14 El cálculo de probabilidades se aplica para estudiar fenómenos en los que interviene el azar, como los accidentes de tráfico, los incendios, los temporales que amenazan las cosechas y la inseguridad económica. Las aseguradores calculan así las primas apropiadas a cada caso. Probabilidad INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA ACTIVIDAD

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Esquema de contenidos Probabilidad Experimentos aleatorios Espacio muestral L Sucesos compatibles Diagramas de árbol Operaciones con sucesos Unión Intersección Complementario Definición de probabilidad Regla de Laplace Aplicaciones Frecuencia y probabilidad Ley de los grandes números. Propiedades de la probabilidad Suceso seguro e imposible Propiedad de la unión Propiedad del contrario Clasificación en dos caracteres

La probabilidad de la unión de sucesos La unión de dos sucesos, AB, recoge todos los elementos que pertenecen a cada uno. Se puede representar gráficamente mediante un diagrama - llamado de Venn -, en el que los sucesos vienen representados por superficies que tienen zonas en común y zonas no comunes. SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos La unión de dos sucesos, AB, recoge todos los elementos que pertenecen a cada uno. Se puede representar gráficamente mediante un diagrama - llamado de Venn -, en el que los sucesos vienen representados por superficies que tienen zonas en común y zonas no comunes. En total, hay cuatro zonas: AB (zona 1), la parte de A que no tiene elementos de B (zona 2), la parte de B que no tiene elementos de B (zona 3) y la zona exterior que no tiene elementos de A ni de B (zona 4). Son zonas disjuntas, esto es, que un elemento del conjunto general sólo puede estar en una de ellas. AB 1 2 3 AB 4 SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos En total, hay cuatro zonas: AB (zona 1), la parte de A que no tiene elementos de B (zona 2), la parte de B que no tiene elementos de B (zona 3) y la zona exterior que no tiene elementos de A ni de B (zona 4). Todas las zonas son disjuntas. Podemos resolver diversos problemas gracias a este diagrama. En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos? AB 1 2 3 AB 4 SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos? Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas. AB Comenzamos obligatoriamente por la zona común, . En el enunciado se dice el porcentaje de habitantes que se incluyen en ella. 1 1 2 3 AB 4 SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos? Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas. AB Comenzamos obligatoriamente por la zona común, . En el enunciado se dice el porcentaje de habitantes que se incluyen en ella. 1 2 3 Leen los dos periódicos el 10 % de la población. 10 % 4 SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos? Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas. AB Seguimos con las zonas y . Sus porcentajes se obtienen restando el 10 % común a los datos del enunciado. 2 3 2 3 10 % 4 SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos? Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas. AB Seguimos con las zonas y . Sus porcentajes se obtienen restando el 10 % común a los datos del enunciado. 2 3 10 % Para la zona , 25 %  10 % = 15 %. 2 15 % 4 Para la zona , 18 %  10 % = 8 %. 3 8 % SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos? Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas. AB Para la zona , tenemos que tener en cuenta que el porcentaje de los que leen uno o dos diarios es: 15 % + 8 % + 10 % = 33 %. Luego, en esta zona pondremos 100 %  33 % = 66 %. 4 8 % 15 % 10 % 4 66 % SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos? Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas. AB Para la zona , tenemos que tener en cuenta que el porcentaje de los que leen uno o dos diarios es: 15 % + 8 % + 10 % = 33 %. Luego, en esta zona pondremos 100 %  33 % = 66 %. 4 8 % 15 % 10 % 66 % Podemos contestar ya a las dos preguntas. SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos? La primera ya ha sido contestada: leen alguno de los diarios el 33 % que es la suma de los porcentajes que aparecen en el interior de los sucesos. AB 8 % 15 % 10 % Leen solamente uno de ellos el 23 % de los ciudadanos, que es la suma de 15 % y 8 %, correspondientes a las zonas adecuadas del gráfico. 66 % SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos La misma situación la podemos interpretar con 3 diarios, A, B y C. En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Se elige un ciudadano al azar y se desea saber: a) ¿Cuál es la probabilidad de que lea algún periódico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea A y B pero no C? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo lea el periódico B? Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen. SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen. Se observa que ahora hay ocho “zonas”. Lo importante es que un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una sola de ellas. 2 1 4 Ha de empezarse obligatoriamente por la zona común, . En el enunciado se dice el porcentaje que la forman. 7 7 6 5 3 SIGUIENTE 8

