LA ELIPSE

LAS CONICAS

La elipse Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE Focos: Son los puntos fijos F y F'. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Distancia focal: Es el segmento  de longitud 2c, c es el valor de la semi distancia focal.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. Eje menor: Es el segmento  de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semi distancia focal y su semieje mayor. 𝑒= 𝑐 𝑎

Lado recto Es el segmento perpendicular al eje mayor que toca dos puntos de la elipse y cuyo punto medio es el foco, existen 2 lados rectos, unos en cada foco. La longitud de cada lado recto es 𝐿𝑅= 2 𝑏 2 𝑎

Relación de la distancia focal y los semiejes Quiere decir que el semi eje mayor (a) al cuadrado es la suma de los cuadrados del semi eje menor (b) y la distancia focal (c).

Ecuación de la elipse (𝑥−ℎ) 2 𝑎 2 + ( 𝑦−𝑘) 2 𝑏 2 =1 Si el centro de la elipse C(h, k) y el eje principal es paralelo al eje X, los focos tienen de coordenadas F(h+c, k) y F'(h−c, k). Y la ecuación de la elipse será: (𝑥−ℎ) 2 𝑎 2 + ( 𝑦−𝑘) 2 𝑏 2 =1

Ecuación de la elipse (𝑦−𝑘) 2 𝑎 2 + ( 𝑥−ℎ) 2 𝑏 2 =1 Si el centro de la elipse C(h, k) y el eje principal es paralelo al eje y, los focos tienen de coordenadas F(h, k+c) y F'(h, k-c). Y la ecuación de la elipse será: (𝑦−𝑘) 2 𝑎 2 + ( 𝑥−ℎ) 2 𝑏 2 =1

ECUACION DE LA ELIPSE Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son: (-c,0) y (c, 0). Cualquier punto de la elipse cumple: 𝑃𝐹 + 𝑃𝐹´ =2𝑎 (𝑥−𝑐) 2 + 𝑦 2 + (𝑥+𝑐) 2 + 𝑦 2 =2𝑎 Al final queda: 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1 Ecuación reducida o ordinaria de una elipse.

Ecuación de la elipse Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación: 𝑦 2 𝑎 2 + 𝑥 2 𝑏 2 =1 Las coordenadas de los focos son: F'(0, −c) y F(0, c)

Ejemplo Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10. Determinar la ecuación de la elipse conociendo: C(0,0) F(0,4) A (0,5) Dada la ecuación reducida de la elipse  𝑦 2 9 + 𝑥 2 4 =1 , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

Ejemplos Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C (4, 2). Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses. Halla la ecuación de la elipse conociendo:  c(1,0) f (2,0) A (3,0). C(1, -1) f( (0,4) A (1,4) C(-3,2) F ( -1, 2) A (2,2)