Fundamentos de Lógica Difusa (Fuzzy) José Edinson Aedo Cobo, Msc. Phd. Departamento de Ing. Electrónica Universidad de Antioquia

Lógica clásica ( una revisión rápida) En lógica clásica una proposición “p” puede tener dos valores: ser verdadera (v) ser Falsa (f) También se definen varios conectivos tales como: Y o entonces si solo si negación p q pq pq p  q p  q ~ p T T T T T T F T F F T F F F F T F T T F T F F F F T T T

Para el estudio de la lógica utilizaremos el siguiente principio: “Entre la lógica proposional y la teoría de conjuntos existe un isomorfismo considerando una apropiada correspondencia entre los componentes de esos dos sistemas matemáticos”. Un ejemplo de operaciones: teoría de conjuntos lógica lógica boleana   . Un ejemplo de este principio: Haciendo que A corresponda p y B corresponda q. teoría de conjuntos lógica lógica boleana A  B = B  A p  q  q  p x . y = y . x

donde p y q son conjuntos y r es el conjunto resultante: Debido a la existencia del isomorfismo entre la lógica, la teoría de conjuntos y la lógica booleana, algunas equivalencias matemáticas simples serían: teoría de conjuntos lógica lógica boleana   x   + ( ) ~ ´ Usando estas equivalencias: lógica teoría de conjuntos ~ [p  (~ q)] p  q = r donde p y q son conjuntos y r es el conjunto resultante: o sea: μr(x,y)= 1 - min(μp(x), 1- μq(y))

La función de pertenencia del conjunto resultante Usando estas equivalencias: lógica teoría de conjuntos (p  q )  ~ [p  (~ q)] μp  q (x, y) =1 – μp  q (x,y) =1 - min(μp(x), 1- μq(y)) La función de pertenencia del conjunto resultante

Otras equivalencias son: μp  q (x, y) = 1- μp(x)(1- μq(y)) Usando estas equivalencias: lógica teoría de conjuntos (p  q )  (~p)  q μp  q (x, y) = μ pq (x,y) = max(1 - μp(x), μq(y)) Otras equivalencias son: μp  q (x, y) = 1- μp(x)(1- μq(y)) μp  q (x, y) = min[1, (1 - μp(x)) + μq(y)], se utiliza el operador S(a,b) = 1  (a + b) ( S(a,b)= min(1, a+b), suma limitada)

Tautología: Es una proposición formada por la combinación de de otras proposiciones (p, q, r, ...) que siempre es verdadera independiente de la verdad o falsedad de la proposiciones que la componen p, q, r, ... Ejemplo: (p  q )  ~ [p  (~ q)] (realizar la tabla de verdad para verificar esta tautología) También: (p  q )  (~p)  q Ejercicio: muestre que las equivalencias anteriores son tautologías.

premisa 1: “ x es A” (verdadera) En la lógica clásica hay 2 reglas importantes para la inferencia: Modus Ponens: premisa 1: “ x es A” (verdadera) premisa 2: “Si x es A entonces y es B” (verda.) consecuencia: “y es B” En términos lógicos se expresa: (p  (p  q ))  q (la cual es una tautología)

Modus Tollens: premisa 1: “ y es no B” (verdadera) premisa 2: “Si x es A entonces y es B” (verda.) Consecuencia: “x es no A” En términos lógicos se expresa: (~ q  (p  q ))  ~ p

μp  q (x, y) = μp  q (x,y) = max(1 - μp(x), μq(y)) Nos interesa sobre todo el concepto de inferencia, para aplicarlo a proceso de evaluación de un conjunto de reglas. Como se podría interpretar p -> q ?. Un método sería utilizar las propiedades de la lógica clásica: Por ejemplo: μp  q (x, y) = μp  q (x,y) = max(1 - μp(x), μq(y))

Ejemplo: “Si la corriente es alta entonces la fuga es alta” Como se interpreta una regla difusa: Regla “ Si ...entonces”: Es una proposición que tiene la forma: Variables lingüísticas “Si x es A entonces y es B” Son términos lingüísticos asociados con las variables x e y (definidos dentro de los conjuntos universo X e Y respectivamente) Ejemplo: “Si la corriente es alta entonces la fuga es alta” Notación: Regla: A  B (donde A y B son los terminos lingüísticos) Una regla “Si.. entonces”, establece una relación definida en XxY.

