6. Series

Si limnzn = L, decimos que la sucesión es convergente. Sucesiones Veamos un ejemplo de sucesión compleja: {1 + in}: Si limnzn = L, decimos que la sucesión es convergente.

Otro ejemplo: la sucesión converge.

Límite de una sucesión Una sucesión {zn} de números complejos zn = xn + iyn converge a c = a + i b sii la sucesión de partes reales {xn} converge a a y la sucesión de partes imaginarias {yn} converge a b. y Demostración ( ): Si |zn-c| < , con zn = xn + iyn entonces dentro de un círculo de radio , para c = a + i b se cumple que: |xn-a| <  , |yn-b| <  b+ zn b c b- x a- a a+ Por tanto la convergencia zn  c implica que xn  a , yn  b.

Igualmente, si xn  a y yn  b cuando n   , entonces para Demostración (): Igualmente, si xn  a y yn  b cuando n   , entonces para un >0 dado, podemos hallar un N suficientemente grande tal que para  n> N se cumpla que: |xn-a| < /2, |yn-b| < /2 con lo que zn= xn+iyn estará contenido en un cuadrado de centro c y lado . De modo que zn estará contenido en un círculo de radio  y centro c. y b+ b+/2 zn b c b-/2 b- x a- a a+ a-/2 a+/2

Diremos que una sucesión {zn} es convergente sii: lim zn = c. Una sucesión divergente significa que no converge. n  Ejemplos: La sucesión {in/n} = {i, -1/2, -i/3, 1/4,......} es convergente y límite es 0. (2) La sucesión {in} = {i, -1, -i, 1,....} es divergente. (3) La sucesión {zn} con zn= (1+i)n es divergente. {zn} = { 1+i, 2i, -2+2i, -4, -4-4i,....} (4) La sucesión {zn} con zn= 2-1/n + i(1+2/n) es convergente. {zn} = { 1+3i, 3/2+2i, 5/3+5i/3, 7/4+3i/2,....} El límite cuando n es c = 2+i (y |zn-c| = |-1/n+2i/n| = 5/n <  si n > 5/)

La sucesión converge a i. Observa que Re(i) = 0 y Im(i) = 1. Entonces:

Igual que hemos hecho mención a la parte real e imaginaria para la convergencia de la sucesión, podemos hablar del módulo y el argumento. Así: Sea ,donde Si ,entonces

Sea por ejemplo la sucesión de términos: El módulo converge a: Y el argumento a: Por tanto la sucesión converge a:

Series Dada una sucesión {zn}, una serie infinita o serie se puede formar a partir de una suma infinita: Los z1, z2, ..... son denominados términos de la serie. La sucesión de sumas: s1 = z1 s2 = z1 + z2 s3 = z1 + z2 + z3 ........ sn = z1 + z2 +....zn es la sucesión de sumas parciales de la serie infinita.

Series convergentes Una serie convergente es aquella tal que la sucesión de sumas parciales converge, i.e.: donde s es la suma o valor de la serie y se expresa: Una serie divergente es aquella que no converge. Llamaremos resto Rnde la serie a: Si la serie converge y suma s, entonces

Ejercicios: Demostrar que Una serie con zm= xm+iym converge con suma s = u+iv sii u = x1+x2+..... converge y v = y1+y2+..... converge. (2) Si una serie z1+ z2 +.... converge, entonces En caso contrario, la serie diverge. (3) Que {zm}  0 es condición necesaria para la convergencia, pero no suficiente. Recuerda que para la serie harmónica 1+ ½ +1/3 +... el término 1/n  0 cuando n tiende a infinito, pero la serie diverge.

Serie geométrica Para la serie geométrica: el término enésimo de la sucesión de sumas parciales es: Observa que zn  0 cuando n   para |z| < 1, en cuyo casi Sn converge a a/(1 – z). La serie diverge para |z|  1.

