UNIDAD III PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA “Diapositivas Unidad III” M.A. Erika Straffon Del Castillo

Ejemplo 1 Programación lineal Una empresa fabrica dos productos, A y B. Cada uno requiere tiempo en dos máquinas. La primera máquina tiene 24 horas disponibles y la segunda tiene 16. Cada unidad del producto A requiere dos horas en ambas máquinas y cada unidad del producto necesita tres horas en la primera máquina y una en la segunda. Los beneficios son seis dólares por unidad de A y de siete dólares por unidad de B, la empresa puede vender todas las unidades que fabrique de ambos productos. Suponga que el objetivo es maximizar el beneficio; ¿cuántas unidades de los productos A y B debe producir? Formulación: X1 = Número de unidades del producto A que se fabricarán. X2 = Número de unidades del producto B que se fabricarán P = Beneficio total para la empresa. Maximizar: P = 6 X1 + 7 X2 Sujeto a: 2 X1 + 3 X2 ≤ 24 2 X1 + X2 ≤ 16 X1 + X2 ≥ 0

La figura anterior muestra las dos ecuaciones de restricción La figura anterior muestra las dos ecuaciones de restricción. La ecuación 2 X1 + 3 X2 ≤ 24 es la restricción que impone la limitación de horas disponibles (24) en la primera máquina, y todos los puntos situados a la izquierda y debajo de la línea son combinaciones posibles (factibles) de X1 y X2 . Análogamente; 2 X1 + X2 ≤ 16 es la restricción que se relaciona con la segunda máquina, y todos los puntos situados abajo y ala izquierda son factibles. También están las restricciones X1 + X2 ≥ 0, ya quela producción no puede ser negativa.

Considera el punto F dentro de la región sombreada, la cual comprende la producción de cinco unidades del producto A y cuatro unidades del producto B. Para ello se requieren 2 * 5 + 3 * 4 = 22 horas en la primera máquina. Esta cifra es menor que las 24 horas disponibles y por lo tanto cumple con la restricción de la primera máquina. Así mismo, se requieren 2 * 5 + 1 * 4 = 14 horas en la segunda máquina, también menor que el límite de 16 horas disponibles. El vértice específico que será la solución dependerá de la pendiente de la función de beneficio, es decir, de la rentabilidad relativa de los productos A y B.

Ejemplo 2 Método simplex Se retomará la información del ejemplo 1 de la Unidad 1 (Caso Reddy Mikks) para poder explicar el método simplex. Se considerará la siguiente forma estándar: Maximizar z: 3XE + 2X1 + 0s1 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 Sujeto a: XE + 2XI + S1 = 6 2XE + XI + S2 = 8 - XE + XI + S3 = 1 XI + S4= 2 XE , XI , S1, S2, S3, S4 ≥ 0 El modelo tiene m = 4 ecuaciones y n = 6 variables. Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 Solución 1 -3 -2 ecuación 2 6 8 -1

La anterior tabla muestra a la solución básica inicial del modelo La anterior tabla muestra a la solución básica inicial del modelo. La información en la tabla se lee de la siguiente manera. La columna “básica” identifica las variables básicas actuales s1 , s2 , s3 y s4 , cuyos valores de dan en la columna “solución”. Esto supone implícitamente que las variables no básicas X1 y X2 (aquellas no presentes en la columna “básica” tienen valor cero. El valor correspondiente de la función objetivo es: Z = 3 * 0 + 2 * 0 + 0 * 6 + 0 * 8 + 0 * 1 + 0 * 2 = 0 , como se muestra en la columna solución. Al aplicar la condición de optimidad, XE tiene el coeficiente más negativo en la ecuación z y por ello, se escoge como la variable entrante. La condición de factibilidad muestra que s2 corresponde a la menor intersección, por lo que deberá salir de la intersección.

Al aplicar el método Gauss-Jordan la tabla quedaría de la siguiente forma: La nueva solución resulta ser: XE = 4 y XI = 0 Ver gráfica es el punto B, solución optima.

