CAPÍTULO VI MATRICES

MATRIZ DEFINICIÓN: Una matriz de mxn con elementos en 𝑪 es un arreglo de la forma: 𝑎 11 𝑎 12 … 𝑎 1𝑛 𝑎 21 𝑎 22 … 𝑎 2𝑛 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 … 𝑎 𝑚𝑛 … … … … donde 𝒂 𝟏𝟏 , 𝒂 𝟏𝟐 , …, 𝒂 𝒎𝒏 𝜺 𝑪 𝒚 𝒎, 𝒏 𝜺 𝒁.

IGUALDAD DEMATRICES DEFINICIÓN: Sean 𝑨= 𝒂 𝒊𝒋 y 𝑩= 𝒃 𝒊𝒋 dos matrices de mxn con elementos en 𝑪. Diremos que 𝑨 𝒚 𝑩 son iguales, lo que representaremos con 𝑨=𝑩, sí: 𝒂 𝒊𝒋 = 𝒃 𝒊𝒋 ; 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒊=𝟏, 𝟐, …, 𝒎 𝒚 𝒋=𝟏, 𝟐, …, 𝒏.

DEFINICIÓN: ADICIÓN DE MATRICES Sean 𝑨= 𝒂 𝒊𝒋 y 𝑩= 𝒃 𝒊𝒋 dos matrices de mxn con elementos en 𝑪. La suma 𝑨+𝑩 es una matriz 𝑺= 𝒔 𝒊𝒋 , de mxn, definida por: 𝒔 𝒊𝒋 = 𝒂 𝒊𝒋 + 𝒃 𝒊𝒋 ; 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒊=𝟏, 𝟐, …, 𝒎 𝒚 𝒋=𝟏, 𝟐, …, 𝒏.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES TEOREMA: PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES Si 𝑨, 𝑩 𝒚 𝑪 matrices de mxn, cuyos elementos son números complejos, entonces: 𝐴+ 𝐵+𝐶 = 𝐴+𝐵 +𝐶 … Asociatividad 𝐴+𝐵=𝐵+𝐴 … Conmutatividad Existe una matriz 𝑂 de mxn tal que: 𝐴+𝑂=𝐴 … Elemento idéntico Existe una matriz −𝐴 de mxn tal que: 𝐴+ −𝐴 =𝑂 … Elementos inversos

DEFINICIÓN 𝑨−𝑩=𝑨+(−𝑩) Sean 𝑨= 𝒂 𝒊𝒋 y 𝑩= 𝒃 𝒊𝒋 dos matrices de mxn con elementos en 𝑪. La diferencia 𝑨−𝑩 se define como: 𝑨−𝑩=𝑨+(−𝑩)

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR DEFINICIÓN: MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Sean 𝑨= 𝒂 𝒊𝒋 una matriz de mxn con elementos en 𝑪 𝒚 𝜶 𝜺 𝑪. El producto 𝜶𝑨 es una matriz 𝑬= 𝒆 𝒊𝒋 de mxn, definida por: 𝒆 𝒊𝒋 =𝜶 𝒂 𝒊𝒋 ; 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒊=𝟏, …, 𝒎 𝒚 𝒋=𝟏, …, 𝒏

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR TEOREMA: PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Sí 𝑨 𝒚 𝑩 son matrices de mxn con elementos en 𝑪 𝒚 𝜶, 𝜷 𝜺 𝑪, entonces: 𝜶 𝑨+𝑩 =𝜶𝑨+𝜶𝑩 𝜶+𝜷 𝑨=𝜶𝑨+𝜷𝑨 𝜶 𝜷𝑨 = 𝜶𝜷 𝑨

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES DEFINICIÓN: MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Sean 𝑨= 𝒂 𝒊𝒋 𝒚 𝑩= 𝒃 𝒊𝒋 dos matrices con elementos en 𝑪, de mxn y nxq respectivamente. El producto 𝑨𝑩 es una matriz 𝑷= 𝒑 𝒊𝒋 , de mxq, definida por: 𝑷 𝒊𝒋 = 𝒌=𝟏 𝒏 𝒂 𝒊𝒌 𝒃 𝒌𝒋 ; 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒊=𝟏, …, 𝒎 𝒚 𝒋=𝟏, …, 𝒒.