Ejemplo: es una serie geométrica con a = (1 + 2i)/5 y z = (1 + 2i)/5 Ejemplo: es una serie geométrica con a = (1 + 2i)/5 y z = (1 + 2i)/5. Puesto que |z| < 1, tenemos que:

Teorema de Cauchy para series. Una serie z1+ z2 +.... es convergente sii dado cualquier >0 podemos hallar un N tal que |zn+1+zn+2+...+zn+p| <  para todo n > N y p =1, 2... Convergencia absoluta. Una serie z1+ z2 +... es absolutamente convergente si la serie de los valores absolutos de sus términos   |zm| = |z1| + |z2| + ...... m=1 es convergente. Si z1+ z2 +... converge pero |z1|+ |z2| +.... diverge, la serie z1+z2.... es condicionalmente convergente. Si una serie es absolutamente convergente es convergente Ejemplo: La serie 1- 1/2+ 1/3- ¼ +... converge condicionalmente.

¿Es la serie convergente? Es absolutamente convergente, puesto que |ik/k2| = 1/k2 y la serie real es convergente. De modo que la serie original es convergente.

Comparación de series: Si dada una serie dada z1+ z2+ ... , podemos hallar una serie convergente b1+ b2+ ... con términos reales no negativos tal que |zn|  bn para todo n = 1, 2, ...entonces la serie dada converge, incluso absolutamente. (Ejercicio: demostrarlo) Criterio del cociente: Si una serie z1+ z2+ .... con zn0 (n = 1, 2, ...) cumple que |zn+1/zn|  q < 1 ( n > N, con un q dado para cualquier N) la serie converge absolutamente. En cambio si |zn+1/zn|  1 ( n > N) la serie diverge.

Si tenemos una serie z1+ z2 +.... con z n 0 (n = 1, 2, ..) tal que Entonces se cumple que: Si L < 1 la serie converge absolutamente. Si L > 1 diverge. Si L = 1 “no sabe, no contesta”. (Ejercicio: demostrarlo) Dado ¿Es S convergente o divergente? Converge.

Criterio de la raíz: Si una serie z1+ z2 + ... cumple que para todo n > N n|zn|  q < 1 (n < N) donde q<1 está fijado, la serie converge absolutamente. Si para infinitos n se cumple que: n|zn|  1 , la serie diverge. Entonces, si una serie z1+z2+... cumple que para todo n > N lim n|zn| = L n entonces: Si L < 1 la serie converge absolutamente Si L > 1 diverge Si L = 1 no podemos extraer conclusiones

Ejercicio: demostrar que Dado ¿Es S convergente? Como el límite es mayor que 1, la serie diverge. Ejercicio: demostrar que La serie geométrica converge con suma 1/(1-q) si |q| < 1 y diverge para otros valores.

Números primos (parte I)

¿Qué es un número primo? "primo" = "de base" Un entero mayor que uno se llama número primo si solo tiene como divisores a 1 y a él mismo. "primo" = "de base"

Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de las que espero convencerles tan fuertemente que queden permanentemente grabadas en sus corazones. La primera es que, a pesar de su sencilla definición y de su papel como ladrillos en la construcción de los números naturales, los números primos pertenecen a la clase más arbitraria y perversa de los objetos estudiados por los matemáticos: crecen como malas hierbas entre los números naturales, parecen no obedecer otra ley que las del azar, y nadie puede predecir donde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso más sorprendente, pues afirma justo lo contrario: que los números primos exhiben sorprendentes regularidades, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar. Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19

El teorema fundamental de la aritmética El teorema fundamental de la aritmética muestra que los primos son los ladrillos básicos con los que están construidos los enteros. Dice: Todo entero positivo mayor que uno puede ser escrito de forma única como el producto de primos, con los factores primos en el producto en orden de tamaño no decreciente. (Euclides, Elementos).

¿Cuántos primos existen? Euclides demostró que siempre existe al menos un primo entre n y (n! + 1) de la siguiente manera: (a) n! y (n! + 1) no tienen factores comunes. (b) O bien (n! + 1) es primo o bien es factorizable: (b.1) Si (n! + 1) es primo queda demostrada la afirmación. (b.2) Si (n! + 1) puede descomponerse en factores, por (a) ninguno de ellos puede dividir a n! De modo que cualquier factor de (n! + 1) estará entre n y (n! + 1). (b.2.1) Si el factor es primo queda demostrada la afirmación. (b.2.2) Si el factor no es primo, entonces por el mismo argumento (b.2), será mayor que n y podemos volver a descomponerlo hasta encontrar finalmente un primo mayor que n.

