CAPITULO XII : METODO DE CROSS..

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1 CAPITULO XII : METODO DE CROSS.

2 Lección 21 : Rigidez en un extremo apoyado de una barra. Coeficiente de transmisión. Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución. Momentos de empotramiento perfecto. Método de Cross para nudos no traslacionales. Simplificaciones. Método de Cross para nudos traslacionales. Simplificaciones.

3 21.1 .- Rigidez en un extremo apoyado de una barra.
dva = 0 dvb = 0 dhb = 0 f Flb = 0 B Rigidez = KAB = MA / fA MA Flexibilidad = 1/KAB = fA / MA fA =0= MA ·L ·L/2EIz - RA·L3/3EIz fA =MA·L/EIz - RA·L2/2EIz MA·3/2·L = RA fA =MA·L/EIz – 3/2·MA·L/2EIz KAB = MA / fA= 4·E·Iz / L

4 21.1 .- Coeficiente de transmisión.
dva = 0 dvb = 0 dhb = 0 f Flb = 0 MB MA KAB = MA / fA= 4·E·Iz/L B MA B fA = MA·L/3EIz - MB·L/6EIz fB = 0 = - MBL/3EIz + MAL/6EIz MA = 2·MB => CtAB = MB/MA= 1/2

5 21.1 .- Coeficiente de transmisión.
dvb = 0 dhb = 0 dva = 0 MA B fA = MA·L/3EIz KAB = MA / fA= 3·E·Iz/L = 0,75· 4·E·Iz/L CtAB = MB/MA= 0

6 21.1 .- Coeficiente de transmisión.
MA B KAB = MA / fA= 4·E·Iz/L CtAB = MB/MA= 1/2 CtAB = MB/MA= 0 KAB = MA / fA= 3·E·Iz/L MA B MA B CtAB = MB/MA= 0 KAB = MA / fA= 0

7 21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución.
MB C B D E MB MAB MAB MAE MAE MA MA MAC MAC MAD MAD MA= MAB + MAC + MAD + MAE

8 21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución.
MAB B KAB = MAB / fA= 4·E·Iz/L CtAB = MB/MAB= 1/2 CtAC = MC/MAC= 0 KAC = MAC/ fA= 3·E·Iz/L MAC C MAD D CtAD= MD/MAD= 0 KAD = MAD/ fA= 0 CtAE = ME/MAE= 0 KAE = MAE/ fA= 3·E·Iz/L MAE E

9 21.2 .- Rigidez de un nudo. Coeficientes de reparto o factores de distribución.
MA KAB = MAB / fA= 4·E·Iz/L CtAB = MB/MAB= 1/2 = (4/10)·KA CtAC = MC/MAC= 0 KAC = MAC / fA= 3·E·Iz/L = (3/10)·KA CtAD = MD/MAD= 0 KAD = MAD / fA= 0 = (0/10)·KA CtAE = MC/MAE= 0 KAE = MAE / fA= 3·E·Iz/L = (3/10)·KA MA= MAB + MAC + MAD + MAE MAB= (4/10)·MA MB = (2/10)·MA KA = KAB + KAC + KAD + KAE MAC= (3/10)·MA MAD= (0/10)·MA KA = MA / fA = 4·E·Iz/L + 3·E·Iz/L ·E·Iz/L = 10·E·Iz/L MAE= (3/10)·MA

10 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro)
B A L MA MB fB = 0 =q·L3/24EIz - MBL/3EIz - MAL/6EIz | MB | = | MA | = M => q·L3/24EIz = M·L/2EIz M = q·L2/12 MA = + q·L2/12 MB = - q·L2/12

11 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro)
dva = 0 dvb = 0 dhb = 0 f Flb = 0 B P A MB B P fA = 0 = (P·L/2·L/2·1/2·(2/3·L/2+L/2)-RA·L·L·1/2·2/3·L)/EIz = (5/48·P·L3- 1/3·RAL3)/EIz 5/16·P = RA MB = -1/2·P·L + RAL = -3/16·P·L MA = 0

12 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro)
B A L a b C MA MB RA RB a·RA SMA = 0 = MA + M - MB + RB·L b·RB SMC = 0 = MA + M - MB + RB·b - RA·a a·RA b·RB R’B R’A fB = 0 = (RA·a2/2·(b+1/3·a) + RB·b3/3 - MBL2/6 - MAL2/3)/EIz fA = 0 = (RB·b2/2·(a+1/3·b) + RA·a3/3 - MAL2/6 - MBL2/3)/EIz fB = 0 = (RA·a2/2 + RB·b2/2 - MBL/2 - MAL/2)/EIz =>

13 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro)

14 21.3 .- Momentos de empotramiento perfecto (no admiten giro)

15 21.4 .- Método de Cross .Introducción.
Objetivo: determinar los momentos que los nudos de una estructura ejercen sobre las barras. Conocidos estos, puede determinarse el Diagrama de MF de cada barra, supuesta apoyada en sus extremos. Tipos de nudos rígidos: Inamovibles o absolutamente fijos (fv, fh y f nulos) No traslacionales (fv, fh nulos, pero pueden girar) Traslacionales: permiten desplazarse y girar. Las deformaciones debidas a esfuerzos Normales y Cortantes se suelen despreciar frente a las de Flexión.

16 21.4 .- Método de Cross .Etapas.
Se usa en nudos no traslacionales 1.- Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto (como si los nudos fuesen absolutamente fijos) 2.- Equilibrado de los nudos, repartiendo el momento de equilibrado entre las barras concurrentes proporcionalmente a sus rigideces.

17 21.4 .- Método de Cross .Ejemplo.
IAB = IAC = Iz C A L B P KAC = 4·E· Iz/2L = 2·E· Iz/L KAB = 3·E· Iz/L KA = KAB + KAC = 5·E· Iz/L CrAB = KAB/ KA = 3/5 = 0,6 C A B P CrAC = KAC/ KA = 2/5 = 0,4 L P C A A B L

18 21.4 .- Método de Cross .Ejemplo.
B P A MBA CrAB = 0,6 -3PL/20 MA MAB MAC MAD MAE MB CtAB = 0 MAC CrAC = 0,4 + PL/4 -PL/10 3PL/20 MC CtAC = 1/2 - PL/4 -PL/20 -3PL/10 L P C A A B L CtAC = 1/2 CrAB = 0,6 MA = + Pab2/L2 = + PL3/(2L)2 = + PL/4 CrAC = 0,4 MC = - Pba2/L2 = - PL3/(2L)2 = - PL/4

19 21.4 .- Método de Cross : ESPECIFICACIÓN DE MOMENTOS.
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