Ejemplo 3 Modelo de transporte MG Auto Company tiene plantas en los Ángeles, Detroit y Nueva Orleans. Sus centros de distribución principales están ubicados en Denver y Miami. Las capacidades de las tres plantas durante el trimestre próximo son de 1000, 1500 y 1200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2300 y 1400 vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es aproximadamente de 8 centavos por milla. El diagrama de la distancia recorrida entre las plantas y los centros de distribución es el siguiente. Denver Miami Los Ángeles 1000 2690 Detroit 1250 1350 Nueva Orleans 1275 850 El diagrama de la distancia del recorrido puede traducirse en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Esto produce los costos siguientes (redondeados a números enteros), que representan a cij del modelo original:

Denver (1) Miami (2) Los Ángeles (1) 1000 2690 Detroit (2) 1250 1350 Nueva Orleans (3) 1275 850 Mediante el uso de código numéricos para representar las plantas y centros de distribución, hacemos que xij represente el número de automóviles transportados de la fuente i al destino j. Como la oferta total (igual 1000 + 1500 + 1200 = 3700) es igual a la demanda total (=2300 + 1400 = 3700), el modelo de transporte resultante está equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo muestra el problema tiene todas la restricciones de igualdad: Minimizar z = 80x11 + 215x12 + 100x21 + 108x12 + 102x31 + 68x32 Sujeto a x11 + x12 = 1000 + x21 + x22 = 1500 + x31 + x32 = 1200 x11 + x21 + x31 = 2300 + x12 + x22 + x32 = 1400 xij ≥ 0 , para todas las i y j

La tabla de transporte es la forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas el destino. Los elementos de costo cij se resumen en la esquina noreste de la celda de la matriz (i, j).

Ejemplo 3 Modelo de redes La compañía “Cablevisión”, está planeado una red para dar servicio de TV por cable a cinco nuevas áreas de desarrollo habitacional. La red del sistema de cable se resume en la siguiente figura. Los números asociados con cada rama representan la longitud de cable (en millas) que se necesita para conectar dos sitios cualesquiera. El nodo 1 representa la estación de TV por cable y los nodos restantes (2 a 6) representan las cinco áreas de desarrollo. Una rama faltante entre dos nodos implica que es prohibitivamente costo o físicamente imposible conectar las áreas de desarrollo asociadas. Se necesita determinar los enlaces que originarán el uso mínimo de cable a la vez que se garantiza que todas las áreas se conecten (directa o indirectamente) a la estación de TV por cable.

Solución gráfica, mediante iteraciones Solución gráfica, mediante iteraciones. El procedimiento puede iniciarse desde cualquier nodo, terminado siempre con la misma solución óptima.

El nodo 1 representa el conjunto de “nodos conectados” El nodo 1 representa el conjunto de “nodos conectados”. El conjunto de “nodos no conectados” lo representan los nodos 2, 3, 4, 5 y 6. En forma simbólica es: C = {1} , Ĉ = {2, 3, 4, 5, 6} Iteración 1: El nodo 1 debe conectarse al nodo 2, que es el nodo más próximo en Ĉ = {2, 3, 4, 5, 6}. Por tanto: C = {1,2} , Ĉ = {3, 4, 5, 6} Iteración 2: Los nodos 1 y 2 (del conjunto C) ahora están unidos permanentemente. En la iteración 2 seleccionamos un nodo en Ĉ = {3, 4, 5, 6} que éste es el más próximo a un nodo C = {1, 2}. Como la distancia que ocurre entre 2 y 5. C = {1,2, 5} , Ĉ = {3, 4, 6} Iteración 3: Son las distancias de los nodos C = {1,2, 5} a todos los nodos en C = {3, 4, 6}. Por tanto, los nodos 2 y 4 están conectados, que produce: C = {1,2, 4, 5} , Ĉ = {3, 6}

Iteración 4: Se refiere a los nodos 4 y 6 los cuales deben estar conectados. Iteración 5: Existe un empate que se puede romper arbitrariamente. Esto quiere decir que podemos conectar 1 y 3 o 4 y 3. Ambas soluciones (alternativas) nos conducen a: C = {1,2,3, 4, 5, 6} , Ĉ = {0} Como todos los nodos están conectados, el procedimiento está completo. La longitud mínima (en millas) de cable que se utiliza para conectar las áreas de desarrollo habitacional a la estación de TV es igual a 1 + 3 + 4 + 3 + 5 = 16 millas. Referencias bibliográficas Bierman, Bonini y Hausman (1994). Análisis cuantitativo para la toma de decisiones. Wilmington, Delaware: Addison-Wesley Iberoamericana. Taha, Hamdy A. (2004) Investigación de operaciones. México: Alfaomega.