Ausencia aparente de un patrón regular en la secuencia de números primos Por ejemplo, hay nueve primos entre 9.999.900 y 10.000.000: 9.999.901 9.999.907 9.999.929 9.999.931 9.999.937 9.999.943 9.999.971 9.999.973 9.999.991. Pero entre los cien enteros siguientes, desde 10.000.000 a 10.000.100, hay solo dos: 10.000.019 y 10.000.079.

Los matemáticos griegos probaron, alrededor del 300 antes de nuestra era, que existen infinitos primos y que están espaciados de manera irregular, es decir que la distancia entre dos primos consecutivos puede ser arbitrariamente larga.

The Counting Prime Function "¿Cuántos primos menores que un número x hay?" Así los primos menores o iguales a 25 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 de modo que (25) = 9.

La distribución de números primos parece ser aleatoria La distribución de números primos parece ser aleatoria. Por ejemplo, hay probablemente infinitos primos gemelos y existen gaps arbitrariamente largos entre primos.

"It is evident that the primes are randomly distributed but, unfortunately we don't know what 'random' means". R.C. Vaughan

Sin embargo, la función π(x) exhibe un sorprendente "buen comportamiento". "Here is order extracted from confusion, providing a moral lesson on how individual eccentricities can exist side by side with law and order". The Mathematical Experience by Philip J Davis & Reuben Hersh

"For me, the smoothness with which this curve climbs is one of the most astonishing facts in mathematics." Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19

n p(n) n/p(n) 10 4 2.5 100 25 4.0 1000 168 6.0 10,000 1,229 8.1 100,000 9,592 10.4 1,000,000 78,498 12.7 10,000,000 664,579 15.0 100,000,000 5,761,455 17.4 1,000,000,000 50,847,534 19.7 10,000,000,000 455,052,512 22.0 22.0 - 19.7 = 2.3 Observemos que cuando pasamos de un orden de magnitud al siguiente el cociente n/p(n) se incrementa aproximadamente 2.3. Sabiendo que Ln 10 = 2.30258... Gauss formuló la conjetura de que p(n) es aproximadamente igual a n/Ln n.

Legendre En 1798 Legendre publica la primera conjetura significativa sobre la forma funcional de (x), cuando en su libro Essai sur la Théorie des Nombres escribe que:

http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html

The logarithmic integral function Li(x) Zagier en su artículo dice al respecto: "within the accuracy of our picture, the two coincide exactly."

Se sabe que Li(x) no es siempre mayor que (x), pero eso ocurre por primera vez ¡alrededor de 10320!

Antes de la existencia de los ordenadores. Tablas de D. N Antes de la existencia de los ordenadores...Tablas de D. N. Lehmer: primos hasta 10.006.721

Prime Counting Function -- from Wolfram MathWorld.htm reference 1 4 antiquity 2 25 L. Pisano (1202; Beiler) 3 168 F. van Schooten (1657; Beiler) 1229 5 9592 T. Brancker (1668; Beiler) 6 78498 A. Felkel (1785; Beiler) 7 664579 J. P. Kulik (1867; Beiler) 8 5761455 Meissel (1871; corrected) 9 50847534 Meissel (1886; corrected) 10 455052511 Lehmer (1959; corrected) 11 4118054813 Bohmann (1972; corrected) 12 37607912018   13 346065536839 14 3204941750802 Lagarias et al. (1985) 15 29844570422669 16 279238341033925 17 2623557157654233 M. Deleglise and J. Rivat (1994) 18 24739954287740860 M. Deleglise (June 19, 1996) 19 234057667276344607 20 2220819602560918840 21 21127269486018731928         project (Dec. 2000) 22 201467286689315906290 P. Demichel and X. Gourdon (Feb. 2001) 23 Prime Counting Function -- from Wolfram MathWorld.htm

El teorema de los números primos: En 1896, de la Valee Poussin y Hadamard probaron simultáneamente lo que se había sospechado durante mucho tiempo, el teorema de los números primos: El número de primos que no excede a x es asintótico a x/log x. En otras palabras, la probabilidad de que "un número x escogido al azar sea primo es 1/log x".

