Unidad II: Teoría de Conjuntos. Ing. Vanessa Borjas

CONJUNTO: Grupo de objetos con una o más características comunes. También se puede decir que es una colección desordenada de objetos. Un conjunto está bien definido si es posible conocer todos sus elementos.

Conjunto EJEMPLOS: Las Vocales del Alfabeto V = {a; e; i; o; u} V = Nombre del conjunto en mayúscula a, e, i, o, u = Nombre de los elementos en minúscula. Los enteros positivos impares menores a 10 I = {1; 3; 5; 7; 9} Los elementos pueden ser también números. B = {a; 2; Roberto; Francia} Los elementos de un conjunto pueden también no estar relacionados.

Elementos de un conjunto Son los objetos que componen un conjunto, también se les conoce como miembros. Se dice que el conjunto contiene a sus elementos y los elementos pertenecen al conjunto. Si un elemento “a” pertenece a un conjunto “V”, se denota por: a Î V Si un elemento “d” no pertenece a un conjunto “V”, se denota por: d Ï V

Modos de representación de un conjunto a) EXTENSIÓN: Se detallan todos los elementos del conjunto. Ejemplo: V = {a; e; i; o; u} b) COMPRENSIÓN: Se da una idea que representa los elementos. Las vocales del alfabeto.

Modos de representación de un conjunto c) DESCRIPCIÓN POR CONSTRUCCIÓN: Se caracterizan todos los elementos del conjunto declarando la propiedad o propiedades que deben tener sus miembros. Ejemplo: Conjunto I de todos los números enteros positivos menores que 10. I = {x | x es un entero positivo menor que 10} I = {x | x Î Z+, x < 10}

Modos de representación de un conjunto d) DIAGRAMA DE VENN: Es una forma gráfica de representar un conjunto. Parte del concepto de conjunto Universal. Se define el Conjunto Universal ‘U’ como aquel que contiene todos los elementos que están siendo objeto de estudio. Se representa por un rectángulo y la letra U. El diagrama se construye con el conjunto universal representado por un rectángulo, y luego utilizando círculos dentro del rectángulo se representan los conjuntos, identificados con letras mayúsculas. Los elementos se representan dentro de los conjuntos, utilizando letras minúsculas.

Modos de representación de un conjunto V Conjunto de Vocales Conjunto Universal .a .e .i .o .u Elementos

Tipos de conjuntos según el número de elementos a) CONJUNTO VACÍO: Es aquel que no tiene elementos. Se representa por Φ, también puede ser denotado por Φ o { }. b) CONJUNTO UNITARIO: Es aquel que tiene un solo elemento. Ejemplo: {a}, {Φ}, {5}

Tipos de conjuntos según el número de elementos c) CONJUNTO FINITO: Es aquel que tiene un número n de elementos definidos, n > 0. Ejemplo: las vocales. d) CONJUNTO INFINITO: Es aquel que no es finito, es decir tiene elementos no definidos. Ejemplo: el conjunto de los enteros positivos.

Tipos de conjuntos según el número de elementos e) SUBCONJUNTO: Se dice que el conjunto A es subconjunto de B, si y solo si todo elemento de A es también un elemento de B. A Í B

Teorema de Subconjuntos a) Φ Í S y S Í S Todo conjunto no vacío S, tiene 2 subconjuntos, el vacío y el propio conjunto. b) A Í B y B Í A Entonces se concluye que A = B c) Para enfatizar que A es subconjunto de B pero que A y B son diferentes, se denota A Ì B

Teorema de Subconjuntos d) En un diagrama de Venn, A Ì B se representa por: U B A

Características de Conjuntos a) IGUALDAD DE CONJUNTOS: Dos conjuntos son iguales si, y solo si, tienen los mismos elementos. Ejemplo: {1; 2; 4} = {2; 4; 1} = {1; 2; 2; 2; 4} .2 .2 .1 .4 = = .2 .1 .2 .4 .2 .1 .4

Características de Conjuntos b) TAMAÑO DE UN CONJUNTO: Sea S un conjunto, si hay exactamente n elementos “distintos” en S, donde n es un entero no negativo, se dice que S es un conjunto finito y n es el cardinal de S, el cual define su tamaño. El cardinal del conjunto S se denota por |S|. Ejemplos: A = Conjunto de los enteros positivos impares menores a 10. |A| = 5 S = Conjunto de las letras del alfabeto. |S| = 28 V = Conjunto de las vocales. |V| = 5 Φ = Conjunto vacío. |Φ| = 0 (ya que no tiene elementos)

Conjuntos numéricos fundamentales NÚMEROS NATURALES (N) N = {0; 1; 2; 3; …} NÚMEROS ENTEROS (Z) Z = {…; -3; -2; -1; 1; 2; 3; …} NÚMEROS RACIONALES (Q) Q = {p/q | p Î Z, q Î Z, q ¹ 0} = {…; -1; -½; 0; 1/5; ½; 1; 3/2; 2; …} NÚMEROS IRRACIONALES (I) I = {…; 2 ; 3; p; …} NÚMEROS REALES (R) R = {…; -2; -1; 0; 1; 2 ; 3; …} NÚMEROS COMPLEJOS (C) C = {…; -2; -½; 0; 1; 2 ; 3; 2+3i; 3; …}

Conjuntos numéricos fundamentales Q Z I N

Operaciones con Conjuntos a) UNIÓN DE CONJUNTOS: Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B, denotada por A  B, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están en A o bien en B, o en ambos. A  B = {x | x ÎA Ú x ÎB} A A B B

Operaciones con Conjuntos EJEMPLO DE UNIÓN DE CONJUNTOS: A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3; 4} .3 .1 .5 .4 .2 U A  B = {1; 2; 3; 4; 5}

Operaciones con Conjuntos PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS: 1) A  A = A 2) A  B = B  A 3) A  Φ = A 4) A  U = U 5) (A  B)  C = A  (B  C) Si A  B = Φ entonces A = Φ Ù A = Φ

Operaciones con Conjuntos b) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B, denotada por A ∩ B, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están tanto en A como en B. A ∩ B = {x | xÎA Ù xÎB} A A B B

Operaciones con Conjuntos EJEMPLO DE INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: A = {1; 3; 5; 7} B = {1; 2; 3; 4} .3 .1 .5 .4 .2 U .7 A  B = {1; 3}

Operaciones con Conjuntos PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: 1) A  A = A 2) A  B = B  A 3) A  Φ = Φ 4) A  U = A 5) (A  B)  C = A  (B  C) 6) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)