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen. Se observa que ahora hay ocho “zonas”. Lo importante es que un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una sola de ellas. 2 1 Ha de empezarse obligatoriamente por la zona común, . En el enunciado se dice el porcentaje que la forman. 4 7 6 5 Los tres periódicos los leen el 9 % de la población. 3 SIGUIENTE 8

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen. Se sigue con las zonas comunes a dos diarios, es decir las zonas, , y . 4 5 6 2 1 ¿Puedes determinar los porcentajes de cada una a partir del enunciado? 4 9 % 6 5 3 SIGUIENTE 8

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen. Se sigue con las zonas comunes a dos diarios, es decir las zonas, , y . 4 5 6 2 1 Para la zona , 14 %  9 % = 5 %. 4 4 Para la zona , 13 %  9 % = 4 %. 5 9 % 6 Para la zona , 11 %  9 % = 2 %. 6 5 3 SIGUIENTE 8

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen. Se sigue con las zonas comunes a dos diarios, es decir las zonas, , y . 4 5 6 2 1 Para la zona , 14 %  9 % = 5 %. 4 5 % Para la zona , 13 %  9 % = 4 %. 5 4 % 9 % Para la zona , 11 %  9 % = 2 %. 6 2 % 3 SIGUIENTE 8

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen. Seguimos ahora con las zonas , , y . 1 2 3 2 1 ¿Puedes hallar los porcentajes que quedan para cada zona? 5 % 9 % 2 % 4 % 3 SIGUIENTE 8

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen. Seguimos ahora con las zonas , , y . 1 2 3 Para la zona , 30 % 5%9%4% =12 %. 1 5 % Para la zona , 20 % 5%9%2% = 4 %. 2 9 % 2 % 4 % Para la zona , 16 % 2%9%4% = 1 %. 3 SIGUIENTE 8

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen. Finalmente, completamos la distribución de porcentajes con la zona , que es la de los 8 que no leen ningún diario. 4 % 12 % 5 % ¿Qué porcentaje corresponde a esta zona? 9 % 2 % 4 % 1 % SIGUIENTE 8

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen. Finalmente, completamos la distribución de porcentajes con la zona , que es la de los 8 que no leen ningún diario. 4 % 12 % 5 % La suma de todos los porcentajes del gráfico da: 12 + 5+ 9+ 4+ 4+ 2 +1 = 39 %. 9 % 2 % 4 % Por tanto, el porcentaje de los que no leen es del 100 %  39 % = 61 %. 61 % 1 % Es fácil contestar ya a las preguntas del problema. SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Se elige un ciudadano al azar y se desea saber: a) ¿Cuál es la probabilidad de que lea algún periódico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea A y B pero no C? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo lea el periódico B? ¿Puedes reconocer sobre la figura la zona o zonas que constituyen la respuesta a cada pregunta? 4 % 12 % 5 % 9 % 2 % 4 % 1 % 61 % SIGUIENTE

La probabilidad de la unión de sucesos En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %. Se elige un ciudadano al azar y se desea saber: a) ¿Cuál es la probabilidad de que lea algún periódico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea A y B pero no C? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo lea el periódico B? a) La probabilidad de seleccionar un ciudadano que haya leído algún periódico es 39 %, suma que ya había sido obtenida. 4 % 12 % 5 % b) La respuesta es 5 %, que está en la zona común a A y B, pero no a C. 9 % 2 % 4 % c) La respuesta es 4 %. 1 % 61 %