El teorema nos dice que x/log x es, hasta cierto punto, una buena aproximación a π(x) . Al decir que "a(x) es asintótico a b(x)" o "a(x) ~ b(x)" decimos que el límite de a(x)/b(x) es 1 cuando x tiende a infinito. Pero, observemos que a(x) ~ b(x) no significa que a(x) - b(x) sea pequeño.

x (x) x/log x x/(log x -1) 1000 168 145 169 10000 1229 1086 1218 El teorema de los números primos implica que podemos usar x/(log x - a) (con cualquier constante a) para aproximar (x).  Chebychev demostró que la mejor elección era a = 1. x (x) x/log x x/(log x -1) 1000 168 145 169 10000 1229 1086 1218 100000 9592 8686 9512 1000000 78498 72382 78030 10000000 664579 620420 661459 100000000 5761455 5428681 5740304

Que Li(x) sea asintótica con (x) es impresionante, pero lo que nos gustaría es estimar (x) lo mejor posible. Es decir, si nos gustaría conocer este error E(x) lo más exactamente posible. Y eso nos lleva al problema más famoso de la matemática...

La función zeta ζ(s) Euler la llamó función zeta en 1737. Consideró que s era un real mayor que 1.

Repitamos la operación para el siguiente primo: 3.

Producto de Euler para la función zeta. Euler utilizó esta identidad para demostrar que Producto de Euler para la función zeta. i.e., existen infinitos primos.

Retomemos nuestro hilo... Series de Taylor en variable real: Es fácil ver por qué el radio de convergencia es |x|<1. Pero, en este caso: ¿cuál es el motivo?

¿Podemos expandir cualquier función compleja en series? Podemos expandir funciones analíticas en unas series especiales llamadas “series de potencias” ¿Cómo hallar esas series ? (1) Usando el Teorema de Taylor (2) Usando otras series conocidas (y algunos trucos)

Serie de potencias Una serie de potencias en es: P.ej. coeficientes complejos centro de desarrollo P.ej.

Convergencia de series de potencias Las series de potencias en general convergen para algunos valores de z, y para otros. Por ejemplo la serie (Serie geométrica) converge para |z |<1, pero diverge para |z |≥1. Fuera del círculo de convergencia la serie de potencias diverge. Radio de convergencia R =1 Círculo de convergencia: mayor círculo centrado en z0 en el que la serie de potencias converge.

Radio de convergencia cero; Ejemplos: Radio de convergencia infinito; R =  La serie converge para todo z Radio de convergencia cero; R = 0 La serie diverge para todo z (excepto z = 0)

La serie de potencias siempre converge para z = zo (2) Hay un radio de convergencia R para el cual: : diverge : converge Los valores z tq. pueden converger o no

En resumen: El radio de convergencia R puede ser: (i) cero (converge solo en z = z0). (ii) un número finito R (converge en todos los puntos del círculo |z − z0| < R). (iii)  (converge para todo z). La serie de potencias puede converger en algunos, todos o ninguno de los puntos de la circunferencia de convergencia. Hay que determinarlo por separado.

(i) R = 1/L. (ii) R es . (iii) R = 0. ¿Hay una forma rápida para hallar el radio de convergencia? La fórmula de Cauchy-Hadamard : (i) R = 1/L. (ii) R es . (iii) R = 0.

Ejemplo:

: converge : diverge

Ejemplo: : diverge : converge

Ejemplo: : diverge : converge

Otro ejemplo: El radio de convergencia es .

Recuerda además que todo lo dicho para series, evidentemente funciona para series de potencias. Por ejemplo: (1) Si la serie diverge. (2) Si la serie diverge. (3) Comparar: (4) Si la serie diverge.

