RAZONAMIENTO INDUCTIVO II Prof. Widman Gutiérrez

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS Ejemplo 1: Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a 𝑀𝑁 , ¿cuántos triángulos se contarán en total? SOLUCIÓN: Sería muy laborioso el conteo si trazamos las 50 rectas de golpe, entonces aplicando el razonamiento inductivo, iremos trazando dichas rectas uno por uno y analizando cada caso

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS Caso 1 N° triángulos = 6 = 3(2) N° de rectas trazadas +1 Caso 2 N° triángulos = 9 = 3(3) N° de rectas trazadas +1 Caso 3 N° triángulos = 12 = 3(4) N° de rectas trazadas +1

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS En nuestro problema Respuesta N° triángulos = 3(51) = 153 N° de rectas trazadas +1 Ejemplo 2: Calcula la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS SOLUCIÓN: Observamos que la distribución de las esferas responden a una formación triangular entonces analizaremos los casos iniciales a dicha formación N° de esferas en la base Caso 1 = 𝟏×2 2 1 = 1 Caso 2 N° de esferas en la base = 𝟐×3 2 3 = 1 + 2 Caso 3 N° de esferas en la base = 𝟑×4 2 6 = 1 + 2+ 3 Caso 4 N° de esferas en la base = 𝟒×5 2 10 = 1 +2 + 3 + 4

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS Luego en nuestro problema N° de esferas en la base = 𝟏𝟎𝟎×101 2 =5050 = 1 +2 + 3 + … + 100 Ejemplo 3: En una hoja cuadrada y cuadriculada con cuadraditos por lado se le traza una diagonal principal. ¿Cuántos triángulos como máximo podrán contarse en total?

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS SOLUCIÓN: Si tratamos de contar los triángulos uno por uno en el cuadrado de 100 cuadraditos por lado, resultaría muy agotador. Lo más recomendable sería, en este caso analizar ejemplos en los cuales el número de cuadraditos sea mucho menor. Aplicamos la estrategia del razonamiento inductivo Caso 1 N° de cuadraditos por lado Total de triángulos = 2 = 𝟏×2 Caso 2 N° de cuadraditos por lado Total de triángulos = 6 = 𝟐×3 Caso 3 N° de cuadraditos por lado Total de triángulos = 12 = 3×4

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS Luego en nuestro problema N° de cuadraditos por lado Total de triángulos = 𝟏𝟎𝟎×101=10100 Respuesta: Hay 10100 triángulos Ejemplo 4: ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS SOLUCIÓN: Si intentamos contar los triángulos sería muy laborioso, y demandaría mucho tiempo, entonces analizaremos casos en los cuales el número de triángulos sea mucho menor Caso 1 N° de líneas horizontales 1 Total de triángulos = 1 = 𝟏 𝟐 Caso 2 N° de líneas horizontales 2 1 Total de triángulos = 4 = 𝟐 𝟐 Caso 3 N° de líneas horizontales 3 2 Total de triángulos = 9 = 𝟑 𝟐 2

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS En el problema: N° de líneas horizontales Total de triángulos = 𝟐𝟎 𝟐 =𝟒𝟎𝟎 ∴ Nº de triángulos es 400

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS Ejemplo 5: SOLUCIÓN: Según el esquema mostrado, ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “INDUCCIÓN”?

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS Como se puede apreciar, la palabra “inducción” puede ser leída (siguiendo las líneas punteadas) de diferentes maneras, demasiadas como para contarlas una por una y correríamos el riesgo de obviar alguna. Por lo tanto, aplicaremos la estrategia del razonamiento inductivo. Caso 1: Palabra “IN” Caso 3: Palabra “INDU” 2 letras 4 letras Total de formas = 2 = 𝟐 𝟐−𝟏 = 𝟐 𝟏 Caso 2: Palabra “IND” 3 letras Total de formas = 8 = 𝟐 𝟒−𝟏 = 𝟐 𝟑 Total de formas = 4 = 𝟐 𝟑−𝟏 = 𝟐 𝟐

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS En el problema tiene 9 letras Total de formas = 𝟐 𝟗−𝟏 = 𝟐 𝟖 =𝟐𝟓𝟔

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS Ejemplo 6: Caso 1: Se lee “R” 1 letra ¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra “ROMA” en el siguiente gráfico? = 𝟏 = 𝟐 𝟏 −𝟏 Caso 2: Se lee “RO” 2 letras = 3 = 𝟐 𝟐 −𝟏 SOLUCIÓN Caso 3: Se lee “ROM” 3 letras Del mismo modo que se procedió en el problema anterior, lo haremos ahora. = 𝟕 = 𝟐 𝟑 −𝟏

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS En nuestro problema: 4 letras = 𝟐 𝟒 −𝟏=𝟏𝟓 ∴ Se puede leer de 15 maneras distintas

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS Ejemplo 7: Calcula la suma de los términos de las veinte primeras filas en el triángulo numérico siguiente: SOLUCIÓN: Como nos piden sumar hasta la fila 20, podemos suponer que la solución sería aplicar alguna fórmula del capito de series; pero si observamos bien el triángulo numérico vemos que presenta una ley de formación, la cual podemos aprovechar aplicando la inducción.

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS N° de filas Caso 1: = 1 2 = 𝟏×2 2 𝟐 Suma = 1 Caso 2: N° de filas = 3 2 = 𝟐×3 2 𝟐 Suma = 9 Caso 3: N° de filas = 6 2 = 𝟑×4 2 𝟐 Suma = 36

CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS RAZONAMIENTO INDUCTIVO II CONTEO DE FIGURAS EN ARREGLOS GRÁFICOS En el problema: N° de filas 𝟐𝟎×21 2 𝟐 =𝟒𝟒𝟏𝟎𝟎 Suma = ∴ Suma de términos: 44100

RAZONAMIENTO INDUCTIVO II BUENA SUERTE!