El principal componente de los sistemas basados en lógica difusa son las reglas difusas: “Si x es A entonces y e B” donde x  X e y  Y son variables lingüísticas. Interpretación de un regla difusa: Una regla difusa como la anterior establece una relación definida en XxY. O sea debe existir μA->B(x,y) (que es la función de pertenencia de la relación) donde x  X e y  Y

Razonamiento difuso Modus Ponens Generalizado (MPG): Premisa 1(V): x es A*, Premisa 2(V): Si x es A entonces y es B, Consecuencia: y es B* Donde A* es próximo o similar a A y B* es próximo o similar a B. Donde A*, A , B* y B son términos definidos por conjuntos difusos en universos apropiados. El uso del MPG da origen al “razonamiento difuso”

Ejemplos del Razonamiento difuso Premisa 1(V): La manzana está un poco roja, Premisa 2(V): Si manzana esta roja entonces está madura, Consecuencia: ? Ejemplo 2 Premisa 1(V): El color es medio café Premisa 2(V): Si el color es café entonces la resistencia es alta,

μB* (y) = SUPxA* [μA*(x) * μA  B (x, y)] y es B* x es A* Si x es A Entonces y es B μA* (x) μB* (y) μA  B (x, y) Matemáticamente se interpreta como un proceso de composición: μB* (y) = SUPxA* [μA*(x) * μA  B (x, y)]

Relación establecida por la Regla “ Si ...entonces”: Podría ser obtenida a través de entidades derivadas de teoría clásica, por ejemplo: A  B  A  B La función de pertenencia asociada sería: μAB(u,w) = μAB (u,w) Luego: μAB(u,w) = max(1- μA (u), μB (w)) Pero este tipo de operadores no funciona en ingeniería.

Relaciones establecidas por reglas “Si., entonces”: Una regla “si...entonces”, establece una relación cuya función de pertenencia es definida por: μAB(u,w) = μA (u) * μB(w) Donde “*” puede ser el operador min o producto. Cada operador da origen a una función de pertenencia asociada con la relación que establece la regla, o sea: μAB(u,w) = min(μA (u) , μB (w)) μAB(u,w) = μA (u) . μB (w)

Regla composicional de inferencia: Dada una relación R definida en UxW y un conjunto difuso A definido en U, entonces es posible obtener un conjunto B en W, relacionado con A, mediente la operación de composición: B = A  R Esto permite evaluar las reglas “si ... Entonces”: Sean A y A* dos conjuntos difusos definidos U y B un conjunto difuso definido en W . Si A  B es una regla definida como una relación difusa en UxW. Entonces el conjunto difuso B* inferido de: “u es A*” y “si u es A entonces w es B” es determinado por: B* = A*  (A  B ) = A*  R

composición El conjunto de salida es: B* = A*  (A  B )= A*  R La función de pertenencia es: μB*(w) = μA*(u)  μAB(u,w) = μA*(u)  μR(u,w) Aplicando la definición de composición: μB*(w) = Sup u A*( {μA*(u)  μAB(u,w) } Donde Sup es el operador Max y el operador “ “ es el operador Min o producto.

Ejemplo : Sea A* un “singleton” (un conjunto difuso definido en un solo punto), o sea: μA*(x) 1 para x = x´ μA*(x) = 0 para x  x´ Usando el “min” o el “producto” para la inferencia: μAB(x,y)= min(μA(x) , μB(y)) o μAB(x,y)= μA(x) x μB(y) Calcular B*, si las siguientes afirmaciones son verdaderas: Premisa 1(V): x es A*, Premisa 2(V): Si x es A entonces y es B, Consecuencia: y es B* 1 x´ x

Ejemplo (continuación): Vamos a asumir que A y B son términos lingüísticos los cuales se tienen asociados los siguientes conjuntos difusos: La pertenencia del conjunto de salida sería: μB*(y) = Sup x  A* {μ A* (x)  μAB(x,y) } = MAX x  A* {min(μ A* (x), μAB(x,y)) } = min(μA*(x´) , μAB(x´,y)) = min(1, μAB(x´,y)) = μAB(x´,y) = min(μA(x´), μB(y)) = min(w1, μB(y)) μA*(x) 1 1 μA(x) μB(y) w1 x´ x y

Ejemplo (continuación): gráficamente Si x es A entonces y es B A μA(x´) B w1 Operador: min producto Y  como producto X como min 1 w1 Y x=x´ Y X B* (conjunto de salida)

Ejercicio: Sean los términos A* = “un poco alta” , A = “alta” , definidos para la variable lingüística temperatura(t), y el término lingüístico B = “baja” , definido para la variable lingüística presión (p), con la interpretación mostrada en la figura siguiente μA*(x) 1 μA(x) 1 μB(x) w1 x 60 68 70 90 y 10 13 15 Calcular el resultado de las afirmaciones: Premisa 1(V): La temperatura es un poco alta, Premisa 2(V): Si t es alta entonces la presión es baja,