El test de la raíz nos muestra que R = 1/3 El test de la raíz nos muestra que R = 1/3. El círculo de convergencia es |z – 2i| = 1/3. La serie converge absolutamente para: |z – 2i| < 1/3.

Resumen y varios comentarios interesantes: (Observa que para nosotros era: En el punto iv se resuelve el enigma)

Series de Taylor

Radio de convergencia R = 1 Series de potencias y funciones analíticas Cualquier función analítica f (z) puede ser representada por una serie de potencias con radio de convergencia R  0. La función representada por la serie es analítica en todo punto dentro del radio de convergencia. Ejemplo: la serie converge para |z|≤1 Radio de convergencia R = 1

¿Cómo encontrar la serie de potencias de una función analítica determinada? A las series de potencias que representan funciones analíticas f (z) se les llama series de Taylor. Vienen dadas por la fórmula: (Cauchy, 1831)

Desarrollar f(z)=sin z alrededor de z0=0 (serie de Mclaurin):

Demostración del teorema de Taylor: y x y Por la fórmula integral de Cauchy: Vamos a desarrollar el integrando:

Utilizando la fórmula generalizada de Cauchy:

Donde hemos definido el residuo Rn: Observemos que: Si M es el valor máximo que puede alcanzar sobre C1: Y puesto que r/r1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C0, la serie de Taylor converge a f(z).

descubrió las “series de Taylor” 40 años antes que Taylor ... Brook Taylor (1685-1731) En 1715 agregaba a las matemáticas una nueva rama llamada ahora “El cálculo de las diferencias finitas ”, e inventó la integración por partes . Descubrió la célebre fórmula conocida como la serie de Taylor. Taylor también desarrolló los principios fundamentales de la perspectiva (1715). James Gregory (1638 – 1675) descubrió las “series de Taylor” 40 años antes que Taylor ...

Ejemplo: punto singular centro (1) Tomemos centro z = 0 : Encontrar la serie de Taylor para (1) Tomemos centro z = 0 : punto singular centro

(2) Tomemos centro z =1/2 : punto singular centro

(aunque hay únicamente una serie para cada centro). Una función analítica f (z) puede ser representada mediante series de potencias con distintos centros zo (aunque hay únicamente una serie para cada centro). Hay por lo menos un punto singular en la circunferencia de convergencia

Ejemplo: con centro z = 0 centro ¡no hay puntos singulares!

Unicidad del desarrollo de Taylor Supongamos que f(z) es analítica y desarrollable alrededor de z0 , tq: ¿Existirá otra serie de potencias: Tomando z = z0 en las expresiones anteriores: Son los mismos coeficientes del desarrollo de Taylor

Derivar la serie de Taylor directamente a partir de la fórmula puede ser complicado. Normalmente se usan otros métodos: (1) La serie geométrica (2) La serie binomial (3) Otras series conocidas como la exponencial, el coseno, etc.

Ejemplo: Expandir para z = 0 (usar la serie geométrica) Primero dibujamos el centro y los puntos singulares de f(z) para hacernos una idea: puntos singulares: centro Parece que el radio de convergencia es R=1.

Sabemos que Por tanto La serie geométrica converge para |z|<1 por tanto nuestra serie converge para |z|2 <1 O lo que es lo mismo: para |z|<1. Y efectivamente el radio de convergencia es R = 1 como habíamos predicho.

Ejemplo: Expandir para z = 1 (usar la serie geométrica) De nuevo dibujamos el centro y los puntos singulares de f(z): centro z = 1 puntos singulares: Parece que el radio de convergencia es R = 1/2

Sabemos que por tanto La serie geométrica converge para |z |<1, por tanto nuestra serie converge para |2(z-1)|<1 es decir, para |z -1| < 1/2.

Encuentra la serie de Maclaurin de la función:

para z = 0 Ejemplo: Expandir (Usar la serie binomial) Centro y puntos singulares  R = 1: Punto singular: Centro z = 0

La serie binomial converge para |z |< 1 La serie binomial es: Por tanto: es singular en z = -1 La serie binomial converge para |z |< 1 Por tanto nuestra serie converge para |-z |<1 Es decir |z |< 1.

