Computacion Inteligente 2017/4/1 Computacion Inteligente Logica y razonamiento fuzzy

Contenido Logica clasica Logica fuzzy Variables linguisticas 2017/4/1 Contenido Logica clasica Logica fuzzy Variables linguisticas Reglas fuzzy Razonamiento aproximado

2017/4/1 La logica clasica

2017/4/1 La logica matematica La logica matematica es el estudio de los lenguajes formales. La logica clasica considera la logica binaria, con solo dos valores posibles: Verdad Falso

La logica proposicional 2017/4/1 La logica proposicional Proposicion: Es una sentencia con solo un valor de verdad: cierto o falso Ejemplos: a: 5+4 = 7 b: “esta lloviendo” No son proposiciones a: x+4 = 7 b: “¿esta lloviendo?”

La logica proposicional 2017/4/1 La logica proposicional Variable logica: Es una proposicion que puede tener dos valores de verdad: cierto o falso Ejemplos: 5+x = 7 “esta lloviendo”

La logica proposicional: conectivos 2017/4/1 La logica proposicional: conectivos Podemos combinar variables proposicionales con conectivos: Negacion: NOT Conjuncion: AND Disjuncion: OR Implicacion

La implicacion Tabla de verdad de la implicacion 2017/4/1 La implicacion Tabla de verdad de la implicacion La implicacion se puede representar por Implicacion clasica Implicacion clasica

2017/4/1 Funcion logica Una funcion logica es la combinacion de variables proposicionales usando los conectivos Puede ser evaluada de acuerdo a * El valor de las variables * La tabla de verdad de los conectivos

Propiedades de la logica clasica 2017/4/1 Propiedades de la logica clasica = Involucion a = a Commutatividad a ∧ b = b ∧ a a ∨ b = b ∨ a Associatividad (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) Distributividad a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b) Idempotencia a ∧ a = a a ∨ a = a

Propiedades de la logica clasica 2017/4/1 Propiedades de la logica clasica Absorcion a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a Absorcion por 0 y 1 a ∧ 0 = 0 a ∨ 1 = 1 Identidad a ∧ 1 = a a ∨ 0 = a La ley de De Morgan

Propiedades de la logica clasica 2017/4/1 Propiedades de la logica clasica Ley de la contradiccion Ley del medio excluido

2017/4/1 Tautologia Una tautologia es una formula cuyo valor es siempre verdadero No importa el valor de sus variables logicas Ejemplos:

2017/4/1 Tautologia Ejemplo 1

Tautologia Ejemplo (a  (a  b))  b a b (a  b) (a  (a  b)) 1 2017/4/1 Tautologia Ejemplo (a  (a  b))  b a b (a  b) (a  (a  b)) (a  (a  b))  b 1

Regla de inferencia La tautologia significa 2017/4/1 Regla de inferencia La tautologia significa Si a existe y a → b es verdadero Entonces b existe MODUS PONENS

Regla de inferencia La tautologia significa 2017/4/1 Regla de inferencia La tautologia significa Si b no existe y a → b es verdadero Entonces a no existe MODUS TOLLENS

La logica de predicado Un predicado tiene la forma 2017/4/1 La logica de predicado Un predicado tiene la forma “es un hombre” “es menor que” Una proposicion en la logica de predicado tiene la forma “Socrates es un hombre” “dos es menor que cuatro” predicado objeto

2017/4/1 La logica fuzzy

2017/4/1 Proposiciones fuzzy La información: Puede venir dada en forma de sentencias o proposiciones de la forma: “Juana es alta” Una proposicion fuzzy es una sentencia con valor de verdad entre 0 y 1. Una proposicion es una sentencia con un valor de verdad. The number of individual constants to which a given predicate is called number of places of the predicate. For instance, .is a man. is a one-place predicate, and .is less than. is a two-place predicate. One-place predicate proposition (x is A) determines a set of things: namely those things for which it is true. Similarly, a two-place predicate proposition (two is less tan four) determines a set of pairs of things; that is, a two-place .relation.. In general, an n-place predicate determines an n-place relation. We may think of the predicate as denoting the relation.

