Centro de Capacitación Politécnica Aula Virtual – Bloque 2 Razonamiento Algebraico Prof. Alan Aguirre

RAZONAMIENTO ALGEBRAICO FACTOREO Casos: Factor Común, Diferencia de Cuadrados, Trinomios de la forma ax²+bx+c FUNCIÓN LINEAL Definición y tipos de pendiente, forma canónica de la recta PARÁBOLA Puntos máximos y mínimos mediante fórmulas, concavidad CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE Ejercicios básicos en sus formas canónicas

C={P(x,y)|d(P,C)=r; r>0} CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Centro: C(α,β) C={P(x,y)|d(P,C)=r; r>0} Por teorema de Pitágoras sabemos que los puntos P(x,y) deben cumplir esta ecuación: (x–α)² + (y–β)² = r² Que se llama ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C(α,β)C(α,β) y radio r. Si r=0, ¿qué objeto geométrico representa la ecuación?

Ecuación canónica de la circunferencia Hay un caso particular de circunferencia, que tiene su centro en el origen. La ecuación que la define se llama ecuación canónica de la circunferencia: x² + y² = r² Si la circunferencia no está centrada en el (0,0), es posible armar un nuevo sistema de modo tal que el centro de la circunferencia coincida con el nuevo origen de coordenadas. Por ejemplo consideremos: (x–α)² + (y–β)² = r² Para obtener la ecuación canónica, hicimos una traslación de ejes, de modo que el centro del nuevo sistema coincidiera con el centro de la circunferencia:

Ejemplo Encuentre la ecuación de una circunferencia si los extremos de uno de sus diámetros son P(4,–3) y Q(–2,7). Conociendo los extremos de un diámetro, ¿cómo obtendrían el centro? ¿Y el radio?

Ejemplo Encuentre la ecuación de una circunferencia si los extremos de uno de sus diámetros son P(4,–3) y Q(–2,7). Conociendo los extremos de un diámetro, ¿cómo obtendrían el centro? ¿Y el radio? Resolución Como el segmento PQ es un diámetro, el centro es el punto medio de este segmento. Y el radio es la mitad de la distancia entre P y Q: Usaremos la fórmula del punto medio : 𝑃𝑚 𝑥1+𝑥2 2 ; 𝑦1+𝑦2 2 Y la ecuación de la distancia entre dos puntos: 𝑑= 𝑦2−𝑦1 2 +(𝑥2−𝑥1)2

C= 4+(−2) 2 ; −3+7 2 PQ= (–6,10) C= (1; 2) PQ= 2 34 radio= 34 Entonces ya tenemos las coordenadas del centro, y tenemos el radio. Basta con reemplazar en la ecuación ordinaria para obtener la ecuación de esta circunferencia: (x–1)² + (y–2)² = 34

Desde ecuación ordinaria hacia ecuación general A partir de la ecuación ordinaria de la circunferencia, desarrollemos los cuadrados de binomio: (x–α)² + (y–β)² = r² Luego agruparemos términos y cambiaremos las variables para poder obtener la siguiente ecuación x² + y² + Dx + Ey + F = 0 llamada ecuación general de la circunferencia.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

El cuerpo de ingenieros del ejército realiza trabajos en un redondel de la ciudad de Quito, para lo cual en el plano que presenta el ingeniero a cargo del proyecto, el centro tiene coordenadas (2;3), si el diámetro de dicho redondel es de 20 metros, ¿Cuál es la ecuación que se formaría? 𝑥−2 2 + 𝑦+3 2 =100 𝑥+2 2 + 𝑦+3 2 =10 𝑥−2 2 + 𝑦−3 2 =100 𝑥−2 2 + 𝑦−3 2 =10

Al girar, las hélices de un helicóptero generan una circunferencia con ecuación x²+y²-10x- 8y+32=0 Con base en el caso. ¿Cuál es el radio, en metros, que generan las hélices del helicóptero? 3 4 5 2

ELIPSE Se define como un lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos es constante. Además de los focos, en la elipse se distinguen los siguientes elementos: eje principal o eje focal, vértices, eje mayor, centro, eje normal o eje secundario, eje menos y lado recto.

Ecuación canónica de la elipse La ecuación canónica de la elipse con centro en (h, k) puede ser paralelo al eje “x” o al eje “y”. Paralelo al eje “x” Donde: a > b > 0 Paralelo al eje “y” Donde: a> b > o

Paralelo al eje “x”

Paralelo al eje “y”

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Un arquitecto diseña un jardín de forma elíptica, mediante la ecuación 𝑥² 9 + 𝑦² 25 =1, donde x y y están en metros. Si se desea instalar dos lámparas en los focos de la elipse para iluminar el jardín, seleccione los puntos que corresponden a dichos focos. (0;-4) (4;0) (0;4) (-4;0) 2,4 1,2 1,3 3,4

Para la construcción de un estadio que tiene forma elíptica se representa las coordenadas en un plano cartesiano en donde, el centro está en (-3;8) y sus vértices en (-3;5) y (3;8). (𝑥+3)² 36 − 𝑦−8 2 9 =1 (𝑥+3)² 9 − 𝑦−8 2 36 =1 (𝑥+3)² 9 + 𝑦−8 2 36 =1 (𝑥+3)² 36 + 𝑦−8 2 9 =1

El Instituto Nacional de Astronomía ha detectado un nuevo satélite, cuya órbita obedece a una trayectoria elíptica con respecto a Saturno. Si se toma en cuenta el centro (C) del planeta, y uno de los focos (F) y vértices (A) de la trayectoria: C (0,0); F (2,0) y A (3,0) respectivamente, cuyas distancias están aproximadas en ciento de miles de kilómetros, ¿cuál es la ecuación que rige el movimiento del satélite? 𝑥 2 9 − 𝑦 2 5 =1 𝑥 2 5 − 𝑦 2 9 =1 𝑥 2 9 + 𝑦 2 5 =1 𝑥 2 5 + 𝑦 2 9 =1

La gráfica representa una mesa de forma elíptica, ¿cuál es su ecuación? (𝑥−5) 2 25 + ( 𝑦−1) 2 16 =1 (𝑥−5) 2 4 − 𝑦−1 2 5 =1 (𝑥−5) 2 16 + (𝑦−1) 2 25 =1 (𝑥+5) 2 16 + (𝑦+1) 2 25 =1

La estructura de un puente metálico, localizado a las afueras de una ciudad, tiene la forma de un arco parabólico que tiene una distancia, desde el vértice al foco, de 6 metros. Si se desea soldar una barra de acero para tener mejor estabilidad, como se muestra en la figura, y se sabe que pasa por el foco del arco parabólico, identifique la longitud de la barra. 12 24 48 60