Ejemplo: Expandir en z = 0 Puntos singulares: Centro z = 0 … el radio de convergencia debería ser R = 2.

Usaremos fracciones parciales: Ahora converge para

y converge para Así que converge para

Converge para |z|<4. Para: Converge para |z|<2 hay convergencia en el área común

Otras series útiles (Ejercicio: demostrar por la fórmula de Taylor)

Ejemplo: Expandir en z = 0 (de uso de series conocidas) no hay puntos singulares…el radio de convergencia debería ser R = . Usando la serie

Ejemplo:

De otra manera:

En algunos casos excepcionales, un punto singular puede incluso aparecer dentro del círculo de convergencia. Centro 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s y a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus Recordemos que el Ln z es singular (no analítico) sobre el eje negativo.

Una serie de potencias puede diferenciarse término a término en cu círculo de convergencia

Ejercicio: Obtener el desarrollo de Taylor de la función f(z) = 1/z alrededor de z0 = 1. Respuesta: Ejercicio: Diferenciando la serie anterior obtener el desarrollo de Taylor de la función g(z) = 1/z2 alrededor de z0 = 1.

Ejercicio: Obtener la serie de Maclaurin de la función “seno integral” (se trata de una función que aparece con frecuencia en problemas de radiación electromagnética y que no es posible evaluar en términos de funciones elementales): Observa que la serie de Taylor converge también para 0.

Integrando la serie término a término:

Multiplicación de series Podemos multiplicar dos series de potencias término a término, y “recolectar” los términos con igual potencia para determinar una nueva serie de potencias, el producto de Cauchy de las dos series:

Ejemplo: Obtener mediante el producto de series, el desarrollo de Maclaurin de f(z) = ez /(1-z). Para |z| < 1, la condición “más fuerte” de las dos.

De hecho, podemos definir las funciones elementales a partir de series de potencias. Por ejemplo:

Como hemos visto podemos expandir una función analítica en serie de Taylor alrededor de un centro. Por ejemplo, Podemos expandir la misma función respecto a distintos centros. Por ejemplo: Notemos que (a) siempre tenemos potencias positivas de (z-z0). (b) la serie converge dentro de un disco.

Pero hay otro tipo de series que: (a) incluyen potencias negativas de (z-z0) (b) convergen dentro de un anillo Tales series se llaman series de Laurent. Ejemplo Converge para 1<|z|<2 Centro Puntos singulares en z = 1, 2

Recordatorio: Singularidades aisladas Supongamos que z = z0 es una singularidad de una función compleja f. El punto z0 se llama singularidad aislada si existe un disco puntuado abierto 0 < |z – z0| < R en el que la función es analítica.

La serie de Laurent siempre converge dentro de un anillo. Si tomamos una función y dibujamos sus puntos singulares, podremos separar el plano complejo en distintas regiones de convergencia. Ejemplo centro centro Dentro del disco |z|<1 tenemos la serie de Taylor: En el anillo 1< |z| <  tenemos la serie de Laurent:

Por supuesto, podemos tener distintos centros ... Dentro de un disco |z+1| < 2 tenemos la serie de Taylor. En el anillo 2< |z+1|<  tenemos la serie de Laurent.

En este caso, la serie está formada por un único término El centro podría ser, incluso, el punto singular ... En este caso, la serie es válida para 0< |z-1|<  , un disco con el punto singular z0=1 situado en el centro. centro z0=1 En este caso, la serie está formada por un único término

La función f(z) = (sin z)/z3 es no analítica en z = 0 y no podemos expandirla como serie de Maclaurin. Sabemos que: converge para todo z. Así que: convergerá para todo z excepto z = 0, 0 < |z|.

El anillo siempre está entre los puntos singulares. Ejemplo ¿Cuántas series con centro z0 = 1/4 puede tener la función ? La función presenta dos singularidades (polos simples), en z = -1, 2. 7/4 < | z-1/4 | <  | z-1/4 | < 5/4 5/4 < | z-1/4 | < 7/4 El anillo siempre está entre los puntos singulares.

