Facultad de Economía y Negocios Microeconomía II Prof. Carlos R. Pitta

II Segunda Parte: Teoría de Juegos 1. Juegos Estáticos con Información Completa

Introducción ¿Qué es teoría de juegos? Hay muchas definiciones posibles, pero tal vez la mejor es la que dice: “la teoría de juegos es el estudio de las decisiones interdependientes (o multipersonales)” Es decir, el desenlace se encuentra determinado por las acciones tomadas por muchos decisores.

Interacción Estratégica Como resultado de la definición anterior tenemos que las personas necesitan interactuar estratégicamente unas con las otras, es decir: Necesitan entender lo que las otras personas harán o decidirán Necesitan entender lo que las otras personas piensan que ellos mismos harán o decidirán

Recordando Micro I Anteriormente, los agentes no necesitaban preocuparse por lo que harían los demás: Los consumidores elegían la cesta de consumo que maximizara su utilidad restringidos únicamente por los precios. En realidad, los precios futuros son desconocidos y dependen de las decisiones que tomen hoy los agentes.

Ejemplo 1: El escalador de la montaña Quien escala una montaña se enfrenta a un medio ambiente pasivo, es decir, a un medio ambiente que no se ajusta a las acciones del escalador. El problema que este resuelve (¿qué ruta seleccionar para llegar a la cima?) puede incorporar incertidumbre, pero esta incertidumbre es exógena. Hay sólo una decisión óptima.

Ejemplo 2: El agricultor y cuántas hectáreas de tomates plantar El agricultor toma el precio de los tomates (o su proceso estocástico) y decide cuánto plantar. Si agregamos las decisiones de todos los agricultores que plantan tomates, éstas, junto con la demanda por tomates, determinan su precio. Sin embargo, las decisiones de cada agricultor particular no afectan las del resto. Por esto se dice que cada agricultor toma precios: 1. Dado el precio, hay sólo una decisión óptima. 2. Cada agricultor necesita saber sólo el precio; no necesita conocer los costos, preferencias, costos de producción, etc. del resto de los productores, ni las preferencias de los consumidores. En este caso estamos frente a un problema en que la incertidumbre es endógena a nivel de mercado y exógena para el agricultor.

Ejemplo 3: El multicarrier… (comienza) Consideremos el problema de Entel. Una de sus variables de decisión es qué precios cobrar por las llamadas. ¿Qué tan altas son las utilidades de Entel si cobra a $250/minuto a Estados Unidos? La respuesta dependerá de cuánto cobren VTR, Bell South, CTC, etc. Notar que, en general, no hay un curso de acción independiente de qué hacer para cada uno de los competidores de Entel. Esto difiere del ejemplo 1 en que allí sí había un curso de acción óptimo. Difiere del ejemplo 2 en que la acción óptima de Entel depende de lo que haga cada uno de sus competidores. 2. Esto último implica que la decisión que tome Entel dependerá de lo que Entel espere que haga cada uno de sus competidores. En este sentido, las decisiones de Entel dependen de las decisiones de cada uno de sus competidores.

… Ejemplo 3: El multicarrier … (termina) 3. Pero también ocurre que Entel reconoce que lo que decidan sus competidores depende de lo que ellos esperan sobre las acciones que tome Entel. Más aún, los competidores reconocen que Entel decidirá en base a lo que espera que cada uno haga. De ahí que se diga que la teoría de juegos estudia decisiones interdependientes.

Interdependencia Entonces, las decisiones son interdependientes cuando: 1. El pago de quien decide depende de las decisiones de cada uno del resto de los jugadores (no del conjunto). 2. Los jugadores están conscientes de esta dependencia y actúan en consecuencia.

Pensando lo que piensas que yo pienso (que tú piensan que yo pienso que tú…) Cuando los agentes piensan claramente lo que los otros harán (es decir, tomando en consideración lo que los otros agentes piensan que ellos mismos harán), pueden encontrar una vías bastante concretos para continuar con el juego. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo El jugador 1 tiene las estrategias T, M, B El jugador 2 tiene las estrategias L, m, R Escogen sus estrategias simultáneamente Los pagos se indican mediante los números entre paréntesis

Jugador 1 Al observar sus pagos, el jugador 1 se da cuenta que es mejor jugar M que B (sin importar lo que haga el jugador 2) Es decir, se da cuenta de que NO DEBERÍA jugar B, independientemente de lo que haga el jugador 2

Jugador 1 Ahora compara T y M, y se da cuenta que si el jugador 2 juega L o m, jugar M es mejor. Pero si juega R, entonces T es mejor. ¿Cómo deberá proceder?

