TEMARIO DEFINICIÓN ………………………………………………………..……….. ELEMENTOS DE UNA MATRIZ ………………………………………... EJEMPLOS DE MATRICES ……………………………………………… DETERMINANTE DE UNA MATRIZ ………………….……………. SUBMATRIZ Y COFACTORES …………………………………………. OBTENCIÓN DE DETERMINANTE MEDIANTE COFACTORES MATRICES TRIANGULADAS………………………………..…………… CLASES DE MATRICES …………………………….………………………. OPERACIONES (Suma Resta y multiplicación por un escalar ) …………………………. PRODUCTO DE MATRICES ……………………………………………. PRODUCTOS ESPECIALES ……………………………………..……… MATRICES ESPECIALES ………………………………..………………. DEFINICIÓN MATRÍS ADJUNTA O DE COFACTORES ……….. LA MATRIZ INVERSA, PROPIEDADES, MÉTÓDOS …….. METODOS PARA OBTENER LA INVERSA ……….. 2 3 4 5 MATRICES 6 7 𝑨 𝟐𝒙𝟐 = −𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

DEFINICIÓN DE MATRIZ 𝐴 𝑚 𝑥 𝑛 = temario Una Matriz es una forma de agrupar números en dos dimensiones. Una Matriz A tiene la siguiente forma general: 𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎2𝑛 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎3𝑛 𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎4𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 𝑎𝑚𝑛 𝐴 𝑚 𝑥 𝑛 = 𝑃𝑜𝑟 𝐴 𝑚 𝑥 𝑛 se entiende matriz A de m filas y n columnas Se llama Dimensión de una Matriz al número de filas y columnas de la matriz. temario

Elementos de una matriz Se denomina Fila de una Matriz a cada una de las líneas horizontales. Al n´mero de filas no nulas de le demomina Rango Se denomina Columna de una Matriz a cada una de las líneas verticalesque tiene una matriz: La Diagonal Principal de una matriz cuadrada es el conjunto de elementos o coeficientes que van desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha: La Diagonal Secundaria de una matriz cuadrada es el conjunto de elementos que van desde la esquina superior derecha a la esquina inferior izquierda temario

Ejemplos de matrices temario 𝐴 2 𝑥 3 es una matriz de 2 filas y 3 columnas, en 𝐴 2𝑥3 = −1 0 2 3 1 −1 el coeficiente 𝑎 12 =0 es el que ocupa la fila 1 y columna 2 𝐵 3𝑥3 = 1 −1 2 3 1 0 0 0 0 es de Rango 2 por tener una fila la 𝐹 3 =0 0 0 𝐵 3𝑥3 es una matriz que tiene la misma cantidad de filas que de columnas por lo tanto se la denomina Matriz Cuadrada 𝐹 1𝑥3 = −1 1 4 tiene dimensión 1 𝑥 3 y por tener una sola fila se denomina Matriz Fila y la Matriz Columna es la de dimensión 𝑚𝑥1 𝐶 2𝑥1 = 1 2 Si una matriz tiene todos coeficientes 0 se la conoce como Matriz Nula 0 0 0 0 𝐷 3𝑥3 7 0 0 0 1 0 0 0 3 es una Matriz Diagonal porque es cuadrada y en el único lugar que figuran coeficientes no nulos es en la diagonal de la matriz. Si todos los números de la diagonal son iguales se trata de una Matriz Escalar. Si en la diagonal los números son todos 1 se denomina Matriz Identidad 𝐼 3𝑥3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 temario

Determinante de una Matriz El determinante de una matriz es un número que se le asigna y se obtiene de las siguientes forms: Para una matriz de 22: Diferencia entre los producto de las diagonales: Ejemplo: si 𝐴= 2 1 3 4 → det 𝐴 = 2 1 3 4 =2.4 −3.1=5 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 =𝑎.𝑑−𝑐.𝑏 Para una matriz de 3 3, Regla de Sarrus: diferencia entre las suma de los productos de las diagonales de izquierda a derecha con las sumas de los productos de las diagonales de derecha izquierda , que se forman al repetir a continuación de la matriz las dos primeras filas Ejemplo: Si 𝐵= 2 1 −1 3 0 1 1 −1 2 → det 𝐵 2 1 −1 3 0 1 1 −1 2 = 2 1 −1 3 0 1 𝟐.𝟎.𝟐+𝟑 −𝟏 −𝟏 +𝟏.𝟏.𝟏 − 𝟏.𝟎 −𝟏 +𝟐. −𝟏 −𝟏 +𝟑.𝟏.𝟐 = 3+1 − 2+6 det 𝐵 =−4 temario

