Ensayo de Rendimiento DISTRIBUCIÓN DE ESTADÍSTICOS MUESTRALES

Muestreo Objetivo: conocer propiedades de una población a partir de una muestra Propiedades Parámetros Los estadísticos muestrales sirven como estimación (aproximación) de los parámetros

Muestreo Los parámetros son constantes Los estadísticos son variables aleatorias y poseen distribución asociada

Distribución de estadísticos muestrales: objetivos Comprender la naturaleza aleatoria de los estadísticos muestrales. Estudiar las propiedades estadísticas de la media y la varianza muestrales. Adquirir destrezas en el cálculo de probabilidades asociadas a estos estadísticos.

Distribución de estadísticos muestrales Las distribuciones de los estadísticos muestrales se estudian suponiendo poblaciones de tamaño infinito.

Distribución de los estadísticos muestrales Muestreo aleatorio con reposición: las unidades seleccionadas pueden repetirse dentro de la muestra y entre muestras. Muestreo aleatorio sin reposición: las unidades seleccionadas no se repiten dentro de la muestra y entre muestras.

Distribución del estadístico media muestral: ejemplo Se tiene una población (finita) de cuatro plantas de zapallos (N=4), donde la característica de interés es el número de zapallos por planta. Se realizará un muestreo aleatorio simple con reposición, para muestras de tamaño 2. Objetivo: estudiar la distribución de la media muestral.

Distribución del estadístico media muestral Función de densidad del número de frutos en una población de 4 plantas de zapallo. Planta X = Nº de frutos f(xi) P1 3 1/4 P2 2 P3 1 P4 4

Distribución del estadístico media muestral La esperanza será:

Distribución del estadístico media muestral La varianza será:

Distribución del estadístico media muestral Tomando muestras de dos plantas con reposición, hay N2 muestras posibles para extraer, esto es 42=16 muestras.

Distribución del estadístico media muestral Espacio muestral generado por muestreo aleatorio con muestras de tamaño n=2, con reposición, de una población de cuatro plantas de zapallo. Muestra Plantas Nro. de frutos Media muestral 1 P1P1 3; 3 3.0 9 P3P1 1; 3 2.0 2 P1P2 3; 2 2.5 10 P3P2 1; 2 1.5 3 P1P3 3; 1 11 P3P3 1; 1 1.0 4 P1P4 3; 4 3.5 12 P3P4 1; 4 5 P2 P1 2; 3 13 P4P1 4; 3 6 P2 P2 2; 2 14 P4P2 4; 2 7 P2 P3 2; 1 15 P4P3 4; 1 8 P2 P4 2; 4 16 P4P4 4; 4 4.0

Distribución del estadístico media muestral 1 1.(1/16) = 0.0625 1.5 2.(1/16) = 0.125 2 3.(1/16) = 0.1875 2.5 4.(1/16) = 0.25 3 3.5 4 Valores que asume la variable aleatoria “media muestral del número de frutos” en muestras de tamaño n=2 y sus densidades.

Distribución del estadístico media muestral Función de densidad de la variable aleatoria media muestral del número de frutos.

Distribución del estadístico media muestral Error Estándar Error Estándar

Distribución del estadístico media muestral Si se hubieran utilizado muestras de mayor tamaño, se vería que la función de densidad se aproxima más aún a la gráfica de una densidad normal, con idéntica esperanza y varianza inversamente proporcional al tamaño muestral. Este comportamiento no es casual sino la consecuencia de un importantísimo resultado que se resume en el siguiente teorema:

Teorema Central del Límite Sea X una variable aleatoria con esperanza µ y varianza finita 2. Sea la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n y Z la variable aleatoria definida como: entonces, la distribución de Z se aproxima a la distribución normal estándar cuando n se aproxima a infinito.