Jugador 2 Para contestar dicha pregunta, el jugador 1 debe pensar desde el punto de vista del jugador 2. Si el jugador 1 tirase B, entonces R sería la mejor estrategia para el jugador 2. Pero el jugador 2 sabe lo mismo que el jugador 1, por lo tanto sabe que dicha es mala para el jugador 1 y que no la escojerá Es decir, se da cuenta de que NO DEBERÍA jugar R

Jugador 1 nuevamente Bajo esta circunstancia, al jugador 1 no le conviene jugar T pues sus pagos (1 si L, 0 si m) son menores que los pagos de M (2 si L, 1 si m) Es decir, jugará M

Jugador 2 nuevamente Finalmente, el jugador 2 elegirá L cuyo pago de 2 es superior al pago de 1 que ofrece m. Es decir, jugará L

Coordinación Pura Suponga que desea reunirse con un amigo en uno de dos lugares entre los cuales ambos están indiferentes. Desafortunadamente, solo pueden comunicarse hasta encontrarse. El jugador 1 puede elegir T o B, el jugador 2 L o R. Cada número indica la utilidad tipo Von Neumann-Morgenstern del jugador 1 y 2, respectivamente. No hay una predicción clara acerca del desenlace de este juego

Resultados Estables Uno puede buscar resultados estables, en el sentido de que ningún jugador tiene incentivos para alejarse de el si sabe que las estrategias jugadas sean las anunciadas. Aquí, ↑ indica que el jugador 1 se desvía a Top, etc. Aquí, {T,L} y {B,R} son resultados estables, pues si se anuncia por ejemplo que {B,L} será jugado, ambos jugadores tienen incentivos para alejarse de dicha estrategia.

FIN DE CLASE 1

Regresando a Interdependencia Habíamos definido interdependencia a una situación en la cual: 1. El pago de quien decide depende de las decisiones de cada uno del resto de los jugadores (no del conjunto). 2. Los jugadores están conscientes de esta dependencia y actúan en consecuencia.

Racionalidad La teoría de juegos reconoce (1) y nos da las herramientas para modelar (2). Supone que actuar en consecuencia significa actuar racionalmente. Racionalidad significa:   1. Preferencias del tipo VNM. 2. Conjeturas sobre lo que el resto de los jugadores va a hacer son consistentes entre sí.

Más Formalmente, ¿Qué es un juego? Un juego es una representación formal de una situación en que las decisiones son interdependientes. Es importante recordar esto:   1. Es una representación, no es la situación misma. 2. Es formal, es decir, aquí tratamos con objetos matemáticos que van a ser manipulados con reglas precisas.

Elementos de un juego 1. Los Jugadores 2. Las reglas del juego: * Quién mueve y cuándo. * Qué saben los jugadores cuando mueven. * Qué pueden hacer cada vez que les corresponde mover (qué acciones están disponibles). 3. Los resultados posibles del juego para cada combinación posible de acciones. 4. Las preferencias de los jugadores sobre cada posible resultado del juego. En este curso siempre supondremos que las preferencias son del tipo VNM (racionales).

Formas de Representar un Juego Las dos formas más usadas para representar un juego son la forma normal y la forma extensiva. Ahora bien, todo juego puede representarse de una u otra forma. Sin embargo, los juegos estáticos (juegos en que cada jugador mueve sin conocer qué jugó el resto de los participantes) suelen representarse en forma normal y los juegos dinámicos en forma extensiva. Como es más natural ordenar esta sección del curso según si los juegos son estáticos o dinámicos, comenzaremos con los juegos estáticos.

Jugadores Racionales Un jugador siempre: 1. Conoce el juego. 2. Sabe que el resto de los jugadores conoce el juego y que él sabe que ellos saben, y así, sucesivamente.