Submatriz o Menores y cofactores Una Submatriz de A es otra matriz resultado de elegir determinadas filas y columnas de A. Las submatrices por lo tanto tienen menores dimensiones que las matrices de origen. A= 1 −1 0 3 1 0 −2 0 3 eliminando la fila 1 y la columna1 1 0 0 3 A= 1 −1 0 3 1 0 −2 0 3 eliminando la fila 2 y la columna3 1 −1 −2 0 Se llama cofactor de un elemento de una matriz a el producto de una potencia de -1 por el determinante de su submatriz Ejemplo: 𝑐𝑜𝑓 11 = −1 1+1 . 1 0 0 3 =1.(1.3 – 0.0) =3 𝑐𝑜𝑓 𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗 . 𝑠𝑢𝑏𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 Nota: los cofactores se utilizas por ejemplo para el cálculo de determinantes, la obtención de la Matriz Adjunta, y la Matriz Inversa temario

OBTENCIÓN DE DETERMINANTE MEDIANTE COFACTORES Pasos 1) Se elige una fila o columna 2) Se identifica los elementos de la fila o columna elegida 3) Se calculan los cofactores de esa fila o columna 4) Se suman los productos de cada elemento de esa fila o columna con su correspondiente cofactor Ejemplo: 𝐴= 𝟐 𝟏 −1 3 0 1 1 −1 2 𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟏 = (−1) 1+1 . 0 1 −1 2 = 0.2− −1 .1 =1 𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟐 = (−1) 1+2 . 3 1 1 2 = 3.2−1.1 =𝟓 𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟑 = (−1) 1+3 . 3 0 1 −1 = 3 −1 −1.0 =−𝟑 𝐴 = 𝒂 𝟏𝟏 . 𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟏 + 𝒂 𝟏𝟐 . 𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟐 + 𝒂 𝟏𝟑 . 𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟑 𝐴 = 2 . 1 + 1 . 5 + (-1) . (-3) 𝐴 =10 temario

Matrices triangulares Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior Una Matriz Triangular Superior es aquella matriz cuadrada cuyos valores por debajo de la diagonal principal son todos iguales a 0 Una Matriz Triangular Inferior es aquella matriz cuadrada cuyos valores por encima de la diagonal principal son todos iguales a 0 2 −4 7 𝟎 1 2 0 𝟎 −2 1 𝟎 𝟎 4 3 𝟎 1 2 −1 A una matriz se la puede triangular a través de las Transformaciones Elementales que consiste en: «Reemplazar una fila por un múltiplo de la misma o sumándole a la fila o un múltiplo de la que se quiere modificar un múltiplo de otra de sus filas» 1 −1 −3 2 −1 −2 −3 2 4 → 𝐹 2 ↔ 𝐹 2 +(−2) 𝐹 1 𝐹 3 ↔ 𝐹 3 + 3 𝐹 1 → 1 −1 3 0 1 4 0 −1 −5 1 −1 3 0 1 4 0 −1 −5 → 𝐹 3 ↔ 𝐹 3 + 𝐹 2 → 1 −1 3 𝟎 1 4 𝟎 𝟎 −1 𝐹 2 2 −1 −2 (−2) 𝐹 1 −2 2 6 𝐹 2 ↔ 𝐹 2 +(−2) 𝐹 1 0 1 4 𝐹 3 −3 2 4 3 𝐹 1 3 −3 −9 𝐹 3 + 3 𝐹 1 0 −1 −5 𝐹 3 0 −1 −5 𝐹 2 0 1 4 𝐹 3 + 𝐹 2 0 0 −1 temario

Clasificación de matrices Matriz opuesta es la matriz cuyos coeficientes son opuestos A= 4 1 0 −1 −3 2 −𝐴= −4 −1 0 1 3 −2 Matriz Traspuesta: matriz que resulta de intercambiar los valores de las filas por los de las columnas A= 4 1 0 −1 −3 2 𝐴 𝑇 = 4 0 −3 1 −1 2 Matriz Simétrica: matriz cuadrada que es igual a su traspuesta A Simétrica  A = AT 𝐴= 1 2 3 2 −1 −4 3 −4 0 𝐴 𝑇 = 1 2 3 2 −1 −4 3 −4 0 Matriz Antisimètrica (o Hemisimétrica) es aquella matriz cuadrada que es igual a su traspuesta cambiada de signo A es antisimétrica ⇔ A = -AT 𝐴= 1 −7 3 7 2 −4 −3 4 −1 𝐴 𝑇 = 1 7 −3 −7 2 4 3 −4 −1 −𝐴 𝑇 = 1 −7 3 7 2 −4 −3 4 −1 temario