¿Cuántas series con centro z0 = 0 tiene la función ? Ejemplo ¿Cuántas series con centro z0 = 0 tiene la función ? La función presenta una singularidad (polo de segundo orden) en z = 2. |z| < 2 2 < |z| < 

Ejemplo Centro z = 2 para: Tres singularidades (polos simples): z = -i, 1, 4. | z-2 | <1 1< | z-2 | <2

¿Cómo hallar la serie de Laurent? Teorema de Laurent: Supongamos que la función f(z) es analítica en un anillo de centro z0, r0< |z - z0| < r1. Entonces f(z) admite representación en serie de Laurent: donde r0 C r1 ¿Cuánto valen los bn’s cuando f(z) es analítica en |z-z0| < r1? Pierre Alphonse Laurent (1843)

y Demostración del teorema de Laurent: x Por la fórmula integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo: x

Observemos que: Si M es el valor máximo que puede alcanzar sobre C1: Y puesto que r/r1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C0, la serie de Taylor converge a f(z).

Hallando la serie de Laurent Igual que para el caso de la serie de Taylor, hay distintas formas de hallar la serie de Laurent de una función. En la práctica, no usaremos la fórmula anterior. Un método más simple consiste en usar la serie geométrica, tal como hicimos con la serie de Taylor. Ejemplo (1) Expandir la función 1/(1-z) en potencias negativas de z Dado que converge para |z |<1, la serie converge para |1/z| < 1, o |z|>1

Ejemplo Expandir la función 1/(i-z) en potencias de z-2 (Serie de Taylor) Dado que converge para |z|<1, la serie converge para

Otra posibilidad consiste en expandir la función 1/(i-z) en potencias negativas de z-2 (serie de Laurent): Dado que converge para |z|<1, la serie converge para

¡El centro es el punto singular ! Ejemplo (3) Expandir la función con centro z = 1 converge para 0 < |z -1|< ¡El centro es el punto singular !

Cada serie de Laurent tiene dos partes: Potencias positivas (serie de Taylor) DENTRO Potencias negativas (Parte Principal) FUERA

Ejemplo Expandir la función con centro z = 0 ¿De cuántas formas podemos hacerlo? centro (a) |z| < 1 (b) 1 < |z| < 3 (c) 3 < |z| < 

(a) |z| < 1 Dentro del disco, términos positivos: serie de Taylor.

(b) 1 < |z| < 3 potencias negativas potencias positivas Serie de Laurent

El anillo final resulta de En la página anterior, ¿cómo sabíamos qué término expandir en potencias negativas y cuál, si lo había, expandir en potencias positivas? El término está “fuera” - términos negativos El término está “dentro” - términos positivos El anillo final resulta de la superposición

(c) 3 < |z| <  potencias negativas 3 < |z| <  potencias positivas |z |< 

(a) 0 < |z – 1| < 2

(b) 0 < |z – 3| < 2. (binomial válida para |(z – 3)/2| < 1 o |z – 3| < 2)

0 < |z| < 1.

1 < |z – 2| < 2. En el centro z = 2 f es analítica. Queremos encontrar dos series de potencias enteras de z – 2; una convergiendo para 1 < |z – 2| y la otra para |z – 2| < 2. |(z – 2)/2| < 1 o |z – 2| < 2.

|1/(z – 2)| < 1 o 1 < |z – 2|.

f(z) = e3/z , 0 < |z|.

(a) 0 < |z| < 1, (b) 1 < |z|, (c) 0 < |z – 1| < 1 (d) 1 < |z – 1|.

Dada la función f(z), obtener la serie de Laurent en torno a cada uno de sus puntos singulares. A la vista del desarrollo, clasificar las singularidades. Puntos singulares z0 = 0 z0 = 3 Examen JUNIO 04/05: P-1

Polo doble 3 z0 = 0 z0 = 3 3 Polo simple

P1. Junio 2006 Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función f(z) válido en el entorno de cada uno de sus puntos singulares. Respuesta. Puntos singulares, z = 0, z = 2.

