Tema 1: TEORÍA DE EXPONENTES I 3° SEC Tema 1: TEORÍA DE EXPONENTES I

Teoría de Exponentes I I. Potenciación II. Radicación

I. POTENCIACIÓN 𝐏= 𝐛 𝐧 (𝐛∈𝐑;𝐧 ∈𝐍;𝐏 ∈𝐑) Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión, llamada potencia, partiendo de otras dos llamadas base y exponente: 𝐏= 𝐛 𝐧 (𝐛∈𝐑;𝐧 ∈𝐍;𝐏 ∈𝐑) Donde: b = base n = exponente natural P = potencia (+) par = + (−) par = + Ley de signos: (+) impar = + (−) impar =−

Leyes de la teoría de exponentes 2) Exponente cero. Todo número real diferente de cero, elevado al exponente cero, da como resultado uno. 1) Exponente natural. Es el exponente entero y positivo que nos indica el número de veces que se repite una expresión como factor. 𝐛 𝟎 =𝟏 𝐬𝐢: 𝐛 ≠𝟎 En general: Ejemplos: 𝟏. (−𝟖) 𝟎 = 𝟏 𝟑. (𝟓 𝟔 ) 𝟎 = 𝟏 𝒂 𝒏 = 𝒂 ;𝒔𝒊:𝒏= 𝟏 𝒂.𝒂.𝒂…...𝒂 ;𝒔𝒊 𝒏∈𝑵 ;𝒏≥𝟐 n veces 𝟒. 𝟕 𝟐 𝟎 = 𝟐. −𝟗 𝟎 = −𝟏 𝟕 3) Exponente unitario. 𝐛 𝟏 =𝐛 N: es el conjunto de los números naturales. Ejemplos: 𝟏. 𝟏𝟑 𝟏 = 𝟏𝟑 𝟐. (−𝟐𝟕) 𝟏 = −27

Leyes de la teoría de exponentes 4) Exponente negativo. 5) Exponente fraccionario. 𝐛 −𝒏 = 𝟏 𝒃 𝒏 = 𝟏 𝒃 𝒏 ;𝒃≠𝟎 𝐛 𝒎 𝒏 = 𝒏 𝒃 𝒎 = 𝒏 𝒃 𝒎 ;𝒏∈𝑵 ;𝒏≥𝟐 𝒂 𝒃 −𝒏 = 𝒃 𝒂 𝒏 ; 𝒂≠𝟎 ; 𝒃≠𝟎 Ejemplos: También: 𝟏𝟐𝟓 𝟏 𝟑 = 𝟑 𝟏𝟐𝟓 𝟏. = 5 Ejemplos: 𝟏. 𝟏 𝟑 −𝟏 = 𝟏 𝟑𝟔 −𝟏/𝟐 = 𝟑𝟔 𝟏/𝟐 𝟑 2. = 𝟑𝟔 =𝟔 𝟐. 𝟐 𝟓 −𝟐 = 𝟓 𝟐 𝟐 = 𝟐𝟓 𝟒

Leyes de la teoría de exponentes 6) Exponentes sucesivos. 7) Producto de potencias de bases iguales. 𝐛 𝒂 𝒄 𝒅 = 𝒃 𝒂 𝒎 = 𝒃 𝒏 =𝒑 𝒃 𝒎 . 𝒃 𝒏 = 𝒃 𝒎+𝒏 Ejemplo: Ejemplo: 𝟑 𝒙+𝟏 = 𝟑 𝒙 . 𝟑 𝟏 𝟏 𝟔𝟒 −𝟔 −𝟖 𝟎 = 𝟏 𝟔𝟒 −𝟔 −𝟏 = 𝟔𝟒 𝟏 𝟔 𝟏 8) Cociente de potencias de bases iguales. 𝒃 𝒎 𝒃 𝒏 = 𝒃 𝒎−𝒏 ;𝒃≠𝟎 = 𝟔𝟒 𝟏 𝟔 = 𝟔 𝟔𝟒 =𝟐 Ejemplo: 𝒙 𝟏𝟖 𝒙 𝟏𝟔 = 𝒙 𝟏𝟖−𝟏𝟔 = 𝒙 𝟐