TEOREMA: DISTRIBUTIVIDAD I. 𝑨 𝑩+𝑪 =𝑨𝑩+𝑨𝑪 II. 𝑫+𝑬 𝑭=𝑫𝑭+𝑬𝑭 Sean 𝑨, 𝑩 𝒚 𝑪 matrices de mxn, nxp y nxp, respectivamente, y 𝑫, 𝑬 𝒚 𝑭 matrices de mxn, mxn y nxp, respectivamente, cuyos elementos son números complejos; entonces: I. 𝑨 𝑩+𝑪 =𝑨𝑩+𝑨𝑪 II. 𝑫+𝑬 𝑭=𝑫𝑭+𝑬𝑭

MATRIZ IDENTIDAD DEFINICIÓN: 𝜹 𝒊𝒋 =𝟏, Sí 𝑖=𝑗 𝜹 𝒊𝒋 =𝟎, Sí 𝑖≠𝑗 Se llama matriz identidad de orden n a la matriz cuadrada de orden n 𝑰 𝒏 = 𝜹 𝒊𝒋 , tal que 𝜹 𝒊𝒋 =𝟏, Sí 𝑖=𝑗 Y 𝜹 𝒊𝒋 =𝟎, Sí 𝑖≠𝑗

TEOREMA I. 𝑰 𝒎 𝑨=𝑨 II. 𝑨 𝑰 𝒏 =𝑨 Si 𝑨 es una matriz de mxn con elementos en 𝑪, entonces: I. 𝑰 𝒎 𝑨=𝑨 II. 𝑨 𝑰 𝒏 =𝑨

DEFINICIÓN: INVERSA DE UNA MATRIZ 𝑿𝑨= 𝑰 𝒏 =𝑨𝑿 Sea 𝑨 una matriz de nxn con elementos en 𝑪. Una matriz 𝑿 se dice que es inversa de 𝑨 sí: 𝑿𝑨= 𝑰 𝒏 =𝑨𝑿 Y se representa con 𝑨 −𝟏 .

DEFINICIÓN Sea 𝑨 una matriz de nxn con elementos en 𝑪. Se dice que 𝑨 es no singular si existe 𝑨 −𝟏 , en caso contrario se dice que 𝑨 es singular.

PROPIEDADES DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ TEOREMA: PROPIEDADES DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Si 𝑨 y 𝑩 son dos matrices no singulares del mismo orden y 𝜆 𝜺 𝑪 entonces: I. 𝑨 −𝟏 es única II. (𝑨 −𝟏 ) −𝟏 =𝑨 III. (𝑨𝑩) −𝟏 = 𝑩 −𝟏 𝑨 −𝟏 IV. (𝜆𝑨) −𝟏 = 𝟏 𝜆 𝑨 −𝟏 , sí 𝜆≠0

TRAZA DE UNA MATRIZ DEFINICIÓN: 𝑖=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑖 Sea 𝑨= 𝒂 𝒊𝒋 una matriz de nxn con elementos en 𝑪. Se llama traza de 𝑨, y se representa con 𝒕𝒓 𝑨, al número: 𝑖=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑖

PROPIEDADES DE LA TRAZA DE UNA MATRIZ TEOREMA: PROPIEDADES DE LA TRAZA DE UNA MATRIZ Si 𝑨 y 𝑩 son dos matrices de nxn con elementos en 𝑪 y 𝛂 𝜺 𝑪 entonces: I. 𝒕𝒓 𝑨+𝑩 = 𝒕𝒓 𝑨 +(𝒕𝒓𝑩) II. 𝐭𝐫 𝜶𝑨 =𝜶(𝒕𝒓𝑨) III. 𝒕𝒓 𝑨𝑩 =𝒕𝒓(𝑩𝑨)