Nuestro Primer Juego: El Dilema de los Prisioneros El Dilema de los Prisioneros es uno de los juegos más famosos y más estudiados en Teoría de Juegos Hay dos sospechosos arrestados por cometer un crimen El fiscal no tiene pruebas contra ninguno de los dos, así que los interroga por separado para forzarlos a confesar.

El Dilema de los Prisioneros La situación: Si un indiciado confiesa (FINK) haber cometido el delito, pero su compañero no (SILENT), quien confesó tiene una sentencia de 3 año en prisión, y su compañero queda libre Si ambos confiesan, la fiscalía tendrá clemencia y ambos tendrán una sentencia ligeramente menor (1 año) Si ninguno confiesa, la fiscalía solo puede condenarlos por un crimen menor, pero será más severa y cada uno de los dos tendrá una sentencia de 2 años

El Dilema de los Prisioneros Hay 4 combinaciones de estrategias y dos pagos para cada combinación Es útil usar un diagrama de árbol o una matriz para representar los pagos El diagrama de árbol es llamado forma extensiva La matriz es llamada la forma normal

El Dilema de los Prisioneros en Forma Extensiva Cada nodo representa un punto de decisión El óvalo punteado significa que los nodos para el jugador 2 se encuentran en el mismo set informativo: El jugador 2 no sabe lo que decidirá el jugador 1.

El Dilema de los Prisioneros en Forma Normal Algunas veces es más conveniente expresar el juego en forma matricial

El Dilema de los Prisioneros en Forma Normal Discuta: ¿Cuál será el resultado? (PAGO: MESES EN PRISIÓN)

Nota sobre árboles Un árbol es un conjunto de nodos y ramas tales que: Hay un nodo inicial que no tiene una rama antes. Para todo otro nodo, siempre hay una rama entrante Para cada par de nodos, siempre hay una manera única de conectarlos ¡Imagine un árbol!

Nota sobre árboles Los siguientes grafos no son árboles: ¿Porqué?

Ejemplo 4: El dilema de los prisioneros Suponga que la matriz de pagos (MESES EN PRISIÓN) para el dilema de los prisioneros ahora es el siguiente: Jugador 2 Jugador 1

Ejemplo 5: Batalla de los sexos (Conflicto y necesidad de Negociación)… comienza Suponga el mismo juego de coordinación que vimos anteriormente, pero ahora con los siguientes pagos. De nuevo, los jugadores prefieren coordinar (T,L) o (B,R), pero ahora el jugador 1 prefiere (T,L) y el jugador 2 prefiere (B,R) Hay incentivos para coordinar, pero ahora también hay conflicto.

¿Qué diferencia encuentran con el árbol del dilema de los prisioneros? Ejemplo 5: Batalla de los sexos (Conflicto y necesidad de Negociación)… continua ¿Qué diferencia encuentran con el árbol del dilema de los prisioneros? Ahora suponga que el jugador 2 conoce la acción del jugador 1 antes de decidir. Esto significa que el proceso de toma de decisiones es secuencial: comienza tirando el jugador 1, el jugador 2 observa su acción, y actúa en consecuencia.

Ejemplo 5: Batalla de los sexos (Conflicto y necesidad de Negociación)… continua Claramente, J2 elegirá L si J1 tira T, y R si J1 tira B. Sabiendo eso, el J1 tirará T. Por lo tanto, el único resultado razonable es (T,L) (Este tipo de razonamiento es llamado inducción hacia atrás)

Ejemplo 5: Batalla de los sexos (Conflicto y necesidad de Negociación)… continua Observe un resultado curioso: Cuando J2 sabe lo que hará J1, recibe 1 en vez de 2. J2 preferiría que fuera J1 quien supiera qué es lo que él mismo hará, pues así ganaría 2. J2 preferiría no tener toda la información.

Ejemplo 5b: Batalla de los sexos con salida Ahora suponga que antes de comenzar a jugar, J1 tiene la opción de salir del juego (en cuyo caso ambos jugadores reciben 3/2), o jugar (en cuyo caso los pagos son similares al inicio). ¿Cuál será el resultado? Si ocurre que J2 juega, necesariamente es debido a que J1 decidió jugar.

Ejemplo 5b: Batalla de los sexos con salida Es decir, J2 sabe que J1 ha renunciado a un pago de 3/2. Entonces, J2 sabe que J1 no puede considerar seriamente jugar B, pues le pagaría 1 como máximo. El decir, J2 sabe que J1 jugará T, por lo que tendrá que elegir L.

