1 Búsqueda en Grafos zAnchura zProfundidad. 2 Definiciones Adicionales zDef. Supongamos que R  A  B. La inversa de R, denotada por R -1, es la relación.

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1 1 Búsqueda en Grafos zAnchura zProfundidad

2 2 Definiciones Adicionales zDef. Supongamos que R  A  B. La inversa de R, denotada por R -1, es la relación {(y,x)|(x,y)  R}. Ejemplo: abc abc

3 3 zDef. Suponga R 1  A  B y R 2  B  C. La composición de R 1 y R 2, denotada por R 1  R 2, es la relación {(x,z)| (x,y)  R 1  (y,z)  R 2 }. Ejemplo: a b c a b cd R1R1 R2R2

4 4 a b c d R 1  R 2

5 5 zDef. Un grafo sin loops se llama grafo simple. El número de vértices de G se llama orden de G y el número de aristas de G se llama tamaño de G. zTeorema. En cada árbol no trivial, hay al menos un vértice de grado 1. zTeorema. Un grafo G es un árbol ssi G no tiene ciclos y | E | = | V | - 1.

6 6 Breadth First Search zEntrada: Grafo conexo con vértices v 1, v 2,..., v n. zSalida: T, árbol de cobertura de G. zAlgoritmo: y1. (Inicio) Sea v 1 la raíz de T, sea V = {v 1 } y2. (Agrega aristas) Para cada vértice x  V, agregar la arista {x, v k } a T, donde k es el menor índice tal que al agregar la arista {x, v k } a T no se forma un ciclo. Si no hay más aristas para agregar, parar. T es el árbol de cobertura. y3. (Actualizar) Reemplazar V por los hijos v en T de los vértices x de V donde las aristas {x,v} se agregaron en el paso 2. Repetir paso 2 para el nuevo conjunto V.

7 7 a b d c f e g i j k h Ejemplo:

8 8 a b d c f e g i j k h a G T

9 9 a b d c f e g i j k h a b d G T

10 10 a b d c f e g i j k h a b d c G T

11 11 a b d c f e g i j k h a b d c e G T

12 12 a b d c f e g i j k h a b d c f e g G T

13 13 a b d c f e g i j k h a b d c f e g h G T

14 14 a b d c f e g i j k h a b d c f e g i j k h G T

15 15 Depth First Search zEntrada: Grafo conexo con vértices v 1, v 2,..., v n. zSalida: T, árbol de cobertura de G. zAlgoritmo: y1. (Visita vértice) Sea v 1 la raíz de T, sea L = {v 1 } y2. (Encuentra aristas y vértices no visitados adyacentes a L) Para todos los vértices adyacentes a L, elegir arista {L, v k } donde k es el menor índice tal que al agregar la arista {L, v k} } a T no se forma un ciclo. Si no hay tal arista, ir a paso 3; en caso contrario agregar {L, v k} }a T y hacer L = v k. Repetir paso 2 con el nuevo valor de L y3. (Backtrack o fin) Si x es padre de L en T, hacer L = x y aplicar paso 2 al nuevo valor de L. Si L no tiene padres en T (o sea, L = v1), terminar.

16 16 a b d c f e g i j k h a G T

17 17 a b d c f e g i j k h a b G T

18 18 a b d c f e g i j k h a b c G T

19 19 a b d c f e g i j k h a b d c G T

20 20 a b d c f e g i j k h a b d c e G T

21 21 a b d c f e g i j k h a b d c f e G T

22 22 a b d c f e g i j k h a b d c f e g G T

23 23 a b d c f e g i j k h a b d c f e g h G T

24 24 a b d c f e g i j k h a b d c f e g i h G T

25 25 a b d c f e g i j k h a b d c f e g i j h G T

26 26 a b d c f e g i j k h a b d c f e g i j k h G T

27 27 Recuerdos (Grafos planares) zTeorema. Si G es un grafo plano, entonces la suma de los grados de las regiones determinadas por G es 2·|E|, donde |E| es el número de aristas de G. zFórmula de Euler. SI G es un grafo plano, entonces |V| - |E| + |R| = 2 (Euler 1752) y|V|: número de vértices y|E|: número de aristas y|R|: número de regiones

28 28 zCorolario. En un grafo conexo plano (simple) G, con |E| > 1: ya) |E|  3·|V| - 6, y yb) hay un vértice v en G tal que grado(v)  5 zTeorema. Un grafo completo K n es planar ssi n  4. zTeorema. Un grafo bipartito completo K m,n es planar ssi m  2 o n  2

29 29 Más recuerdos (Grafos Hamiltonianos) zTeorema de Dirac. Un grafo simple con n vértices (n  3) en el cual cada vértice tiene grado al menos n/2, tiene un ciclo hamiltoniano.