OPERACIONES CON MATRICES SUMA y RESTA DE MATRICES La operación se define de una manera muy sencilla: la matriz suma de dos matrices con la misma dimensión es la matriz que tiene en la posición fila i y columna j la suma de los elementos de la misma posición en las matrices que sumamos. Es decir, la suma de matrices se calcula sumando los elementos que ocupan la misma posición Y la resta como 𝐴+𝑩= 𝟒 𝟎 −𝟑 𝟏 −𝟏 𝟐 + −𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 −𝟐 = 𝟒+(−𝟏) 𝟎+𝟐 −𝟑+𝟐 𝟏 + 𝟎 −𝟏+𝟑 𝟐+(−𝟐) 𝐴+𝐵= 3 2 −1 1 −1 2 MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR esta operación se trata de multiplicar un número real 8escalar) por una matriz y el resultado se obtiene multiplicando por dicho número a cada uno de los elementos de la matriz 𝟒 . 𝐴=𝟒. 4 0 −3 1 −1 2 = 𝟒.4 𝟒.0 𝟒(−3) 𝟒.1 𝟒 −1 𝟒.2 = 16 0 −12 4 −4 8 Siendo A 𝒂 𝒊𝒋  y  𝐁 𝒃 𝒊𝒋 de igual dimensión →A 𝒂 𝒊𝒋 + 𝐁 𝒃 𝒊𝒋 =(𝑨+𝑩) 𝒂 𝒊𝒋 + 𝒃 𝒊𝒋 A 𝒂 𝒊𝒋 − 𝐁 𝒃 𝒊𝒋 =(𝑨−𝑩) 𝒂 𝒊𝒋 − 𝒃 𝒊𝒋 𝛂∈𝑹 𝒚A 𝒂 𝒊𝒋 ∈ 𝑹 𝒎𝒙𝒏 → 𝛂.A 𝒂 𝒊𝒋 =(𝜶𝑨) 𝜶 𝒂 𝒊𝒋 temario

Producto de matrices temario Condición: Las matrices que se pueden multiplicar tienen que temer como característica que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunde 𝐴 de dimensión 𝑚𝑥𝑛 y 𝐵 , 𝑛𝑥𝑝 con lo que se va obtener una matriz producto de dimensión 𝑚𝑥𝑝 Ejemplo: Siendo 𝐴 de dimensión 2𝑥3 𝑦 𝐵 de 3𝑥2 𝐴𝑥𝐵 tiene diensión 2𝑥2 𝐴𝑥𝐵= 𝟏 𝟎 −𝟐 −𝟑 𝟏 1 𝑥 𝟐 −𝟐 𝟎 𝟏 𝟑 −𝟏 = 𝐴𝑥𝐵= 𝟏 . 𝟐+𝟎 . 𝟎+ −𝟐 𝟑 𝟏 −𝟐 +𝟎.𝟏+(−𝟐)(−𝟏) −𝟑 .𝟐+𝟏.𝟎+𝟏.𝟑 −3 . −2 +1.𝟏+1(−𝟏) 𝐴𝑥𝐵= −4 0 −3 6 𝑪 𝟏 𝑪 𝟐 𝑭 𝟏 𝑭 𝟐 𝑭 𝟏 𝑪 𝟏 𝑪 𝟐 𝑭 𝟐 𝑪 𝟏 𝑪 𝟐 𝑭 𝟏 𝑭 𝟐 temario

Multiplicaciones especiales temario El producto de dos matrices Diagonal da una matriz diagonal. 3 0 0 0 2 0 0 0 1 𝑥 1 0 0 0 −1 0 0 0 −7 = 3.1 0 0 0 2(−1) 0 0 0 1(−7) = 3 0 0 0 −2 0 0 0 −7 El producto de una matriz por la matriz identidad da la misma matriz 𝐴𝑥𝐼 = 𝐴 3 −1 0 1 2 0 2 −3 1 𝑥 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 3,1 −1 .1 0 1.1 2.1 0 2.1 (−3)1 1 = 3 −1 0 1 2 0 2 −3 1 El producto de una matriz con la matriz nula da la matriz nula 𝐴𝑥𝑁=𝑁 3 −1 0 1 2 0 2 −3 1 𝑥 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 El producto de dos matices trianguladas superiormente da una matriz también triangulada superiormente 3 1 3 0 2 −1 0 0 1 𝑥 1 −1 2 0 1 1 0 0 −3 = 3.1 3 −1 +1.1 3.2+1.1+3(−3) 0 2.1 2.1+(−1)(−3) 0 0 1(−3) = 3 −2 −2 0 2 5 0 0 −3