Ejemplo 5b: Batalla de los sexos con salida Anticipando todo lo anterior, J1 comienza accediendo a jugar (sin ejecutar su opción de salida) y el resultado del juego será (Top, Left) (Este tipo de razonamiento es llamado inducción hacia adelante)

Ejemplo 6: Policías y ladrones Juego de Conflicto Puro (O juego estrictamente competitivo) De momento no lo resolveremos, pues nos servirá más adelante para ejemplificar el importante concepto de estrategias mixtas. Sin embargo, pensemos en su resultado.

Ejemplo 7: Entrar o no entrar

Ejemplo 8: ¿Adoptar o no? Juego sin conflicto de intereses, pero con un problema de coordinación

FIN DE CLASE 2

Juegos Estáticos con Información Completa En esta sección estudiaremos juegos con las siguientes reglas. Primero, los jugadores eligen simultáneamente acciones. Segundo, los jugadores reciben pagos que dependen de la combinación de acciones resultante (también se conocen por juegos estratégicos). A estos juegos se les conoce por estáticos, porque ningún jugador sabe qué combinación de acciones eligió cada uno de los restantes jugadores; no hay tiempo para reaccionar. El dilema de los prisioneros es un juego estático.

Definiciones

Juego en Forma Normal: Definición

El dilema de los prisioneros usando nuestra nomenclatura

Matriz de Pagos para dilema de los prisioneros Dado que N=2, la matriz de pagos (PLATA AL SALIR DE PRISIÓN) para el dilema de los prisioneros ahora es el siguiente:

Estrategias Dominadas Nota: A partir de ahora hablaremos indistintamente de acción y estrategia; además, elegir una acción con probabilidad uno también se conoce con el nombre de estrategia pura. En el dilema de los prisioneros la estrategia N es dominada por la estrategia C; no importa qué haga el otro jugador, lo más conveniente para uno es CONFESAR. Una manera de resolver el juego (predecir qué sucederá si se juega) es eliminar las estrategias dominadas, puesto que un jugador racional no debería jugar estrategias dominadas.

Definición: Estrategias Dominadas

Implicación de Estrategias Dominadas Un jugador racional JAMÁS jugará una estrategia estrictamente dominada

Racionalización Elimine todas las Estrategias estrictamente dominadas ¿Aun existen estrategias dominadas? no Racionalice

Eliminando Estrategias Dominadas Ambos jugadores son racionales. ¿Cuál será el Resultado del Juego? Se deja afuera la demostración de la proposición 1, páginas 13 y 14 del texto

Eliminando Estrategias Dominadas Para Jug. 1, la estrategia B es dominada por M. Se deja afuera la demostración de la proposición 1, páginas 13 y 14 del texto Dominada: se elimina

Eliminando Estrategias Dominadas 2) Jug. 2 no tiene estrategias dominadas, pero sabe (1) por lo que ahora m domina a R Se deja afuera la demostración de la proposición 1, páginas 13 y 14 del texto

Eliminando Estrategias Dominadas 3) Al saber que para Jug. 2 R es dominada, Jug. 1 puede decidir a favor de M, es decir, M domina estrictamente a T Se deja afuera la demostración de la proposición 1, páginas 13 y 14 del texto

Eliminando Estrategias Dominadas 4) Finalmente, Jug 2 se da cuenta de lo anterior y elige L (L domina a m, o m es dominada por L). El resultado final es (M,L) Se deja afuera la demostración de la proposición 1, páginas 13 y 14 del texto

Ejemplo 10: Una licitación de sobre cerrado, segundo precio Considere la siguiente licitación en la que participan N empresas. Se vende un objeto (por ejemplo, una máquina) que las empresas valoran en v1 > v2 > … > vN. Gana la licitación quien declara valorar más el bien, pero paga la segunda valoración más alta. Si hay empate, el bien se asigna al de menor subíndice. Proposición 1: Para cada empresa, decir la verdad es una estrategia débilmente dominante. Se deja afuera la demostración de la proposición 1, páginas 13 y 14 del texto

Ejemplo 11a: Estrategias dominadas en el Dilema de los Prisioneros El pago es ahora MESES EN PRISIÓN Ahora: N es Dominante C es Dominada

Ejemplo 11b: Estrategias dominadas en el Dilema de los Prisioneros El pago es ahora PLATA AL SALIR DE PRISIÓN Ahora: C es Dominante N es Dominada

Ejemplo 12: Considere el siguiente juego El supuesto clave en este juego es que el jugador 2 sabe que el jugador 1 es racional y esto lo lleva a eliminar a. Pero, ¿es esto razonable? ¿Bajo qué condiciones? Observación: ¿Qué podemos esperar si resolvemos juegos eliminando estrategias dominadas sucesivamente?