La regla composicional de inferencia (notación): Si x es A* y Si x es A entonces y es B Lo podriamos escribir el resultado: B* = A* © (A =>B) = A* © R Matemáticamente: µB*(y) = maxx min[µA* (x) , µ A B (x,y) ] µB*(y) = x[µA* (x)  µ A B (x,y) ] Operador de la unión (max) Operador de la intersección (min)

Si x es A* y Si x es A entonces y es B Matemáticamente (en la notación introducida): El resultado sería: µB*(y) = x[µA* (y)  µ A B (x,y) ] Usando como operador de inferencia  (el “min” o producto): µ A B (x,y) =µA(x)  µB(y) µB*(y) =  x [µA* (x)  (µA(x)  µB(y)) ] =  x [(µA* (x)  µA(x))  µB(y)] =  x [(µA* (x)  µA(x))]  µB(y) = w  µB(y) ( w es el grado de activación de la regla) w=  x [(µA* (x)  µA(x))]

Continuación: µB*(y) = w  µB(y) ( w es el grado de activación de la regla) siendo w =  x [(µA* (x)  µA(x))] Asumiendo:  como “max”  como “min” µB*(y) =min ([maxx min(µA* (x), µA(x))], µB(y)) Como interpretamos: maxx min(µA* (x), µA(x)) ?

Continuación (asumiendo que A y A* tienen asociados los siguientes conjuntos difusos): µA*(x) µA(x) 1 Se debe calcular para todo x, el min(µA* (x), µA(x)) y luego se calcula el máximo X Valor máximo 1 min(µA* (x), µA(x)) X

Si tenemos reglas con múltiples entradas así: Premisa 1: x1 es I1´ y x2 es I2´ premisa 2: “si x1 es I1 y x2 es I2 entonces w es B” Consecuecia: w es B* Donde x1  X1 y x2  X2 (conjuntos universales) La función de pertenencia de B* sería: μB*(w) = Sup x1,x2 {[μ I1´ (x1)  μ I2´ (x2)]  μ I1xI2B(x1,x2,w)} = Sup x1,x2 {[μ I1´ (x1)  μ I2´ (x2)](μ I1 (x1) μ I2 (x2) μ B (w)) }

(Continuación) μB*(w) = Supx1 {μ I1´ (x1)  μ I1 (x1)}  Supx2{ μ I2´ (x2) μ I2 (x2)} μ B (w) usando “max” para Sup y “min” para , se tiene: μB*(w) = min { maxx1 [min(μ I1´(x1),μ I1 (x1))] , maxx2 [min(μ I2´(x2), μ I2 (x2)] , μ B (w) } μB*(w) = min {w1, w2, μ B (w)} w1 w2

Si x1 es I1 y x2 es I2 entonces w es B Gráficamente x1 es I1´ y x2 es I2´ Si x1 es I1 y x2 es I2 entonces w es B μI1(x1) μI1´(x1) μI2(x2) μI2´(x2) B w1 B* w2 X2 X1 W μI2´(x2) μI1´(x1) min(w1,w2) 1 Valor de activación ´ ´ X1 X2

Nota: El caso anterior se puede extender fácilmente para reglas con más de dos entradas. Caso especial Si los conjuntos I1´ y I2´ son “singletons” tal que: 1 en x2= b 1 en x1= a μ I2´(x2) = μ I1´(x1)= 0 para x2  b 0 para x1  a Entonces: w1 = maxx1 [min(μ I1´(x1),μ I1 (x1))] = μ I1 (a) w2 = maxx2 [min(μ I2´(x2), μ I2 (x2)] = μ I2 (b)

Otro método de cálculo: Teorema: Método de descomposción para calcular B* B* = (I1´ x I2´) © (I1 x I2  B ) = [I1´ © (I1  B)]  [I2´ © (I2  B )] Ejercicio: demostrar el teorema

Si tenemos varias reglas simultáneas: P1: x1 es I1´ y x2 es I2´ P2: “si x1 es I11 y x2 es I12 entonces w es B1” P3: “si x1 es I21 y x2 es I22 entonces w es B2” C: w es B* Múltiples reglas se evalúan realizando la agregación de las relaciones asociadas a cada regla: (regla 1) (regla 2)

(Continuación) P1: x1 es I1´ y x2 es I2´ P2: “si x1 es I11 y x2 es I12 entonces w es B1” P3: “si x1 es I21 y x2 es I22 entonces w es B2” C: w es B* En términos de las funciones de pertenencia: (regla 1) (regla 2)

