@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 DISTRIBUCIÓN NORMAL U.D. 15 * 1º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 DISTRIBUCIÓN NORMAL U.D. 15 * 1º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 TIPIFICACIÓN DE LA NORMAL U.D. 15.4 * 1º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 N( μ, σ )  D. N. TIPIFICADA DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA A efectos prácticos podemos convertir una distribución N( μ, σ ) en una distribución normal tipificada o estándar: N( 0, 1), mediante el cambio: X - μ Z = ------------ σ Siendo X la variable aleatoria de la distribución N( μ, σ ), y Z la variable aleatoria correspondiente de la distribución normal tipificada N( 0, 1). Gracias a ese cambio de variable podemos utilizar las Tablas ya elaboradas para calcular probabilidades en una distribución normal como hemos hecho en el apartado anterior. Veamos algunos ejemplos.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Ejemplo 1 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de que X ≤ 8,845 Aplicamos el cambio: X - μ Z = ------------ σ 8,845 – 7 Z= -------------- = 1,23 1,5 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P ( Z ≤ 1,23 ) Pues P(X ≤ 8,845)= P ( Z ≤ 1,23 )

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Ejemplo 2 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de ( 3,775 ≤ X ≤ 8,845 ) Aplicamos el cambio: 3,775 - 7 Z = ---------------- = - 2,15 1,5 8,845 – 7 Z= -------------- = 1,23 1,5 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 ) Pues P(3,775 ≤ X ≤ 8,845)= P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 )

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Ejemplo 3 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de (7 ≤ X ≤ 11,5) Aplicamos el cambio: 7 - 7 Z = ---------- = 0 1,5 11,5 – 7 Z= -------------- = 3 1,5 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (0 ≤ Z ≤ 3 ) Pues P(7 ≤ X ≤ 11,5) = P (0 ≤ Z ≤ 3 )

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Problema_1 La media anual de días de sol en una ciudad es de 220, con una desviación típica de 35 días. Suponiendo una distribución normal calcular la probabilidad de que en un año no se superen los 200 días. Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(220, 35) en nuestro caso. Nos piden la probabilidad de: P(0 ≤ X ≤ 200 ) Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 0 – 220 200 – 220 Z = ---------------- = – 6,285 ; Z = -------------- = – 3,15 35 35 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (- 6,285 ≤ Z ≤ - 3,15 ) = = P (Z ≤ - 3,15 ) – P (Z ≤ - 6,285) = P (Z ≥ 3,15 ) – P (Z ≥ 6,285) = = 1 – P (Z ≤ 3,15 ) – (1 – P (Z ≤ 6,285) = 1 – 0,9992 – 1 + 1 = 0,0008

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 Problema_2 En una oposición se necesitan 30 puntos para aprobar. La media obtenida por los alumnos es de 28, con una desviación típica de 8. Suponiendo una distribución normal, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe?. Si se han presentado 528 alumnos, ¿cuántos alumnos aprobarán?. Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(28, 8) en nuestro caso. Nos piden la probabilidad de: P(X ≥ 30 ) Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 30 – 28 Z = ------------- = 0,25 8 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: P (Z ≥ 0,25) = 1 – P (Z ≤ 0,25) = 1 – 0,5987 = 0,4013 Aprobarán: 528.0,4013 = 212 alumnos

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Problema_3 En un examen de Matemáticas el 65% de los alumnos una puntuación igual o inferior a 6,5 puntos y el 10% de los alumnos puntuaciones superiores a 7 puntos. Sabiendo que la distribución de las puntuaciones es normal, calcular μ y σ. Solución P (X ≤ 6,5) = 0,65 P (X > 7) = 0,10 Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 6,5 - μ 7 - μ P(Z ≤ ----------) = 0,65 ; P(Z > ----------) = 0,10 σ σ Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: 6,5 - μ 7 - μ ---------- = 0,39 ; -------- = 1,28 σ σ

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Resolviendo el sistema: 6,5 - μ 7 - μ ---------- = σ ; -------- = σ 0,39 1,28 8,32 – 1,28 μ = 2,73 – 0,39 μ 8,32 – 2,73 = (1,28 – 0,39). μ  μ = 5,59 / 0,89 = 6,28 7 - μ 7 – 6,28 σ = ------- = -------------- = 0,5625 1,28 1,28

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Problema_4 En una granja hay 250 vacas. Los pesos de las vacas se distribuyen normalmente con media 450 kg y desviación típica de 75 kg. ¿Cuántas pesan más de 500 kg?. ¿Cuántas pesan menos de 400 kg?. ¿Qué intervalo, centrado en 450 kg, contiene el 80% de las vacas?. Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(450, 75) en nuestro caso. Nos piden la probabilidad de: P(X > 500) y P(X < 400) Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 500 – 450 400 - 450 Z = ---------------- = 0,6666 ; Z = -------------- = – 0,6666 75 75 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: P (Z ≥ 0,67) = 1 – P (Z ≤ 0,67) = 1 – 0,7486 = 0,2514 P (Z ≤ - 0,66) = P (Z ≥ 0,66) = 1 – P (Z ≤ 0,66) =1 – 0,7454 = 0,2546

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 … Solución Sea la distribución normal N( μ, σ )  N(450, 75) en nuestro caso. Nos dan: P(450 – c ≤ X ≤ 450 + c) = 0,80 Aplicamos el cambio para emplear la Normal tipificada: 450 + c – 450 450 – c – 450 Z = -------------------- = c / 75 ; Z = -------------------- = – c / 75 75 75 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos lo pedido: P (Z ≤ c/75) – P (Z ≤ - c/75) = P (Z ≤ c/75) – P (Z ≥ c/75) = = P (Z ≤ c/75) – ( 1 – P(Z ≤ c/75) ) = 2. P(Z ≤ c/75) – 1 = 0,8000 P(Z ≤ c/75) = (1+0,8)/2 = 0,90 Por las Tablas: c/75 = 1,28  c = 96 El 80% de las vacas tendrán un peso entre (450 – 96) kg y (450 + 96) kg