UNIDAD V TEORÍA DE CONJUNTOS “Aplicación de conjuntos a casos reales” ISC. Claudia García Pérez En este material veremos como aplicar la notación de conjuntos, operaciones entre ellos y los diagramas de Venn a casos reales sencillos. http://www.uaeh.edu.mx/virtual

CASO 1 Meses del año Supón que escribes los meses del año sobre doce tiras de papel y las colocas en un sombrero. Entonces sacas una tira del sombrero. CASO 1. Supón que escribes los meses del año sobre doce tiras de papel y las colocas en un sombrero. Entonces sacas una tira del sombrero.

CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} El conjunto universo es: todos los meses del año.

A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} Si tenemos que el conjunto A es igual a Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio

A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} y el conjunto B es igual a Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre.

Definición de Conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} Por lo tanto, se han definido los conjuntos del caso Definición de Conjuntos

CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} Cabe mencionar que para este caso, los conjuntos son finitos. Conjuntos Finitos

CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} Y el método para nombrar los elementos de los conjuntos es: el de Extensión Método de Extensión

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} Procedamos ahora a realizar algunas operaciones entre los conjuntos: Operación de conjuntos

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} Uniendo los conjuntos A y B, se tiene que es igual a Operación de conjuntos Unión

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero Enero Operación de conjuntos Unión

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Febrero Febrero Operación de conjuntos Unión

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Febrero, Marzo Marzo Operación de conjuntos Unión

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Febrero, Marzo, Abril Abril Operación de conjuntos Unión

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo Mayo Operación de conjuntos Unión

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio Junio Operación de conjuntos Unión

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio Julio Operación de conjuntos Unión

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Septiembre Septiembre Operación de conjuntos Unión

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Septiembre, Noviembre} Noviembre Operación de conjuntos Unión

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} Sigamos ahora con la intersección de A y B, esto es, todos los meses comunes del conjunto A y B. Operación de conjuntos Intersección

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero Se tiene que es igual a Enero Operación de conjuntos Intersección

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Marzo Marzo Operación de conjuntos Intersección

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Marzo, Mayo} Mayo Operación de conjuntos Intersección

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} Finalmente, hagamos la operación del complemento de A, en donde el resultado debe ser todos los elementos que no pertenecen a A. Operación de conjuntos Complemento

Operación de conjuntos CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} Por lo tanto, tenemos que es igual a Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre Operación de conjuntos Complemento

CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} Las operaciones antes mencionadas, quedan expresadas en los diagramas de Venn, de la siguiente manera: Diagramas de Venn

Diagramas de Venn Unión CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Septiembre, Noviembre} U A B Febrero Abril Junio Enero Julio Septiembre Noviembre Marzo Mayo Unión. Diagramas de Venn Unión

Diagramas de Venn Intersección CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Enero, Marzo, Mayo} U A B Febrero Abril Junio Julio Septiembre Noviembre Enero Marzo Mayo Intersección Diagramas de Venn Intersección

Diagramas de Venn Complemento CASO 1 Meses del año U = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio} B = {Enero, Marzo, Mayo, Julio, Septiembre, Noviembre} {Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre} U A Julio Octubre Noviembre Diciembre Agosto Septiembre Complemento. Diagramas de Venn Complemento

Un estudiante tira un dado. CASO 2 Lanzamiento de un dado Un estudiante tira un dado. CASO 2. Un estudiante lanza un dado.

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} CASO 2 Lanzamiento de un dado Tenemos que el conjunto universo es igual a: 1, 2, 3, 4, 5 y 6

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} CASO 2 Lanzamiento de un dado El conjunto A igual a: Un número par

CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} e el conjunto B igual a: Número mayor que 3.

Definición de Conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} Por lo tanto, ya están definidos los conjuntos. Definición de Conjuntos

Conjuntos Finitos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} Ahora bien, se tiene que para este caso, los conjuntos son finitos. Conjuntos Finitos

Definición de Conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} Se muestra los 2 métodos para definir conjuntos Método de Definición de Conjuntos

Definición de Conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} Extensión Por extensión Método de Definición de Conjuntos

Definición de Conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} U = {x | x es la cara de un dado} A = {2, 4, 6} A = {x | x es un número par} B = {4, 5, 6} B = {x | x es un número mayor que 3} Extensión Y por comprensión Comprensión Método de Definición de Conjuntos

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} Procedamos ahora a realizar algunas operaciones entre los conjuntos y su representación en el diagrama de Venn: Operación de conjuntos Diagramas de Venn

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} U A B Unión del conjunto A y B. Operación de conjuntos Unión Diagramas de Venn

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} {2 U A B 2 Que es igual a: 2 Operación de conjuntos Unión Diagramas de Venn

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} {2, 4 U A B 2 4 4 Operación de conjuntos Unión Diagramas de Venn

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} {2, 4, 5 U A B 2 4 5 5 Operación de conjuntos Unión Diagramas de Venn

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} {2, 4, 5, 6} U A B 2 4 5 6 6 Operación de conjuntos Unión Diagramas de Venn

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} U A B Sigamos ahora con la intersección de los conjuntos A y B. Operación de conjuntos Intersección Diagramas de Venn

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} {4 U A B 4 2 Tenemos que es igual a: 4 Operación de conjuntos Intersección Diagramas de Venn

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} {4, 6} U A B 4 6 2 5 6 Operación de conjuntos Intersección Diagramas de Venn

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} ( )’ U A B Finalicemos con el complemento de la unión de A y b Operación de conjuntos Complemento Diagramas de Venn

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} ( )’ {2, 4, 5, 6} U A B 2 4 5 6 En la operación de la unión de A y B obtuvimos que era igual a: 2, 4, 5 y 6 Operación de conjuntos Complemento Diagramas de Venn

Operación de conjuntos CASO 2 Lanzamiento de un dado U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} ( )’ ({2, 4, 5, 6})’ = {1, 3} U A B 1 3 Por lo tanto, tenemos que los elementos que que no están en A y B son: 1 y 3 Operación de conjuntos Complemento Diagramas de Venn

Bibliografía Christensen, H. Estadística paso a paso. Editorial Trillas. 3ª edición. México.