Proposiciones fuzzy “Juana es alta” 2017/4/1 Proposiciones fuzzy “Juana es alta” Una proposicion esta constituida por: el predicado: “es alta” Y el objeto (individuo): “Juana” Una proposicion es una sentencia con un valor de verdad. The number of individual constants to which a given predicate is called number of places of the predicate. For instance, .is a man. is a one-place predicate, and .is less than. is a two-place predicate. One-place predicate proposition (x is A) determines a set of things: namely those things for which it is true. Similarly, a two-place predicate proposition (two is less tan four) determines a set of pairs of things; that is, a two-place .relation.. In general, an n-place predicate determines an n-place relation. We may think of the predicate as denoting the relation.

Proposiciones fuzzy El predicado hace referencia al valor “alta” 2017/4/1 Proposiciones fuzzy El predicado hace referencia al valor “alta” de una variable linguistica “altura” Una proposicion es una sentencia con un valor de verdad. The number of individual constants to which a given predicate is called number of places of the predicate. For instance, .is a man. is a one-place predicate, and .is less than. is a two-place predicate. One-place predicate proposition (x is A) determines a set of things: namely those things for which it is true. Similarly, a two-place predicate proposition (two is less tan four) determines a set of pairs of things; that is, a two-place .relation.. In general, an n-place predicate determines an n-place relation. We may think of the predicate as denoting the relation.

2017/4/1 Predicado fuzzy Definicion: Si el conjunto que define el predicado de un individuo es un conjunto fuzzy, el predicado es denominado un predicado fuzzy Ejemplo: “z es caro.” “w es joven.” Los terminos “caro” y “joven” son terminos fuzzy. Entonces los conjuntos “caro(z)” y “joven(w)” son conjuntos fuzzy

Predicado fuzzy Podemos interpretar “x is P” de dos maneras 2017/4/1 Predicado fuzzy Podemos interpretar “x is P” de dos maneras P(x) es un conjunto fuzzy. El conjunto P esta definido por la funcion de pertenencia P(x) P(x) es el grado de satisfaccion de x con la propiedad P. El grado de verdad esta difnido por la funcion de pertenencia P(x)

Conectivos en la logica fuzzy 2017/4/1 Conectivos en la logica fuzzy Podemos combinar proposiciones fuzzy con conectivos: Negacion: NOT Conjuncion: AND Disjuncion: OR Implicacion

Conectivos logicos fuzzy: ejemplo 2017/4/1 Conectivos logicos fuzzy: ejemplo Implicacion fuzzy Implicacion clasica Implicacion clasica

2017/4/1 Expresion fuzzy Una expresion fuzzy es la combinacion de variables proposicionales usando los conectivos fuzzy Puede ser evaluada de acuerdo a * El valor de las variables * La tabla de verdad de los conectivos

Propiedades de la logica fuzzy 2017/4/1 Propiedades de la logica fuzzy = Involucion a = a Commutatividad a ∧ b = b ∧ a a ∨ b = b ∨ a Associatividad (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) Distributividad a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b) Idempotencia a ∧ a = a a ∨ a = a

Propiedades de la logica fuzzy 2017/4/1 Propiedades de la logica fuzzy Absorcion a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a Absorcion por 0 y 1 a ∧ 0 = 0 a ∨ 1 = 1 Identidad a ∧ 1 = a a ∨ 0 = a La ley de De Morgan

Propiedades de la logica fuzzy 2017/4/1 Propiedades de la logica fuzzy NO SE CUMPLEN EN LA LOGICA FUZZY Ley de la contradiccion Ley del medio excluido

Propiedades de la logica fuzzy 2017/4/1 Propiedades de la logica fuzzy Ejercicio Demostrar que la ley de la contradiccion y la ley del medio excluido no se cumplen para los conectivos de Zadeh

Variables Linguisticas 2017/4/1 Variables Linguisticas

Variables Linguisticas 2017/4/1 Variables Linguisticas Las tecnicas convencionales son inadecuadas para manejar sistemas basados en: el juicio la percepcion, y las emociones humanas