Regla de Laplace La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un suceso A viene dada por la expresión: Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él. SIGUIENTE

Regla de Laplace La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un suceso A viene dada por la expresión: Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él. Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras. SIGUIENTE

Regla de Laplace La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un suceso A viene dada por la expresión: Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él. Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras. Una resolución incorrecta sería la que considerase que hay 5 posibilidades (“Salir 4 caras”, “Salir 3 caras y una cruz”, “Salir 2 caras y 2 cruces”, “Salir 1 cara y 3 cruces” y “Salir 4 cruces”), De ellas, las dos primeras son aquellas en las que hay mayoría de caras. Luego - razonaríamos erróneamente-, hay 2 casos de 5 y, por tanto, la probabilidad sería 2/5 = 0,4 = 40 %. ¿Por qué es errónea esta manera de razonar? SIGUIENTE

Regla de Laplace La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un suceso A viene dada por la expresión: Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él. Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras. Una resolución incorrecta sería la que considerase que hay 5 posibilidades (“Salir 4 caras”, “Salir 3 caras y una cruz”, “Salir 2 caras y 2 cruces”, “Salir 1 cara y 3 cruces” y “Salir 4 cruces”), De ellas, las dos primeras son aquellas en las que hay mayoría de caras. Luego - razonaríamos erróneamente -, hay 2 casos de 5 y, por tanto, la probabilidad sería 2/5 = 0,4 = 40 %. ¿Por qué es errónea esta manera de razonar? El espacio muestral de casos posibles es inadecuado porque, por ejemplo, es mucho más probable “Salir 3 caras y una cruz” que “Salir 4 caras” que sólo puede salir de una manera, todas las monedas caras. SIGUIENTE

Regla de Laplace Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras. Para resolver correctamente el problema, supongamos las 4 monedas diferentes. Por ejemplo, llamémoslas A, B C y D. Los casos posibles (observa que todos tienen las mismas posibilidades) pueden observarse en la siguiente tabla (C es cara, K es cruz), que no es un diagrama de árbol expresado de otra manera: Moneda A C K Moneda B Moneda C Moneda D Número de caras 4 3 2 1 Como puedes observar, hay 16 casos posibles. De ellos, hay mayoría de caras en 5 casos. Por tanto, según la regla de Laplace: SIGUIENTE

Problemas con dados Los dados típicos son cúbicos, aunque hay juegos que utilizan dados de otras formas: tetraedros, octaedros, dodecaedros... Si se lanzan dos o más de ellos, tenemos que considerar espacios muestrales que se ajusten a la Regla de Laplace, es decir, que todos los casos tengan las mismas posibilidades de salir. Una manera de conseguir esto es considerar los dados de distinto color. Aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. SIGUIENTE

Problemas con dados Los dados típicos son cúbicos, aunque hay juegos que utilizan dados de otras formas: tetraedros, octaedros, dodecaedros... Si se lanzan dos o más de ellos, tenemos que considerar espacios muestrales que se ajusten a la Regla de Laplace, es decir, que todos los casos tengan las mismas posibilidades de salir. Una manera de conseguir esto es considerar los dados de distinto color. Aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. SIGUIENTE

Problemas con dados Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. Escribiremos el total de los 36 casos que pueden presentarse: SIGUIENTE

Problemas con dados Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. Escribiremos el total de los 36 casos que pueden presentarse: 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 Ahora, llevaremos cada caso a cada uno de los sucesos del enunciado. SIGUIENTE

Problemas con dados Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. 11 12 13 14 15 16 “Sacar número máximo el 1” 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 SIGUIENTE

Problemas con dados Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. “Sacar número máximo el 1” =11 12 13 14 15 16 “Sacar número máximo el 2” 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 SIGUIENTE

Problemas con dados Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. “Sacar número máximo el 1” =11 13 14 15 16 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 “Sacar número máximo el 3” 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 SIGUIENTE

