Estados de Bloch En una red periodica las funciones de onda permitidas tienen la propiedad donde R es un vector de la red real Portanto   Donde la funcion (R) es real, independiente de r, y adimensional. Ahora consideremos ψ(r + R1 + R2). Esto puede ser escrito O a (R1 + R2) = (R1) + (R2) (R) es lineal en R y puede ser escrito (R) = kxRx + kyRy + kzRz = k.R. donde kx, ky y kz son las componentes algun vector onda k, asi tenemos (Teorema Bloch ) 

Forma Alternativa del Teorema de Bloch (Teorema Bloch ) Para cualquier K una forma general de la funcion de onda es   Portanto tenemos y Para todo r y R. Portanto en una red la funcion de onda puede ser escrita como Donde u(r) tiene la periodicidad (simetria translacional) de la red. Esta es una forma alternativa del teorema de Bloch. Parte real de la funcion Bloch. ψ ≈ eikx para un grande fraccion del cristal.

Funciones de Onda de Bloch, estados k ψ(r) = exp[ik.r]u(r) Condiciones de Frontera periodico. Para un cubo de lado L se tiene la condicion ψ(x + L) = ψ(x) pero u(x+L) = u(x) debido a que tiene la periodicidad red Portanto, i.e. kx = 2p nx/L nx entero. Los estados k permitidos son los mismos que para electron libre Estados Bloch no son autoestados de momento Calculos de estructura de bandas dan E(k) el cual determina comportamiento dinamico

Electrones Cuasi-libres Necesario resolver Ecuac Schrödinger Consideremos caso 1D Escribe potencial serie Fourier Donde G = 2n/a y n son enteros positivos y negativos. Escribe una funcion bloch en forma general Donde g = 2m/a ym are son enteros positivos y negativos. Note que la funcion periodica es escrita como una suma de Fourier Debemos restringir g a numeros pequeños para obtener una solucion Para n= + 1 y –1 y m=0 y1, y k ~ p/a Se obtiene, E=(hk)2/2me + o - V0/2 (CHECAR)

Aproximacion Tight Binding Se construye una funcion de onda como una suma de ondas planas Modelo Tight Binding : Construye funcion onda como una combinacion lineal de orbitales atomicos de los atomos del cristal Donde f(r) es una autofuncion atomos aislados rj son las posiciones de los atomos del cristal

Orbitales moleculares Consideremos un electro estado fdtal, 1s, del atomo de hidrogeno El hamiltoniano es El valor esperado de la energia del electron es Esto da <E> = E1s = -13.6eV + E1s V(r) F(r)

Molecula Hidrogeno e- p+ r R Consideremos la molecula H2+ en el cual un electro experimenta el potencial de dos protones. El Hamiltoniano es, Aproximamos la funcion de onda del electron, como y p+ e- R r

Estados ligados y no ligados Valores esperados de la energia son E = E1s – g(R) para E = E1s + g(R) para g(R) una funcion positiva Dos atomos: estado original 1s conduce a dos estados permitidos en la molecula Para N atomos en el solido tenemos N estados energia permitidos V(r)

Aproximacion Tight binding Escribimos funcion de onda combinacion lineal orbitales atomicos Donde f(r) es funcion onda atomo aislado. rj son las posiciones atomo cristal. Consideremos estados s que tienen simetria esferica. Para ser consistentes con el teorema de Bloch. N es el numero de atomos en el cristal. para normalizacion Checar Sea rm = rj - R teorema Bloch Correcto

El valor esperado de la energia es Puede ser escrito en terminos posicion relativa ρm = rj – rm La suma sobre j da N ya que hay N atomos en el cristal. Como la intergral es sobre todo espacio, la integracion sobre (r-rm) da la misma respuesta que la integracion sobre r. Esto da Cada termino en la suma corresponde a un vector que va de un sitio de la red a un sitio red vecino.

Aproximacion tight binding para estados s Primer termino da energia enlace atomos aislados Terminos adicionales dan “integrales overlap” entre orbitales corrrespondientes a vecinos mas distantes Aproximacion: Consideremos solo valores rm para vecinos mas cercanos. Constante que como f depende solo de (r-rm) 1D: rm = +a o –a + a Posicion Nuclear

E(k) para una red 3D Cubico Simple : vecinos mas cercanos en   Asi E(k) = - a -2g(coskxa + coskya + coskza) Minimo E(k) = - a -6g para kx=ky=kz=0 Maximo E(k) = - a +6g Para kx=ky=kz=+/-p/a Ancho banda = Emax- Emin = 12g Para k << p/a cos(kxa) ~ 1- (kxa)2/2 etc. E(k) ~ constante + (ak)2g/2 E = (hk)2/me k [111] direccion p/a -p/a = 10 g = 1 E(k) Comportan como electrones “masa efectiva” h/a2g

Cada orbital atomico conduce a una banda de estados permitidos solido Banda estados permitid Gap: estados no permi

Estados Bloch Independientes k [111] direction p/a -p/a = 10 g = 1 E(k) Solucion modelo Tigh Binding es periodico en K. Aparentemente tenemos un numero infinito de estados k para cada banda de energia permitida Sin embargo hay estados k equivalentes Estados Bloch Sea k = ḱ + G donde k esta en la 1era zona Brillouin y G es un vector Red reciproca. Pero G.R = 2n, n-entero. Definicion Red reciproca. Asi k es exactamente equivalente a k. Los valores k independientes son los de la primera zona Brillouin

Esquema de la zona Brillouin Reducida Los k independientes esta dentro de la primera zona de Brillouin Descartan |k| > p/a Resultados del calculo tight binding Displaza dentro 1a Z. B. 2p/a -2p/a Resultados del calculo electron cuasi-libre Esquema zona Brillouin Reducida

Esquemas de las zonas de Brillouin Extendida, reducida y periodica Zona Periodica Zona Reducida Zona Extendida Todos los estados permitidos corresponden a vectores de onda k que se encuentran dentro de la primera zona de Brillouin Puede representarse E(k) de 3 maneras diferentes

El numero de estados en una banda Estados k independientes estan dentro 1a Z. B. kx < /a etc. Cristal Finito: Estados k permitidos discretos Cristal cubico simple monoatomico, constante red a, y volumen V. Un estado permitido en un volumen (2)3/V en el espacio K Volumen de la 1a Z. B. Es (2/a)3 El numero total de estados permitidos en una banda es Cada celda primitiva contribuye exactamente con un estado k para cada banda de Energia. Llevando en cuenta principio exclusion de Pauli hay maximo 2N electrones en cada banda. Este resultado es valido para toda red

Metales y aislantes En una banda completamente llena hay 2N electrones. Todos los estados dentro de la primera zona de Brillouin estan ocupados. La suma de todos los vectores de onda K en la banda es igual a cero. Una Banda parcialmente llena puede trnsportar una corriente, una banda llena no lo puede hacer Aislantes se caracterizan por tener un numero entero par de electrones por celda primitiva Con un numero entero par de electrones por celda primitiva puede aun presentarse un comportamiento metalico si hay un sobrelapamiento de las bandas sobrelapamiento energia no debe ocurrir en la misma direccion de k. EF Metal debido a bandas sobrelapadas

EF Banda llena Banda Vacia Gap energia Banda llenaParc Full Band Banda llena Parcialmente Gap energia EF AISLANTE METAL METAL o SEMICONDUCTOR o SEMI-METAL

Germanio Bandas en 3D Germanium La estructura de Bandas en 3D es mucho mas complicada que en 1D Debido a que los cristales no tienen simetria esferica. La forma de E(k) depende tanto de la direccion como de la magnitud de K Figure removed to reduce file size