Ejemplo de un muestreo aleatorio sin reposición desde una población finita Rendimientos de un híbrido de maíz (N=15) Sin reposición  = 101.77 2 = 44.67

Muestreo Muestreo: todas las muestras posibles de tamaño n Estadísticos: media y varianza muestrales

Distribución de las medias de muestras con n=2

Distribución de las medias de muestras con n=3

Distribución de las medias de muestras con n=5

Distribución de las medias de muestras con n=8

Corrección por finitud Distribución del estadístico media muestral Cuando se hace un muestreo aleatorio sin reposición desde una población finita las expresiones para obtener la esperanza y la varianza de la variable media muestral son: Corrección por finitud

En síntesis:

En síntesis: n=2 n=3 n=5 n=8

Conclusión Cuando el tamaño de la muestra aumenta, la varianza de las medias disminuye Recordando… Error Estándar

Ejemplo El diámetro de las tortas de girasol se distribuye normalmente con media 18 cm y desviación estándar de 6 cm. En una muestra de 10 tortas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar tortas con diámetro promedio inferior a 16 cm?

Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad, en una muestra con n=10, de encontrar tortas con diámetro inferior a 16 cm. si la distribución del diámetro se aproxima a una N (18;36/10)?

Ejemplo Área: P(Zz) Tabla de Cuantiles de la Distribución Normal

Distribución del estadístico media muestral Cuando no se conoce la varianza poblacional: Grados de libertad Observación: los grados de libertad de la T se corresponden con el tamaño de la muestra con la que se calculó S.

Distribución T de Student

Ejemplo Si la producción diaria de leche se aproxima a una distribución normal y se tiene la siguiente muestra de producciones diarias de leche (en litros): 67.9 69.3 70.0 74.8 75.3 69.6 67.3 65.8 70.5 ¿Cuál es la probabilidad que una variable T, con los grados de libertad apropiados para este problema, exceda el valor de T obtenido a partir de los datos anteriores, si se supone que la producción promedio de leche en la población es de 67 litros?

Ejemplo

Ejemplo Tabla de Cuantiles de la Distribución T

Distribución asociada al estadístico varianza muestral Espacio muestral generado por muestreo aleatorio con muestras de tamaño n=2, con reposición, de una población de cuatro plantas de zapallo. Muestra Plantas Nº de frutos Varianza 1 P1P1 3-3 0.0 9 P3P1 1-3 2.0 2 P1P2 3-2 0.5 10 P3P2 1-2 3 P1P3 3-1 11 P3P3 1-1 4 P1P4 3-4 12 P3P4 1-4 4.5 5 P2P1 2-3 13 P4P1 4-3 6 P2P2 2-2 14 P4P2 4-2 7 P2P3 2-1 15 P4P3 4-1 8 P2P4 2-4 16 P4P4 4-4

Distribución del estadístico varianza muestral 4.(1/16) = 0.25 0.5 6.(1/16) = 0.375 2 4.5 2.(1/16) = 0.125 Valores que asume la variable aleatoria “varianza muestral del número de frutos” en muestras de tamaño n=2 y sus densidades.

Distribución del estadístico varianza muestral Función de densidad de la variable aleatoria varianza muestral del número de frutos.

Distribución de las varianzas de muestras con n=3 Estadística descriptiva Variable Media Var(n) VarianzaC(n=3) 44.67 1977.49

Distribución de las varianzas de muestras con n=5 Estadística descriptiva Variable Media Var(n) VarianzaC(n=5) 44.67 873.27

Distribución Chi cuadrado Para calcular probabilidades asociadas a varianzas muestrales se utiliza la distribución de la variable: Grados de libertad

Distribución Chi cuadrado

Ejemplo Un fitomejorador desea controlar la variabilidad de los brotes comerciales de espárrago, ya que las normas de embalaje establecen una longitud máxima de cajas de 23.5 cm. La variable largo del brote de espárrago sigue una distribución normal, con una varianza de 2.25 cm2.

Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad que una muestra de 5 cajas, tenga una desviación estándar que exceda a 2 cm, si la verdadera desviación estándar es de 1.5 cm?

Ejemplo Tabla de Cuantiles de la Distribución Chi-Cuadrado