El principio de la incompatibilidad 2017/4/1 El principio de la incompatibilidad [Zadeh, 1973] En cuanto la complejidad de un sistema incrementa, nuestra habilidad para hacer afirmaciones precisas y aun siginificativas acerca de su conducta decrece hasta un umbral fijo Mas alla de este umbral, la precision y el significado se convierten en caracteristicas casi mutuamente exclusivas

Precision e importancia de la informacion 2017/4/1 Precision e importancia de la informacion El grado de importancia de la informacion no esta siempre relaciondo con su precision

Fuentes de incertidumbre 2017/4/1 Fuentes de incertidumbre Confiabilidad de la información Interpretacion Aleatoriedad Imprecisión del lenguaje Información incompleta Información agregada Precisión de la representación Declaración en conflicto

Variable Lingüística Una variable numerica toma valores numericos: 2017/4/1 Variable Lingüística Una variable numerica toma valores numericos: Edad = 65 Una variable linguistica toma valores linguisticos : Edad: viejo

2017/4/1 Variable Lingüística Los valores de una variable linguistica son conjuntos fuzzy. Todos los valores linguisticos forman un conjunto de terminos: T(age) = {young, not young, very young, ... middle aged, not middle aged, ... old, not old, very old, more or less old, ... not very yound and not very old, ...}

Utilidad de las Variables Lingüísticas 2017/4/1 Utilidad de las Variables Lingüísticas Es una forma de comprimir información (Zadeh 1994): Una etiqueta incluye muchos valores posibles. Ayuda a caracterizar fenómenos que o están mal definidos o son complejos de definir o ambas cosas (Zadeh 1975). Es un medio de trasladar conceptos o descripciones lingüísticas a descripciones numéricas que pueden ser tratadas computacionalmente: Relaciona o traduce el proceso simbólico a un proceso numérico.

Etiquetas linguisticas 2017/4/1 Etiquetas linguisticas Caracterizacion fuzzy de la edad

2017/4/1 Variable Lingüística Definition: Una variable linguistica es el quintuple (x, T(x), X, G, M) donde: x es el nombre de la variable T(x) es el conjunto de valores linguisticos (o terminos) X es el universo del discurso G es una regla sintactica que genera los valores linguisticos M es una regla semantica que proporciona los significados para los valores linguisticos

2017/4/1 Ortogonalidad Un conjunto de terminos T = t1,…, tn de una variable linguistica x sobre el universo X es ortogonal si: Donde los ti’s son conjuntos fuzzy convexos y normales definidos en X.

Semantica y sintaxis La regla semantica 2017/4/1 Semantica y sintaxis La regla semantica Define la funcion de pertenencia de cada valor linguistico del conjunto de terminos La regla sintactica Define la manera como se generan los terminos en T(age)

El conjunto de terminos 2017/4/1 El conjunto de terminos El conjunto de terminos consiste de Terminos primarios (young, middle aged, old) Terminos modificados Por la negacion (“not”) Por los intensificadores (hedges) (very, more or less, quite, extremely,…) Y enlazados con conectivos (and, or, …)

Valores Linguisticos (Terminos) 2017/4/1 Valores Linguisticos (Terminos) complv.m

Concentracion y dilatacion 2017/4/1 Concentracion y dilatacion Sea A un valor linguistico descrito por el conjunto fuzzy con funcion de pertenencia μA(.) es una version modificada del valor linguistico original. A2 = CON(A) es denominada una operacion de concentracion (“very”) A½ = DIL(A) es denominada una operacion de dilatacion (“more or less”)

intensificacion de contraste 2017/4/1 intensificacion de contraste INT incrementa los valores de μA(x) que son mayores que 0.5 y decrece aquellos que son menores que 0.5. La intensificacion de contraste tiene el efecto de reducir la fuzzisidad del valor linguistico

Efectos de la intensificacion de contraste 2017/4/1 Efectos de la intensificacion de contraste