MATRICES TRIANGULARES SUPERIORES E INFERIORES DEFINICIÓN: MATRICES TRIANGULARES SUPERIORES E INFERIORES Sea 𝑨= 𝒂 𝒊𝒋 una matriz de nxn con elementos en 𝑪. Se dice que: I. 𝑨 es triangular superior sí 𝒂 𝒊𝒋 =𝟎 para 𝑖>𝑗 II. 𝑨 es triangular inferior sí 𝒂 𝒊𝒋 =𝟎 para 𝑖<𝑗

TEOREMA III. 𝑨𝑩 es triangular superior (inferior) Si 𝑨 y 𝑩 son dos matrices triangulares superiores (inferiores) del mismo orden y 𝛂 𝜺 𝑪, entonces: I. 𝑨+𝑩 es triangular superior (inferior) II. 𝜶𝑨 es triangular superior (inferior) III. 𝑨𝑩 es triangular superior (inferior)

MATRICES DIAGONALES DEFINICIÓ: 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝒂 𝟏𝟏 , 𝒂 𝟐𝟐 , …, 𝒂 𝒏𝒏 ) Sea 𝑨= 𝒂 𝒊𝒋 una matriz de nxn con elementos en 𝑪. Se dice que 𝑨 es una matriz diagonal si 𝒂 𝒊𝒋 =𝟎 para 𝒊≠𝒋, y se representa con 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝒂 𝟏𝟏 , 𝒂 𝟐𝟐 , …, 𝒂 𝒏𝒏 )

PROPIEADES DE LAS MATRICES DIAGONALES TEOREMA: PROPIEADES DE LAS MATRICES DIAGONALES Si 𝑨 y 𝑩 son dos matrices diagonales tales que 𝐴=𝑑𝑖𝑎𝑔 𝑎 11 , 𝑎 22 , …, 𝑎 𝑛𝑛 , 𝐵=𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑏 11 , 𝑏 22 , …, 𝑏 𝑛𝑛 ) y 𝛼 𝜀 𝐶, entonces: I. 𝑨+𝑩=𝒅𝒊𝒂𝒈 𝑎 11 + 𝑏 11 , 𝑎 22 + 𝑏 22 , …, 𝑎 𝑛𝑛 + 𝑏 𝑛𝑛 II. 𝜶𝑨=𝒅𝒊𝒂𝒈 𝛼𝑎 11 , 𝛼𝑎 22 , …, 𝛼𝑎 𝑛𝑛 III. 𝑨𝑩=𝒅𝒊𝒂𝒈 𝑎 11 𝑏 11 , 𝑎 22 𝑏 22 , …, 𝑎 𝑛𝑛 𝑏 𝑛𝑛 IV. 𝑨 −𝟏 =𝒅𝒊𝒂𝒈 1 𝑎 11 , 1 𝑎 22 ,…, 1 𝑎 𝑛𝑛 , sí 𝑨 es no singular

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ DEFINICIÓN: Sea 𝑨= 𝒂 𝒊𝒋 una matriz de mxn con elementos en 𝑪. Se llama transpuesta de 𝑨 a la matriz de nxm 𝑨 𝑻 = 𝒄 𝒊𝒋 , tal que: 𝒄 𝒊𝒋 = 𝒂 𝒋𝒊

PROPIEDADES DE LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ TEOREMA PROPIEDADES DE LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Si 𝑨 y 𝑩 son dos matrices con elementos en 𝑪 y 𝛂 𝜺 𝑪, entonces: I. ( 𝑨 𝑻 ) 𝑻 =𝑨 II. (𝜶𝑨) 𝑻 =𝜶 𝑨 𝑻 III. (𝑨+𝑩) 𝑻 = 𝑨 𝑻 + 𝑩 𝑻 , sí 𝑨+𝑩 puede obtenerse IV. (𝑨𝑩) 𝑻 = 𝑩 𝑻 𝑨 𝑻 , sí 𝑨𝑩 puede obtenerse