Explicando Estrategias Dominadas Toda estrategia estrictamente dominada será eliminada, dado que anteriormente otros jugadores han eliminado sus estrategias dominadas. En este caso, el resultado no cambia con el orden de la eliminación. 2. El resultado puede depender del orden de eliminación si se eliminan estrategias débilmente dominadas.

Estrategias Dominadas: Otro Ejemplo Ambos son racionales por lo tanto no elegirán estrategias dominadas. 2 no podría comenzar sin observar a 1 1 si puede comenzar por sí solo:

Estrategias Dominadas: Otro Ejemplo Jugador 1: T domina estrictamente a M

Estrategias Dominadas: Otro Ejemplo Jugador 2: Al eliminar M de las estrategias de 1 R domina estrictamente a M

Estrategias Dominadas ¿Cuál es el Resultado Final después de la eliminación de estrategias dominadas? Un juego reducido de la forma: 1\2 L R T 3,2 1,1 B 2,3

Ejemplo 13: Juego en que el equilibrio depende del orden de eliminación (¡pensar!) ¿Qué pasa aun después, al eliminar todas las estrategias dominadas, con dicho conjunto reducido de estrategias en las que nada domina a nada? Respuesta: Equilibrio de Nash.

Ejemplo 13: Juego en que el equilibrio depende del orden de eliminación (¡pensar!) El Resultado DEPENDE: 1. Si eliminamos primerio b por parte del Jugador 2

Estrategias débilmente dominadas Ejemplo 13: Juego en que el equilibrio depende del orden de eliminación (¡pensar!) El Resultado DEPENDE: 2. Si eliminamos primerio a por parte del Jugador 2 ¿Porqué? Estrategias débilmente dominadas

FIN DE CLASE 3

Equilibrio de Nash En la mayoría de los casos, un juego no puede resolverse eliminando estrategias dominadas. (Resolver significa que el método entrega una predicción, posiblemente única, sobre cómo se jugará o se debe jugar el juego en cuestión). El concepto central de equilibrio de la teoría de juegos (y de toda la teoría microeconómica), el equilibrio de Nash, sugiere un algoritmo para elegir combinaciones de estrategias. Un equilibrio es una situación tal que ninguno de los jugadores quiere cambiar su decisión dada la combinación de estrategias del resto de los jugadores.

Definición de Equilibrio de Nash

Equilibrio de Nash en el Dilema de los Prisioneros Una manera rápida de hallar los Equilibrios de Nash es subrayar la mejor respuesta en términos de pagos Equilibrios de Nash corresponde a la esquina en donde ambos pagos están subrayados (PAGOS: PLATA AL SALIR DE PRISIÓN)

Ejemplo 14: Oligopolio Suponga un oligopolio en que las empresas deben decidir entre utilizar precios altos, bajos o de guerra. En este juego hay dos equilibrios de Nash. Consideremos primero al Jugador 1 (Mira Columnas, Elige Filas) Ahora, para el jugador 2 (Mira Filas, Elige Columnas) 1\2 Equilibrios de Nash

Otro Ejemplo: Dilema del Prisionero Extendido Ahora suponga que nuestros prisioneros pueden elegir arrancarse. Consideremos primero al Jugador 1 (Mira Columnas, Elige Filas) Ahora, para el jugador 2 (Mira Filas, Elige Columnas) Equilibrio de Nash

Algunas características del equilibrio de Nash… comienza 1. No es equilibrio de Nash, en el ejemplo, la combinación de estrategias que maximiza las utilidades conjuntas. (Un equilibrio de Nash no es, necesariamente, Pareto-Óptimo). 2. Un equilibrio de Nash no requiere de un agente externo para sostenerse ya que los incentivos son tales que no conviene salirse. Esta propiedad sugiere que el concepto de equilibrio de Nash es útil para diseñar un mecanismo de incentivos debido a que propone cómo usar el interés personal para lograr determinados resultados sin usar la coerción para inducirlos. 3. ¿Es una predicción razonable del resultado del juego? La definición no nos dice nada sobre cómo se llega a que todos los jugadores jueguen un equilibrio de Nash.

