𝑒 𝑟% =3.6% 𝑒 𝑟 =0.036

Calcular el error absoluto y error relativo (incluido el porcentual) de las siguientes mediciones de triglicéridos tomadas a un paciente de un protocolo de investigación con estatinas, en diferentes laboratorios durante la Visita Basal. Incluir los errores del promedio de estas tomas: Laboratorio 1 481 mg/dL Laboratorio 2 472 mg/dL Laboratorio 3 479 mg/dL

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