Problemas con dados Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. “Sacar número máximo el 1” =11 14 15 16 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22 24 25 26 “Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 “Sacar número máximo el 4” 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 SIGUIENTE

Problemas con dados Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. “Sacar número máximo el 1” =11 15 16 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22 25 26 “Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33 35 36 “Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 “Sacar número máximo el 5” SIGUIENTE

Problemas con dados Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. “Sacar número máximo el 1” =11 16 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22 26 “Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33 36 “Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44 46 56 61 62 63 64 65 66 “Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55 “Sacar número máximo el 6” = SIGUIENTE

Problemas con dados Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. “Sacar número máximo el 1” =11 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22 “Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33 “Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44 “Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55 “Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66 SIGUIENTE

Problemas con dados Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. “Sacar número máximo el 1” =11 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22 “Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33 “Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44 “Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55 “Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66 ¿Puedes dar ya las probabilidades de cada suceso? SIGUIENTE

Problemas con dados Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto. Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. “Sacar número máximo el 1” =11 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22 “Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33 “Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44 “Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55 “Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66 SIGUIENTE

Problemas con dos criterios de clasificación En ciertos casos de la vida corriente, se presentan situaciones en las que hay dos criterios de clasificación y se desean conocer ciertas probabilidades. Una tabla (denominada “de contingencia”) aclara la situación por completo. SIGUIENTE

Problemas con dos criterios de clasificación En ciertos casos de la vida corriente, se presentan situaciones en las que hay dos criterios de clasificación y se desean conocer ciertas probabilidades. Una tabla (denominada “de contingencia”) aclara la situación por completo. En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. a) Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria. ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva? b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo? SIGUIENTE

Problemas con dos criterios de clasificación En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria. a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva? b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo? Los datos se colocan en la tabla de doble entrada siguiente: De Villanueva De fuera TOTALES De 1er ciclo De 2.º ciclo SIGUIENTE ¿Puedes ponerlos tú?

230 60 250 400 Problemas con dos criterios de clasificación En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria. a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva? b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo? Los datos se colocan en la tabla de doble entrada siguiente: De Villanueva De fuera TOTALES De 1er ciclo De 2.º ciclo 230 60 250 400 SIGUIENTE A partir de los totales (en vertical y horizontal) es fácil completar las restantes casillas de la tabla.

Problemas con dos criterios de clasificación En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria. a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva? b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo? Los datos se colocan en la tabla de doble entrada siguiente: De Villanueva De fuera TOTALES De 1er ciclo De 2.º ciclo 140 90 230 110 60 170 250 150 400 SIGUIENTE

Problemas con dos criterios de clasificación En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria. a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva? b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo? De Villanueva De fuera TOTALES De 1er ciclo De 2.º ciclo Resulta ahora fácil contestar a las preguntas: 140 90 230 110 60 170 250 150 400 SIGUIENTE

Problemas con dos criterios de clasificación En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria. a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva? b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo? De Villanueva De fuera TOTALES De 1er ciclo De 2.º ciclo Resulta ahora fácil contestar a las preguntas: 140 90 230 De un total de 400 alumnos, hay 110 que cumplen la condición. La probabilidad es: 110/400 = 0,275 = 27,5 % 110 60 170 250 150 400 SIGUIENTE

Problemas con dos criterios de clasificación En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria. a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva? b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo? De Villanueva De fuera TOTALES De 1er ciclo De 2.º ciclo Resulta ahora fácil contestar a las preguntas: 140 90 230 De un total de 400 alumnos, hay 110 que cumplen la condición. La probabilidad es: 110/400 = 0,275 = 27,5 % 110 60 170 250 150 400 b) El total es ahora 150, los alumnos de fuera. Cumplen la condición 60 de ellos. Luego, la probabilidad es: 60/150 = 0,4 = 40 %

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Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números Dirección: http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/ En esta dirección tenemos acceso a la comprobación experimental de ciertas paradojas de probabilidad. Para conocerlo, sigue este enlace.