Leyes de la teoría de exponentes 9) Potencia de potencia. 11) Potencia de un cociente. ( 𝒃 𝒎 ) 𝒏 = 𝒃 𝒎.𝒏 𝒂 𝒃 𝒏 = 𝒂 𝒃 𝒏 𝒏 ;𝒃≠𝟎 Ejemplo: Ejemplo: ( 𝒙 𝟓 ) 𝟔 . ( 𝒙 𝟕 ) 𝟑 = 𝒙 𝟑𝟎 . 𝒙 𝟐𝟏 = 𝒙 𝟓𝟏 𝟖𝟏 𝟐𝟕 𝟐 = 𝟑 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 = 𝟑 𝟖 𝟑 𝟔 = 𝟑 𝟐 =𝟗 10) Potencia de un producto. (𝒂.𝒃) 𝒏 = 𝒂 𝒏 . 𝒃 𝒏 Ejemplo: (𝟖𝟎) 𝟑 = (𝟏𝟔.𝟓) 𝟑 = ( 𝟐 𝟒 .𝟓) 𝟑 = 𝟐 𝟏𝟐 . 𝟓 𝟑

II. RADICACIÓN 𝒏 𝒃 =𝒙 → 𝒙 𝒏 =𝒃 Es la operación que consiste en calcular un número x, denominado raíz, que, elevado a una potencia igual al índice del radical, reproduce el radicando 𝒏 𝒃 =𝒙 → 𝒙 𝒏 =𝒃 Donde: n = índice (𝑛∈𝑁 ;𝑛≥2) b = radicando x = raíz 𝑃𝐴𝑅 + = + 𝑃𝐴𝑅 − =No existe en los Reales Ley de signos: 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅 + = + 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅 − =−

Teoremas de radicación 1) Raíz de un producto. 2) Raíz de un cociente. 𝒏 𝒂 𝒃 = 𝒏 𝒂 𝒏 𝒃 ;𝐛≠𝟎 𝒏 𝒂.𝒃 = 𝒏 𝒂 . 𝒏 𝒃 Ejemplos: Ejemplos: 1. 𝟑 𝟏𝟐𝟓.𝟔𝟒 = 𝟑 𝟏𝟐𝟓 . 𝟑 𝟔𝟒 =𝟓.𝟒=𝟐𝟎 𝟏. 𝟒 𝟏𝟔 𝟖𝟏 = 𝟒 𝟏𝟔 𝟒 𝟖𝟏 = 𝟐 𝟑 2. 𝟒 𝟔𝟐𝟓.𝟖𝟏 = 𝟒 𝟔𝟐𝟓 . 𝟒 𝟖𝟏 =𝟓.𝟑=15 𝟐. 𝟕 𝒙 𝟏𝟒 𝒙 𝟕 = 𝟕 𝒙 𝟏𝟒 𝟕 𝒙 𝟕 = 𝒙 𝟐 𝒙 =𝒙 3. 𝟑 𝒙 𝟐𝟕 . 𝒚 𝟑𝟗 = 𝟑 𝒙 𝟐𝟕 . 𝟑 𝒚 𝟑𝟗 = 𝒙 𝟗 . 𝒚 𝟏𝟑

