M.5.2.16. Describir la elipse como lugares geométricos en el plano.

Escuela y hogar construyen una educación integral. El cuidado de la salud acorde a su desarrollo bilógico y psicológico de acuerdo a sus edades.

Concepto Una Elipse es el conjunto de puntos P, del plano, que verifican que la suma de las distancias desde cada uno de ellos a dos puntos fijos (𝐹y 𝐹 ′ ), llamados focos, es una cantidad constante, que denotamos como 2a. Es decir: 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒= 𝑃 𝑥, 𝑦 /𝑑 𝑃, 𝐹 ′ +𝑑 𝑃, 𝐹 =2𝑎

Elementos de la Elipse Focos: Son los puntos fijos F y F'. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'. Distancia focal: Es el segmento 𝐹 𝐹 ´ .de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. Eje menor: Es el segmento 𝐵 𝐵 ´ de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2

Excentricidad Si se observan varias elipses se ve unas redondeadas y otras son alargadas o achatadas. Esta característica de la elipse de ser mas o menos redondeada se mide con número llamado excentricidad.

Concepto de Excentricidad Se llama excentricidad, e, de una elipse al cociente entre la distancia focal y el eje mayor. 𝑒= 𝑐 𝑎 , 0<𝑒<1 Cuando más se aproxima la excentricidad a 1 mas alargada o achatada es la elipse, tendiendo confundirse con el eje mayor; y cuanto mas se aproxima a 0, mas se parece a una circunferencia.

The Cybertecture Egg The Cybertecture Egg

The Cybertecture Egg Plaza de San Pedro.

The Cybertecture Egg

Ecuación Canónica de la Elipse con centro en el origen y con eje principal sobre el eje X Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son: 𝑭′(−𝒄,𝟎) 𝒚 𝑭(𝒄,𝟎) Cualquier punto de la elipse cumple: 𝑃 𝐹 ´ + 𝑃𝐹 =2𝑎 Por lo tanto 𝑥+𝑐 2 +𝑦 2 + 𝑥−𝑐 2 +𝑦 2 =2𝑎 Realizando las operaciones llegamos a: 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1

Ecuación Canónica de la Elipse con centro en el origen y con eje principal sobre el eje de las ordenadas. F′(0, −c) y F(o, c) Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación: 𝑥 2 𝑏 2 + 𝑦 2 𝑎 2 =1

Ecuación Ordinaria de la Elipse. Si el centro de la elipse no se encuentra en el origen del sistema de coordenadas, tenemos los siguientes casos: 1. Elipse con centro en punto C(h, k) y con eje principal paralelo al eje X. 𝑥−ℎ 2 𝑎 2 + 𝑦−𝑘 2 𝑏 2 =1 2. Elipse con centro en punto C(h, K) y con eje principal paralelo al eje Y. 𝑥−ℎ 2 𝑏 2 + 𝑦−𝑘 2 𝑎 2 =1

Ecuación General de la Elipse Para calcular la ecuación general de la elipse, a partir de la ecuación en su forma ordinaria, vamos a expresarla en la forma. 𝐴 𝑥 2 +𝐵 𝑦 2 +𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0 Si la ecuación corresponde a una elipse, entonces los signos de A y B deben ser iguales.

Bibliografía http://www.vitutor.com/geo/coni/g_1.html http://wordpress.colegio- arcangel.com/matematicas2/las-conicas/