MATRICES SIMÉTRICAS Y ANTISIMÉTRICAS DEFINICIÓN: MATRICES SIMÉTRICAS Y ANTISIMÉTRICAS Sea 𝑨 una matriz de nxn con elementos en 𝑪. Se dice que: I. 𝑨 es simétrica sí 𝑨 𝑻 =𝑨 II. 𝑨 antisimétrica sí 𝑨 𝑻 =−𝑨

TEOREMA I. 𝑨+𝑩 es simétrica (antisimétrica) Si 𝑨 y 𝑩 son dos matrices simétricas (antisimétricas) de nxn y 𝛂 𝜺 𝑪, entonces: I. 𝑨+𝑩 es simétrica (antisimétrica) II. 𝜶𝑨 es simétrica (antisimétrica)

TEOREMA I. 𝑨+ 𝑨 𝑻 es simétrica II. 𝑨− 𝑨 𝑻 es antisimétrica Si 𝑨 es una matriz de nxn con elementos en 𝑪, entonces: I. 𝑨+ 𝑨 𝑻 es simétrica II. 𝑨− 𝑨 𝑻 es antisimétrica

CONJUGADA DE UNA MATRIZ DEFINICIÓN: Sea 𝑨= 𝒂 𝒊𝒋 una matriz de mxn con elementos en 𝑪. Se llama conjugada de 𝑨 a la matriz de mxn 𝑨 = 𝒄 𝒊𝒋 tal que: 𝒄 𝒊𝒋 = 𝒂 𝒊𝒋

PROPIEDADES DE LA CONJUGADA DE UNA MATRIZ TEOREMA: PROPIEDADES DE LA CONJUGADA DE UNA MATRIZ Si 𝑨 y 𝑩 son dos matrices con elementos en 𝑪 y 𝛂 𝜺 𝑪, entonces: I. 𝑨 =𝑨 II. 𝜶𝑨 = 𝜶 𝑨 III. 𝑨+𝑩 = 𝑨 + 𝑩 , sí 𝑨+𝑩 puede obtenerse IV. 𝑨𝑩 = 𝑨 𝑩, sí 𝑨𝑩 puede obtenerse

MATRICES REALES E IMAGINARIAS DEFINICIÓN: Sea 𝑨 una matriz de mxn con elementos en 𝑪. Se dice que: I. 𝑨 es real sí 𝑨 =𝑨 II. 𝑨 es imaginaria sí 𝑨 =−𝑨

TEOREMA I. 𝑨+𝑩 es real (imaginaria), si 𝑨+𝑩 puede obtenerse Si 𝑨 y 𝑩 son dos matrices reales (imaginarias), entonces: I. 𝑨+𝑩 es real (imaginaria), si 𝑨+𝑩 puede obtenerse II. 𝑨𝑩 es real (real), si 𝑨𝑩 puede obtenerse

TEOREMA I. 𝑨+ 𝑨 es real II. 𝑨− 𝑨 es imaginaria Si 𝑨 es una matriz de mxn con elementos en 𝑪, entonces: I. 𝑨+ 𝑨 es real II. 𝑨− 𝑨 es imaginaria

MATRIZ CONJUGADA-TRANSPUESTA DEFINICIÓN MATRIZ CONJUGADA-TRANSPUESTA Sea 𝑨 una matriz de mxn con elementos en 𝑪. Se llama conjugada-transpuesta de 𝑨 , y se representa con 𝑨 ∗ , a la matriz de nxm definida por: 𝑨 ∗ = ( 𝑨 ) 𝑻

TEOREMA Si 𝑨 es una matriz de mxn con elementos en 𝑪, entonces: 𝑨 ∗ = ( 𝑨 ) 𝑻 = (𝑨) 𝑻