… Algunas características del equilibrio de Nash… termina (a) Una interpretación sugiere que el equilibrio de Nash es el resultado de la experimentación en el tiempo. Cuando los jugadores se dan cuenta que la experimentación no les lleva a mejorar su pago, el comportamiento se perpetúa. Notar que no deben haber vínculos estratégicos intertemporales. (b) Una segunda interpretación es que un equilibrio de Nash corresponde a lo que jugarán jugadores racionales que conocen el juego y cuya racionalidad es conocimiento común. Probablemente, (3a) es más razonable si lo que se pretende de la teoría de juegos es un modelo para analizar el comportamiento económico. 4. No todos los juegos tienen equilibrios de Nash en estrategias puras: recordar el juego policías y ladrones:

Estrategias Mixtas En el juego policías y ladrones no existe un equilibrio en estrategias puras debido a que el comportamiento sistemático de uno de los jugadores (Los ladrones prefieren robar en la zona 1) sería explotado por el otro (Los policías, normalmente indiferentes entre dónde patrullar, ahora prefieren la zona 1). Lo natural en estos casos es que el comportamiento de cada jugador sea aleatorio, o equivalentemente, que elija más de una estrategia pura con probabilidad positiva, es decir, que elija una estrategia mixta.

Definición de Estrategia Mixta Una estrategia mixta i es una distribución de probabilidades sobre estrategias puras. Denotamos por i(ai) la probabilidad que i le asigna a la estrategia pura ai

Propiedades de las Estrategias Mixtas

Propiedades de las Estrategias Mixtas

Explicando Estrategias Mixtas De acuerdo a lo anterior, una estrategia pura es un caso especial de una estrategia mixta Solo una acción es jugada con probabilidad positiva Las estrategias mixtas que involucran dos o más acciones jugadas con probabilidades positivas son llamadas Estrategias Estrictamente Mixtas

Regresando a la Batalla de los Sexos Suponga una nueva situación de conflicto representada la anterior matriz de pagos. En esta situación, una pareja casada debe decidir entre ir al ballet o al box Ambos prefieren pasar tiempo juntos La esposa prefiere ballet, el marido prefiere el box

Regresando a la Batalla de los Sexos Hay dos equilibrios de Nash en estrategias puras Ambos van al Ballet Ambos van al Box Aquí no hay estrategias dominantes pero, ¿Qué pasa con en estrategias mixtas?

Pagos esperados en la batalla de los sexos Suponga que la esposa escoge una estrategia mixta (1/9,8/9; ir predominantemente al box) y el marido escoge (4/5,1/5; ir predominantemente al ballet) El pago esperado para la mujer será:

Pagos esperados en la batalla de los sexos Más generalmente, ahora suponga que la señora escoge la estrategia mixta (w,1-w) y el marido (h,1-h) La mujer “juega” ballet con probabilidad w y el marido con probabilidad h El pago esperado de la esposa es ahora:

Pagos esperados en la batalla de los sexos La mejor respuesta de la Esposa depende de h si h < 1/3, ella deberá elegir w = 0 si h > 1/3, ella deberá elegir w = 1 si h = 1/3, su pago esperado es el mismo, no importando cual sea el valor de w que ella escoja

¿Porqué? El Problema de ella es: si h < 1/3 supón w=0, entonces φ=1-h , φ > 2/3  Elije w=0 supón w=1, entonces φ=2h , φ < 2/3 si h > 1/3 supón w=0, entonces φ=1-h , φ < 2/3 supón w=1, entonces φ= 2h, φ > 2/3  Elije w=1 si h = 1/3 φ= 2/3, independientemente del valor de w que ella escoja