A es idempotente ⇔ A · A = A MATRICES ESPECIALES Matriz Idempotente: matriz que multiplicada por si misma da como resultado la misma matriz Matriz Involutiva: matriz que multiplicada por si misma da como resultado la matriz unidad o identidad Matriz Ortogonal:  matriz que multiplicada por su traspuesta resulta la matriz identidad A es idempotente ⇔ A · A = A A es involutiva ⇔ A · A = I A es Ortogonal ⇔ A · AT = I 𝐴= 2 3 1 3 2 3 1 3 → 𝐴𝑥𝐴= 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 = 2 3 . 2 3 + 1 3 2 3 2 3 1 3 + 1 3 1 3 2 3 2 3 + 1 3 2 3 2 3 1 3 + 1 3 1 3 = 2 3 1 3 2 3 1 3 =𝐴 A= 1 −1 0 −1 → 𝐴𝑥𝐴= 1 −1 0 −1 1 −1 0 −1 = 1.1+ −1 0 1 −1 + −1 (−1) 0.1+ −1 0 0 −1 +(−1)(−1) = 1 0 0 1 =𝐼 𝐴= 1 2 1 2 1 2 − 1 2 →𝐴𝑥 𝐴 𝑡 = 1 2 1 2 1 2 − 1 2 𝑥 1 2 1 2 1 2 − 1 2 = 1 2 1 1 1 −1 1 2 1 1 1 −1 1 2 1+1 1−1 1−1 1−1 = 1 2 2 0 0 2 = 1 0 0 1 =𝐼 temario

Matriz Adjunta temario Una Matriz Adjunta, también Matriz de Adjuntos o Matriz de Cofactores, es el resultado de realizar las siguientes operaciones: Dada una matriz 𝐴= 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 , la Matriz Adjunta, 𝐴𝑑𝑗𝐴( 𝑎𝑑 𝑖𝑗 ) es la que reemplaza a cada elemento por su cofactor, el determinante de la submamatriz o el opuesto de dicho determinante, El signo depende de la posición: si al sumar el número de la fila y la columna que ocupa da «par» es positivo y si es «impar» el es negativo 𝑎𝑑𝑗 𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗 . 𝑆𝑢𝑏𝑀 𝑖𝑗 Ejemplo: A el elemento 𝑎 11 → (−1) 1−1 3 0 0 5 =1 3.5−0.0 = 15 1 0 2 0 3 0 4 0 5 𝐴𝑑𝑗𝐴= − 3 0 0 5 − 0 0 4 5 0 3 4 0 0 2 0 5 1 2 4 5 − 1 0 4 0 0 2 3 0 − 1 2 0 0 1 0 0 3 = 15 0 −12 0 −3 0 −6 0 3 𝐴= 1 0 2 0 3 0 4 0 5 →− temario

Matriz Inversa temario Una Matriz Inversa, A−1 , es aquella matriz que multiplicada por la matriz de origen, A, da como resultado la matriz unidad o identidad, I: Ejemplo: 𝐴= 1 1 1 2 tiene como inversa a 𝐴 −1 = 2 −1 −1 1 ya que 𝐴 𝑥 𝐴 −1 = 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝑥 𝟐 −𝟏 −𝟏 𝟏 𝐴 𝑥 𝐴 −1 = 𝟏.𝟐+𝟏.(−𝟏) 𝟏.(−𝟏)+𝟏.𝟏 𝟏.𝟐+𝟐.(−𝟏) 𝟏.(−𝟏)+𝟐.𝟏 𝑨 𝒙 𝑨 −𝟏 = 1 0 0 1 =𝑰 Recordar: Sólo tienen inversa algunas matrices cuadradas. Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0 Aquella matriz cuadrada que tiene inversa se denominan Matrices Regulares Mientras que las matriz que no posee inversa son Matrices Singular El producto de dos inversas se puede conmutar 𝐴 𝑥 𝐴 −1 = 𝐴 −1 𝑥𝐴 temario

PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA La inversa de la inversa es la matriz de origen: (A-1)-1 = A La inversa de un producto de matrices es igual al producto de las inversas de las matrices pero cambiado de signo: (A · B)−1 = B−1 · A−1 Sea una matriz invertible, entonces la inversa de su traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa: (AT)-1 = (A-1)T Las matrices inversas se calculan como el adjunto de la matriz entre su determinante (si este es distinto de cero): (A)-1 = Adj (A) / |A| https://www.matesfacil.com/calculadoras/matrices/calculadora-online-matriz-inversa-adjunta-2x2-3x3-matrices.html temario

COMO OBTENER LA MATRIZ INVERSA en 𝑅 2𝑥2 𝑆𝑖 𝐴= −1 1 −2 3 su inversa 𝐴 −1 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 es tal que: 𝐴 𝑥 𝐴 −1 =𝐼 −1 1 −2 3 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 1 0 0 1 −𝑎+𝑐 −𝑏+𝑑 −2𝑎+3𝑐 −2𝑏+3𝑑 = 1 0 0 1 Se iguala componente a componente y se determinan dos sistemas de ecuaciones −𝑎+𝑐=1 −2𝑎+3𝑐=0 De la primera ecuación 𝑐=1+𝑎 SUSTITUYENDO en la segunda ecuación −2𝑎+3𝑐=0 −2𝑎+3(1+𝑎)=0 −2𝑎+3+3𝑎=0 𝑎=−3 Y como 𝑐=1+𝑎 𝑐=1+ −3 → 𝑐=−2 −𝑏+𝑑=0 −2𝑏+3𝑑=1 De la primera ecuación 𝑑=𝑏 SUSTITUYENDO en la segunda ecuación −2𝑏+3𝑑=1 −2𝑏+3𝑏=1 𝑏=1 Y como 𝑑=𝑏 → 𝑑=1 Así quedó determinada 𝑨 −𝟏 = −𝟑 𝟏 −𝟐 𝟏 temario

Matriz inversa usando la Matriz Adjunta Dada una matriz cuadrada 𝐴= 1 2 3 3 2 1 1 0 1 los pasos seguir para obtener su inversa Obtener el valor del determinante Obtener los cofactores de la matriz Adjunta Matriz Inversa Nota el determinante de la matriz tiene que ser distinto de 0 Cofactores: 𝑐𝑜𝑓 𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗 . 𝑆𝑢𝑏𝑀 𝑖𝑗 𝐴 −1 = 1 det⁡(𝐴) 𝐴𝑑𝑗𝐴 𝑇 𝐴 −1 = 1 −8 2 −2 −4 −2 −2 8 −2 2 −4 𝐴 −1 = − 1 4 1 4 1 2 1 4 1 4 −1 1 4 − 1 4 1 2 𝐴𝑑𝑗𝐴= 2 −2 −2 −2 −2 2 −4 8 −4 temario

Matriz inversa por método de Gaus Por medio de Transformaciones elementales, vamos modificando nuestra matriz hasta obtener la matriz identidad. Cada paso que apliquemos a la matriz se lo aplicaremos a la matriz identidad. Cuando hayamos obtenido la matriz identidad, la de la derecha será la inversa. Si no podemos llegar a la matriz identidad (por ejemplo, sale alguna fila de ceros), significa que la matriz no será inversible. Por medio de transformaciones elementales, vamos modificando nuestra matriz hasta obtener la matriz identidad. Cada paso que apliquemos a la matriz se lo aplicaremos a la matriz identidad. Cuando hayamos obtenido la matriz identidad, la de la derecha será la inversa. Si no podemos llegar a la matriz identidad (por ejemplo, sale alguna fila de ceros), significa que la matriz no será inversible. Ejemplo con una matriz de dimensión 2x2 2 1 3 4 1 0 0 1 𝑭 𝟏 ↔ 𝑭 𝟏 :𝟐 𝟏 1 2 3 4 1 2 0 0 1 𝑭 𝟐 ↔ 𝑭 𝟐 +(−𝟑) 𝑭 𝟏 Dada 𝐴= 2 1 3 4 ampliamos con la identidad 𝟏 1 2 𝟎 5 2 1 2 0 − 3 2 1 𝑭 𝟐 ↔ 𝟐 𝟓 𝑭 𝟐 𝟏 1 2 𝟎 𝟏 1 2 0 − 3 5 2 5 𝑭 𝟏 ↔ 𝑭 𝟏 + − 𝟏 𝟐 𝑭 𝟐 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 4 5 − 1 5 − 3 5 2 5 → 𝑨 −𝟏 = 4 5 − 1 5 − 3 5 2 5

FIN