(Continuación) Para la primera regla: Usando Max para Sup, y min para *

(Continuación) Para la segunda regla: Usando Max para Sup, y min para *

(continuación) Agregando las dos reglas (usando el max para la agregación): Regla 1 Regla 2 Este resultado se puede extender a un número arbitrario de reglas

Resumen: En el caso de tener múltiples reglas:. P1: x1 es I1´ y x2 es I2´ P2: “si x1 es y x2 es entonces w es B1” (regla 1) P3: “si x1 es y x2 es entonces w es B2” (regla 2) C: w es B* Múltiples reglas se evalúan realizando la unión de las relaciones asociadas a cada regla:

Caso especial Si los conjuntos I1´ y I2´ son “singletons” tal que: 1 en x1= a 1 en x2= b μ I1´(x1) = μ I2´(x2)= 0 para x1  a 0 para x2  b Entonces: Para la primera regla:

Continuación del Caso especial Si los conjuntos I1´ y I2´ son “singletons” tal que: 1 en x1 = a 1 en x2= b μ I1´(x1) = μ I2´(x2)= 0 para x1  a 0 para x2  b Entonces: Para la segunda regla:

Agregación de las reglas (continuación) La evaluación de las reglas: Regla 1 Regla 2 Agregación de las reglas Nota: Este resultado se puede extender a un número arbitrario de reglas

evaluación de las reglas Gráficamente: Regla 1: Regla 2: B Regla 1 min Regla 2 min agregación grado de activación evaluación de las reglas Entrada 1 Entrada 2 Resultado de la

Y= f(x) Sistema Difuso y xUn inferencia Vector de entrada salida Estructura de un modelo difuso o sistema de inferencia difusa o Sistema difuso: Y= f(x) Sistema Difuso Reglas y xUn ¨Fuzificador¨ ¨Defuzificador¨ Mecanismo inferencia Vector de entrada salida

Las reglas y el mecanismo de inferencia constituyen el corazón de los sistemas difusos: definen la dinámica del sistema difuso Reglas Mecanismo inferencia Salida conjuntos difusos Entrada conjuntos difusos Lo que hemos estudiado hasta aquí nos permite evaluar un conjunto de reglas.

x=(x1,x2,…,xn) “Fuzificador”: es una interfaz entre el mundo real y el espacio de conjuntos difusos. De esta forma mapea puntos de un espacio real x=(x1,x2,…,xn) en un conjunto difuso. Existen dos clases: 1. “Fuzificador” tipo “singleton” “fuzificador” tipo “no singleton”. x=(x1,x2,…,xn) ¨Fuzificador¨

“Fuzificador” tipo “singleton” Mapea un número real (entero) en conjunto difuso tipo “singleton”. Conjunto difuso “singleton” Espacio real x x=a

“Fuzificador” “no singleton” Mapea un número real (entero) en conjunto difuso con una Función de pertenencia (normal) definida. Conjunto difuso triangular Espacio real x x=a

x=c “Defuzificador”: es una interfaz que convierte conjuntos difusos en un valor real. Conjunto difuso x=c ¨Defuzificador¨ Valor resultante x=c Cómo se calcula c ? Espacio real x Conjunto difuso Métodos de “defuzificación”

xCOA Métodos de “Defuzificación”: 1. Método del centro de gravedad Si A(x) corresponde a el conjunto difuso que se va “defuzificar” el resultado de este método consiste en calcular: xCOA

xBOA Métodos de “Defuzificación”: 2. Método del centro del área del conjunto difuso Si A(x) corresponde a el conjunto difuso que se va “defuzificar” el resultado de este método consiste en calcular xBOA tal que: xBOA Donde =min{x/ x X} y = max{x/x X}

xMOA X´ Métodos de “Defuzificación”: 3. Método del medio de los máximos Si A(x) corresponde a el conjunto difuso que se va “defuzificar” el resultado de este método consiste en calcular xMOA tal que: xMOA X´ Donde X’={x/ A(x)=*}, con * el valor máximo de A(x)

xleft xright xMOA xMOA Métodos de “Defuzificación”: 4. Método del medio de los máximos: casos especiales: Si existe un solo máximo Si los máximos forman una región cuadrada xleft xright xMOA xMOA Donde: XMOA=[xright+xleft]/2

xSOA xLOA Métodos de “Defuzificación”: 5. Métodos: el más pequeño de los máximos (xSON) y el más grade de los máximos (xLON): xSOA xLOA