2017/4/1 Reglas fuzzy

SI llueve ENTONCES hace frio 2017/4/1 Las reglas fuzzy Las reglas fuzzy son un modo de representar el conocimiento cuando este conocimiento proviene de la experiencia o de la intuición (careciendo de demostración matemática o física). SI llueve ENTONCES hace frio

Reglas fuzzy If-Then If x es A then y es B Formato general : Ejemplos: 2017/4/1 Reglas fuzzy If-Then Formato general : If x es A then y es B Ejemplos: If presion es alta, then volumen es pequeño. If un tomate es rojo, then esta maduro. If la velocidad es alta, then aplicar el freno un poco

Reglas fuzzy If-Then Formato general : antecedente: proposicion fuzzy 2017/4/1 Reglas fuzzy If-Then Formato general : antecedente: proposicion fuzzy consecuente: proposicion fuzzy donde x es una variable lingüística A y B terminos linguisticos (constantes) If the set defining the predicates of individual is a fuzzy set, the predicate is called a fuzzy predicate.

La regla como implicacion 2017/4/1 La regla como implicacion La regla es interpretada como una implicacion: Dado el hecho: Podemos inferir IF el flujo es bajo THEN la temperatura es baja el flujo de oxigeno es bajo la temperatura de llama es baja

Razonamiento aproximado 2017/4/1 Razonamiento aproximado

Razonamiento = Inferencia 2017/4/1 Razonamiento = Inferencia Inferencia: Es la habilidad de inferir información sobre alguna faceta desconocida de un problema, a partir de la información disponible. La forma en que discernimos sobre un argumento depende de cual sistema logico tenemos a disposicion.

Inferencia en la logica clasica 2017/4/1 Inferencia en la logica clasica Modus ponens Fact: x is a Rule: If x is a, then y is b Result: y is b Modus tollens Fact: y isb Rule: If x is a then y is b Result: x isa

Interpretacion de la regla fuzzy 2017/4/1 Interpretacion de la regla fuzzy ¿Que significado podemos dar a la siguiente expresion? La expresion describe una relacion entre dos variables IF el flujo es bajo THEN la temperatura es baja flujo temperatura

Representacion del predicado fuzzy 2017/4/1 Representacion del predicado fuzzy Podemos interpretar el predicado fuzzy “x is A” como un conjunto fuzzy A(x). El conjunto A esta definido por la funcion de pertenencia A(x)

Interpretacion de la regla fuzzy 2017/4/1 Interpretacion de la regla fuzzy Dado La regla fuzzy Puede ser interpretada como un relacion fuzzy Sobre el espacion producto If A(x), then B(y) R(x, y): A(x)  B(y)

Razonamiento aproximado 2017/4/1 Razonamiento aproximado Modus ponens generalizado (GMP) Hecho: x is A : R(x) Regla: If x is A then y is B : R(x, y) Resultado: y is B : R(y) = R(x)  R(x, y) composicion

Razonamiento aproximado 2017/4/1 Razonamiento aproximado La operación usada para el razonamiento es la extension del conjunto fuzzy de entrada por la relacion fuzzy que representa la regla The operation used in the reasoning is denoted by the notation .ο., and thus the result is represented by the output of the composition when we use the

Razonamiento aproximado 2017/4/1 Razonamiento aproximado Dos tareas en el razonamiento fuzzy: Definir la relacion R(x,y) que representa la regla Definir el operador composicion Therefore, there are two issues in the fuzzy reasoning: determination of the .implication relation. R(x,y) and selection of the .composition operatior.

2017/4/1 Fuentes J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan. Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia. 2000 Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001) Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.

2017/4/1 Fuentes R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999 René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995. Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000 L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994

2017/4/1 Fuentes Kwang-Hyung Lee, Textbook CS670 Fuzzy Theory, http://if.kaist.ac.kr/lecture/cs670/textbook/, septiembre 2001 J. Galindo Gómez, Conjuntos y Sistemas Difusos (Lógica Difusa y Aplicaciones). Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación, Universidad de Málaga, 2002? Vojislav Kecman, Fuzzy logic basics. Slides accompanying the MIT Press book: Learning and Soft Computing. 2001