Teoremas de radicación 3) Raíz de raíz. Caso I 𝒎 𝒏 𝒃 = 𝒎.𝒏 𝒃 𝟕 𝟑 𝒙 = 𝟐𝟏 𝒙 Caso II 𝒎 𝒙 𝒂 𝒏 𝒚 𝒃 𝒑 𝒛 𝒄 = 𝒎.𝒏.𝒑 𝒙 𝒂.𝒏.𝒑 . 𝒚 𝒃.𝒑 . 𝒛 𝒄 𝟑 𝒙 𝟒 𝟓 𝒚 𝟔 𝒛 = 𝟑.𝟓.𝟐 𝒙 𝟒.𝟓.𝟐 . 𝒚 𝟔.𝟐 . 𝒛 𝟏 = 𝟑𝟎 𝒙 𝟒𝟎 . 𝒚 𝟏𝟐 .𝒛 Caso III 𝒎 𝒙 𝒂 𝒏 𝒙 𝒃 𝒑 𝒙 𝒄 = 𝒎.𝒏.𝒑 𝒙 𝒂.𝒏+𝒃 𝒑+𝒄 𝟔 𝒙 𝟐 𝟒 𝒙 𝟑 𝒙 = 𝟔.𝟒.𝟐 𝒙 𝟐.𝟒+𝟑 .𝟐+𝟏 = 𝟒𝟖 𝒙 𝟐𝟑

Problemas resueltos (pág. 4) 𝐸= 2 𝑥 . 2 5 + 2 𝑥 . 2 3 2 𝑥 = 2 𝑥 ( 2 5 + 2 3 ) 2 𝑥 =32+8=40 𝑇= 𝑥 12 . 𝑥 12 𝑥 20 = 𝑥 24 𝑥 20 = 𝑥 4 𝑁= 12 𝑥 5 . 12 𝑥 7 = 12 𝑥 5 . 𝑥 7 = 12 𝑥 12 =x 𝑀= 5 2 − 4 2 = 25−16 = 9 =3 𝟓.𝟐.𝟑 𝒙 𝟑.𝟐+𝟏 .𝟑+𝟒 = 𝟑𝟎 𝒙 𝟐𝟓 = 𝟔 𝒙 𝟓 = 𝒙 𝟓/𝟔 𝑇= 𝑥 10 . 𝑦 15 . 𝑥 3 . 𝑦 3 𝑥 11 . 𝑦 16 = 𝑥 13 . 𝑦 18 𝑥 11 . 𝑦 16 = 𝑥 2 . 𝑦 2 El exponente final es : 5/6

Problemas resueltos (pág. 4-5) 𝑥 9 . 𝑥 64 . 𝑥 −16 . 𝑥 1 = 𝑥 9+64−16+1 = 𝑥 58 𝟏 𝟑𝟔 −𝟒 −𝟐 −𝟏 = 𝟑𝟔 ( 𝟏 𝟒 ) ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟑𝟔 𝟐 𝟏 𝟒 El exponente final es : 58 = 𝟑𝟔 𝟏 𝟐 = 𝟐 𝟑𝟔 =𝟔 ( 𝑥 𝑥 ) 2 − 1 𝑥 𝑥 = 3 2 − 1 3 =9− 1 3 = 26 3 ( 5 2 .3) 2 . (3.2) 3 .2 ( 5 2 . 2 2 ) 2 . 3 3 = 5 4 . 3 2 . 3 3 . 2 3 .2 5 4 . 2 4 . 3 3 = 5 4 . 3 5 . 2 4 5 4 . 2 4 . 3 3 = 3 2 =9

Problemas resueltos (pág. 5) 𝑛 𝑛 = 9 3 = 9.3 3 3 = 27 27 n = 27 (𝑎) 4/3 + (𝑎) 6/5 + (𝑎) 8/7 (𝑎) 1/7 + (𝑎) 1/3 + (𝑎) 1/5 = 𝑎 8 7 ( 𝑎 4 21 + 𝑎 2 35 +1) 𝑎 1 7 ( 1+ 𝑎 4 21 + 𝑎 2 35 ) 𝑚 𝑚 = 4 2 = 4.4 2 4 = 16 16 m = 16 = 𝑎 8 7 𝑎 1 7 = 𝑎 7/7 =𝑎 n-m = 27-16=11