MOMENTO POLAR DE INERCIA ASIGNATURA: ESTÁTICA Ponentes: Pérez Siesquén, Bryan José. Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. MOMENTO POLAR DE INERCIA Junio, 2016

INTRODUCCIÓN ESTÁTICA La armadura es uno de los principales tipos de estructuras que se usan en los cursos que se desarrollan en carreras de Ingeniería, ya que ésta proporciona una solución práctica y económica para muchas situaciones de este campo, en especial para el diseño de puentes y edificios. Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

ANÁLISIS ESTRUCTURAL ESTÁTICA ARMADURAS EN EL ESPACIO: Una armadura espacial consiste en elementos unidos en sus extremos para formar una estructura estable tridimensional. La forma más simple de una armadura espacial es un tetraedro, formado al conectar seis elementos entre sí, como se muestra en la siguiente figura: Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

ESTÁTICA ¿A qué llamamos una Armadura espacial simple? Se define como una armadura simple en el espacio, a aquella estructura rígida más grande, obtenida al agregar tres elementos a al tetraedro ABCD, que está constituido por seis elementos unidos en sus extremos; los tres elementos agregados a esta configuración básica, como los elementos AE, BE y CE uniéndolos a los tres nodos ya existentes y conectándolos con un nuevo nodo, se obtiene una Armadura espacial simple. 𝒎=𝟑𝒏−𝟔 Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

ESTÁTICA PROCEDIMIENTO PARA SU ANÁLISIS:   Cuando se desea determinar las fuerzas desarrolladas en los elementos de una armadura espacial se puede usar el método de nodos o el método de secciones. Veamos el primero: Método de nodos: Si se deben determinar las fuerzas en todos los elementos de la armadura, el método de nodos es el más adecuado para realizar el análisis, solamente es necesario aplicar las tres ecuaciones de equilibrio comunes: 𝑭𝒙=𝟎 ; 𝑭𝒚=𝟎; 𝑭𝒛=𝟎 Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

ESTÁTICA Método de secciones:   Ahora, si se deben determinar solo unas pocas fuerzas de elemento, se puede usar el método de secciones. Cuando se pasa una sección imaginaria por una armadura y ésta queda separada en dos partes, el sistema de fuerzas que actúa sobre una de las partes debe satisfacer las seis ecuaciones de equilibrio siguientes: 𝑭𝒙=𝟎 ; 𝑭𝒚=𝟎; 𝑭𝒛=𝟎 𝑴𝒙=𝟎 ; 𝑴𝒚=𝟎; 𝑴𝒛=𝟎 Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

PROBLEMA N° 02: En el esquema se tiene una armadura espacial, determine los esfuerzos de las barras EB, EC, DB, DA y DO, para tal efecto utilizar el método de los nudos. Para las cargas considerar un adicional de 25kg. Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

ESTÁTICA Desarrollo: 1° Estabilidad: Estabilidad externa: 𝑛=6, 𝑞=6 → 𝑛=𝑞. 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:   𝑛=𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜. 𝑞=𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠. Estabilidad interna: 𝑁=3𝑗−6, 𝑁=3 6 −6=12 ≠10. 𝑁=𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠. 𝑗=𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠. Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

ESTÁTICA ∴𝑁𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛. Para que una estructura se mantenga estable tiene que cumplir con las condiciones de estabilidad externa e interna, como no cumple con la condición de estabilidad interna entonces compensaremos con una cantidad de barras que calcularemos teniendo en cuenta los grados de libertad. Si en cada nudo existen 3 gradas de grados de libertad entonces utilizamos:   𝟑𝒋=𝑵+∆𝑵+𝑹 Donde: j=Número de nodos. N=Número de barras. ∆N=Incremento de barras. R=Número de reacciones. Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

ESTÁTICA Reemplazamos: 3𝑗=𝑁+∆𝑁+𝑅=3 6 +∆𝑁+6. ∴∆𝑁=2 Esto quiere decir que agregaremos 2 barras para que nuestra estructura sea ISOSTÁTICA: Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

ESTÁTICA REACCIONES: 𝐹𝑥=0; 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 + 𝐶 𝑥 =0 𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗   𝐹𝑥=0; 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 + 𝐶 𝑥 =0 𝐹𝑦=0; 𝐴 𝑦 + 𝐵 𝑌 −7050 =0 𝐹𝑧=0; −𝐶 𝑍 −5025 =0 → 𝐶 𝑧 =−5025 [𝐾𝑔] REACCIONES: 𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 𝐵 = 𝐵 𝑥 𝑖 + 𝐵 𝑦 𝑗 𝐴 = 𝐶 𝑥 𝑖 − 𝐶 𝑦 𝑗 Definamos las fuerzas: 𝐹 1 =−4025 𝑗 [𝐾𝑔] 𝐹 2 =−5025 𝑘 [𝐾𝑔] 𝐹 3 =−3025 𝑗 [𝐾𝑔] Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

ESTÁTICA Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Desarrollamos las ecuaciones de equilibrio: 𝑀 𝑥 =0 ; → 5 𝐵 𝑦 +5 𝐶 𝑧 +1000=0……(4) 𝑀 𝑦 =0 ; → −5 𝐵 𝑥 −5 𝐶 𝑥 +60300=0……(5) 𝑀 𝑧 =0 ; → 5 𝐶 𝑥 −84600=0……(6) Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

ESTÁTICA NODO C: 𝐹 𝐶𝐵 = 𝐹 𝐶𝐵 𝑗 [𝐾𝑔] 𝐹 𝐶𝐸 = 𝐹 𝐶𝐸 𝑖 [𝐾𝑔] 𝐹 𝐶𝑂 = 𝐹 𝐶𝑂 𝑘 [𝐾𝑔] 𝐶 𝑥 =16920 𝑖 [𝐾𝑔] 𝐶 𝑧 =5025 𝑘 [𝐾𝑔] 𝐹𝑥=0; 𝐹 𝐶𝐸 +16920=0 𝐹𝑦=0; 𝐹 𝐶𝐵 =0 𝐹𝑧=0; 𝐹 𝐶𝑂 +5025 =0   Desarrollando las ecuaciones, obtenemos: 𝐶 𝑥 =16920 [𝐾𝑔] 𝐵 𝑥 =−4860 [𝐾𝑔] 𝐵 𝑦 =+3025 𝐾𝑔 𝐴 𝑥 =−12060 [𝐾𝑔] 𝐴 𝑦 =+4025 [𝐾𝑔] Como hay una fuerza conocida y tres fuerzas desconocidas que actúan en el nodo C, el análisis de fuerzas de esta armadura comenzará en este nodo, y luego proceder a analizar el nodo B. Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA

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ESTÁTICA CONCLUSIONES: Las armaduras espaciales se analizan con los mismos métodos descritos para las armaduras bidimensionales, la única diferencia es que se requiere tratar con relaciones geométricas más complicadas.   Una armadura tridimensional tienen que estar completamente ligada y si las reacciones en los apoyos han de ser estáticamente determinadas, los apoyos deben consistir en una combinación de esferas, rodillos y rotulas que proporcionen seis reacciones desconocidas. Estas pueden determinarse fácilmente resolviendo las seis ecuaciones que expresan que la armadura tridimensional como sólido libre esta en equilibrio. Se pueden despreciar los pesos de los elementos. Docente: Ing. Bernilla Gonzáles, Jannyna Beatriz. Escuela: Ingeniería Civil. ESTÁTICA