PROPIEDADES DE LA CONJUGADA-TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ TEOREMA: PROPIEDADES DE LA CONJUGADA-TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Si 𝑨 y 𝑩 son dos matrices con elementos en 𝑪 y 𝜶 𝜺 𝑪, entonces: I. (𝑨 ∗ ) ∗ =𝑨 II. (𝜶𝑨) ∗ = 𝜶 𝑨 ∗ III. (𝑨+𝑩) ∗ = 𝑨 ∗ + 𝑩 ∗ , sí 𝑨+𝑩 puede obtenerse IV. (𝑨𝑩) ∗ = 𝑩 ∗ 𝑨 ∗ , sí 𝑨𝑩 puede obtenerse

MATRICES HERMITIANAS Y ANTIHERMITIANAS DEFINICIÓN: MATRICES HERMITIANAS Y ANTIHERMITIANAS Sea 𝑨 una matriz de nxn con elementos en 𝑪. Se dice que: I. 𝑨 es hermitiana si 𝑨 ∗ =𝑨 II. 𝑨 es antihermitiana si 𝑨 ∗ =−𝑨

TEOREMA Si 𝑨 y 𝑩 son dos matrices hermitianas (antihermitianas) de nxn, entonces 𝐀+𝑩 es hermitiana (antihermitiana)

PROPIEDADES DE LAS MATRICES HERMITIANAS Y ANTIHERMITIANAS TEOREMA: PROPIEDADES DE LAS MATRICES HERMITIANAS Y ANTIHERMITIANAS Si 𝑨 es una matriz de mxn con elementos en 𝑪, entonces: 𝑨 𝑨 ∗ es hermitiana 𝑨 ∗ 𝑨 es hermitiana 𝑨+𝑨 ∗ es hermitiana, sí 𝑨 es cuadrada 𝑨− 𝑨 ∗ es antihermitiana, sí 𝑨 es cuadrada

MATRICES ORTOGONALES Y UNITARIAS DEFINICIÓN: MATRICES ORTOGONALES Y UNITARIAS Una matriz 𝑨 no singular se dice que: I. es ortogonal si 𝑨 𝑻 = 𝑨 −𝟏 II es unitaria si 𝑨 ∗ = 𝑨 −𝟏

MATRICES ORTOGONALES Y UNITARIAS DEFINICIÓN: MATRICES ORTOGONALES Y UNITARIAS Sea 𝑨 una matriz de mxm con elementos en C y sea . Se llama potencia enésima de 𝑨, y se representa con 𝑨 𝒏 , a la matriz definida por: I. II 𝑨 𝒏 = 𝑨𝑨 𝒏−𝟏 ,

Ejemplo: Sea la ecuación matricial 𝐴 𝑇 𝑋=(𝐵 𝐶 −1 2𝐶 ) −1 𝑋−𝐵 y sean las matrices 5 4 2 0 15 6 2 0 0 1 3 −2 3 1 0 𝑨 𝑻 = 𝑩= 𝑪= Obtener la matriz 𝑋. Solución 𝐴 𝑇 𝑋= (𝐵 𝐶 −1 2𝐶) −1 𝑋−𝐵 𝐴 𝑇 𝑋= (2𝐵) −1 𝑋−𝐵 𝐴 𝑇 𝑋− 2𝐵 −1 𝑋=−𝐵 (𝐴 𝑇 − 2𝐵 −1 )𝑋=−𝐵 𝑋= ( 2𝐵 −1 −𝐴 𝑇 ) −1 (𝐵) 𝑋= 1 2 2 0 0 1 3 −1 − 5 4 2 0 15 6 −1 2 0 0 1/3 𝑋= −1 −2 0 −1 −1 2 0 0 1/3 𝑋= −1 2 0 −1 2 0 0 1/3 𝑋= 1 4 0 0 3 2 − 5 4 2 0 15 6 −1 2 0 0 1/3 𝑋= −2 2/3 0 −1/3