Entorno de z = 0; 0 < |z| < 2 4

es analítica en |z – 2| < 2 => Admite desarrollo de Taylor:

Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función válido en el disco |z| < a. Especificar el máximo valor de a donde el desarrollo es convergente. Respuesta. Ptos. singulares z = ±1. (z = 0 es una singularidad evitable: lim (z→0) f(z) = 1) amáx = |z – 0| = 1. Recordemos que:

P1. Septiembre 2007 Sea la función donde se considera la determinación del argumento (0,2π). Se pide: Calcular razonadamente el dominio de analiticidad, y clasificar las singularidades, especificando el tipo. Indicar las coronas en torno a z0 = 0 donde se puede hallar el desarrollo de Laurent. Calcular el desarrollo de Laurent en torno a z0 = 0 en la corona |z| > 4.

Respuesta. a) La función f es el producto de dos funciones, luego no es analítica en aquellos puntos en los que: - El cociente no es analítico, es decir, el punto z = 0. - La función no es analítica. Para analizar el dominio de holomorfía de esta función se debe considerar: * Por un lado, los puntos singulares de , en este caso, z = 1. * Por otro lado, los puntos singulares de log w con la determinación (0,2π). Esta determinación no es analítica en w = 0 y en los puntos que cumplen Im(w) = 0 y Re(w)>0. Introduciendo la variable z = x + iy

con lo que Así, no es analítica en todo el segmento real

Con todo, la función f es analítica en todo el plano complejo menos en z = 0 y en el segmento Re (z)‏ Im (z)‏ - Los puntos no son aislados, luego la función no admite desarrollo en serie en torno a ellos. El punto z = 0 es una singularidad aislada. Para analizar de qué tipo observamos que f se puede expresar de la forma con analítica en z = 0 y g(0) = log(-4) = Ln(4) + iπ ≠ 0. Luego z = 0 es un polo doble.

b) El único punto singular aislado es z0 = 0, por lo que se puede obtener tanto la serie de Laurent de la función en torno a z0 = 0 válida en la corona 0 < |z| < d(0,1) = 1, como la serie convergente en el dominio |z| > 4. Para calcular el desarrollo en serie de la corona |z| > 4, derivamos respecto de z la función , de modo que y buscamos los desarrollos de cada fracción convergente en el dominio |z| > 4 o, expresado de modo más conveniente,

(... continuar el problema ...)

Obtener todos los posibles desarrollos en serie de potencias (Taylor y Laurent) de las funciones complejas: alrededor de z = 1. Indicar el radio de convergencia de cada una de las series obtenidas. Respuesta. a) Desarrollaremos primero en serie de Taylor alrededor de z = 1. Observemos que f(z) tiene un punto singular en z = -1, de modo que el desarrollo será válido para |z – 1| < 2, es decir, |(z – 1)/2| < 1.

Entonces: Ahora desarrollaremos fuera del círculo anterior, es decir, para |z – 1| < 2 ó |(z – 1)/2| < 1, en serie de Laurent. Observemos que |(z – 1)/2| < 1 y entonces:

b) Observemos que ; entonces derivando las series anteriores obtenemos:

y

Obtener la serie de Laurent válida en el dominio 1 < |z| < 2 de la función compleja: Respuesta.

Gracias al desarrollo de Laurent podemos encontrar el valor de algunas integrales. Por ejemplo, calculemos: Encontremos las serie de Laurent de e1/z: Recordemos:

Otro ejemplo: Desarrollemos f(z) = 1/(z-i)2 en serie de Laurent alrededor de z0 = i. ¡Ya está desarrollado! Todos los coeficientes an y bn son cero a excepción de b2 = 1. Entonces, como: ¡Hemos resuelto infinitas integrales de una tacada!

Acabemos con la pregunta de la transparencia sobre series de Taylor en variable real: Es fácil ver por qué el radio de convergencia es |x|<1. Pero, en este caso: ¿cuál es el motivo?