Pagos esperados en la batalla de los sexos El pago esperado para el marido es: 2 – 2h – 2w + 3hw Resolviendo el problema de maximización del marido: Cuando w < 2/3, él debe escoger h = 0 Cuando w > 2/3, él debe escoger h = 1 Cuando w = 2/3, su pago esperado es el mismo, no importando cual sea el valor de h que él escoja

Pagos esperados en la batalla de los sexos marido Tres Equilibrios de Nash Mejor Respuesta del Marido, (BR1) 1 Mejor Respuesta de la Esposa, (BR1) 2/3 1/3 esposa 1/3 2/3 1

FIN DE CLASE 4

Intuición de Estrategias Mixtas Un jugador escoge el azar únicamente sobre las acciones sobre las cuales está indiferente La condición de indiferencia de un jugador fija la estrategia mixta del otro.

Propiedad de las Estrategias Mixtas Propiedad: En un equilibrio de Nash en estrategias mixtas, a cada jugador le es indiferente qué estrategia pura juega entre aquellas que, según su estrategia mixta, juega con probabilidad positiva.

Ejemplo 15: Equilibrio de Nash en estrategias mixtas… comienza Aplicando la propiedad anterior a este juego se tiene que, en equilibrio, a los policías les será indiferente en qué zona patrullar si el pago esperado es el mismo: l(1) + (1 - l)(- 1) = l(- 1) + (1 - l)(1) Donde l es la probabilidad que los ladrones operen en la zona 1. l -1 + l = - l + 1 - l 2l - 1 = 1 - 2l 4l = 2 l = 0.5 Paso 1: Desde el punto de vista del POLICIA

Ejemplo 15: Equilibrio de Nash en estrategias mixtas… continua A los ladrones les será indiferente en qué zona robar si la probabilidad p con que los policías patrullan la zona 1 es tal que: p(-1) + (1 - p)(2) = p(1) + (1 - p)(-1) -p + 2 - 2p = p + p - 1 2 - 3p = 2p - 1 3 = 5p p = (3/5) Paso 2: Desde el punto de vista del LADRÓN

Ejemplo 15: Equilibrio de Nash en estrategias mixtas… continua Resumen: Los POLICÍAS observan el comportamiento de los Ladrones, y adoptan como suya la probabilidad de que los Ladrones roben en una zona determinada. Los LADRONES, así mismo, observan el comportamiento de los Policías, y adoptan como suya la probabilidad de que los Policías vigilen en una zona determinada. AMBOS adoptan las probabilidades DEL OTRO jugador como propias.

Ejemplo 15: Equilibrio de Nash en estrategias mixtas… continua Por lo tanto, el Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas (el resultado final del juego) es: (z1/2 + z2/2, 3Z1/5 + 2Z2/5)

Ejemplo 15: Equilibrio de Nash en estrategias mixtas… finaliza Notar que los policías patrullan más en la zona 1 porque los ladrones prefieren robar allí. Su estrategia mixta de equilibrio queda determinada por las preferencias de los ladrones, no por su propia indiferencia. Lo mismo ocurre para los ladrones.

Críticas al Concepto de Estrategia Mixta 1. Si en el equilibrio los jugadores están indiferentes respecto a qué estrategia pura jugar, ¿por qué habrán de hacerlo justo con la frecuencia requerida por la estrategia mixta de equilibrio? Sin embargo, ésta no es una crítica condenatoria debido a que casi cualquier modelo económico utiliza una condición similar para poder ser resuelto y, dado que hemos supuesto funciones de utilidad del tipo VNM, las condiciones de indiferencia son válidas. 2. Cambios marginales en la estrategia mixta de un jugador llevan a cambios drásticos en el comportamiento del otro jugador. Esta discontinuidad es realmente la que no gusta. Harsanyi (1973) propuso soluciones a las críticas 1 y 2.

Existencia de un Equilibrio de Nash Vimos que el juego de policías y ladrones no tiene equilibrio de Nash en estrategias puras, pero sí lo tiene en estrategias mixtas. Esto no es casual, pues todo juego cuyo espacio de acciones es finito tiene, al menos, un equilibrio de Nash en estrategias puras o uno en estrategias mixtas (la suficiencia depende del supuesto que la función de utilidad de cada jugador es del tipo VNM). ¿Por qué nos preocupa la existencia del equilibrio? Si existe, el juego es consistente con la existencia de una solución estable en el largo plazo.