@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 DERIVADAS U.D. 8 * 1º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 DERIVADAS U.D. 8 * 1º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 FUNCIÓN DERIVADA U.D. 8.3 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA Si f es una función derivable en un intervalo (a,b) є R, la función derivada de f es la que a cada x ε (a,b) le hace corresponder la derivada de f en dicho punto. Esta función se designa por f ’(x) o D f(x) f (x + h) – f (x) f `(x) = lím -------------------- h  0 h La función derivada es una función y por tanto una expresión algebraica

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 024 EJEMPLO 1 Sea la función y = - x 2 + 4x Hallar la función derivada. f(x+h) – f(x) f ’(x) = lím ----------------- = h  0 h - (x+h) 2 + 4.(x+h) – ( - x 2 + 4x) = lím ---------------------------------------- = h  0 h - x 2 -2hx -h 2 + 4x + 4h + x 2 - 4x = lím ---------------------------------------- = h  0 h - 2hx + 4h - h 2 = lím --------------------- = - 2.x + 4 h  0 h f ’(x) = - 2.x + 4 m>0 m=0 m<0

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 024 … EJEMPLO Sea la función y = - x 2 + 4x S u función derivada es: f ’(x) = - 2.x + 4 Comprobemos: f ’(1) = - 2.1 + 4 = + 2 > 0 f ’(2) = - 2.2 + 4 = 0 f ’(3) = - 2.3 + 4 = - 2 < 0 Efectivamente la función derivada es tal que nos proporciona el valor de la derivada (pendiente de la tangente) de la función en cualquier punto de la misma. m>0 m=0 m<0

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 EJEMPLO 2 Sea la función y = 3 x 2 – 2 Hallar la función derivada y utilizando la misma hallar las derivadas en x= -1, en x=0 y en x=3. f(x+h) – f(x) f ’(x) = lím ----------------- = h  0 h 3(x+h) 2 – 2 – ( 3 x 2 – 2) = lím ------------------------------ = h  0 h 3x 2 + 6xh + 3h 2 – 2 – 3x 2 + 2 = lím ---------------------------------------- = h  0 h 6xh + 3h 2 = lím -------------- = 6x,, f ’(x) = 6x h  0 h Tenemos: f ’ (x) = 6x En x= -1 f ’(-1)= 6.(-1) = - 6 < 0 La función es decreciente. En x= 0 f ’(0)= 6.0 = 0 La función presenta un máximo o un mínimo relativo. En x= 3 f ’(3)= 6.3 = 18 > 0 La función es creciente.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 PENDIENTE Y DERIVADA 0 a b c Observar la gráfica de la función. La tangente a la gráfica en x=b será una recta horizontal y por tanto de pendiente m=0 Conclusión: Aquellos puntos de la función cuya derivada valga cero, serán los Máximos (o los Mínimos) relativos de dicha función. La recta tangente a la gráfica en x=a tiene pendiente positiva. La recta tangente a la gráfica en x=c tiene pendiente negativa Conclusión: En aquellos puntos cuya derivada sea negativa (m<0), la función será DECRECIENTE. Y si su derivada es positiva (m>0), la función será CRECIENTE. m>0 m=0 m<0

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 024 EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x 2 + 4x En x=1 f(1+h) – f(1) f ’(1) = lím ----------------- = h  0 h - (1+h) 2 + 4.(1+h) – ( - 1+ 4) = lím ----------------------------------- = h  0 h -1-2h-h 2 + 4 + 4h + 1 - 4 = lím --------------------------------- = h  0 h 2h - h 2 = lím ---------- = 2 – 0 = 2 h  0 h f ’(1) = m = 2 > 0  Creciente m>0 m=0 m<0

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 024 … EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x 2 + 4x En x=3 f(3+h) – f(3) f ’(3) = lím ----------------- = h  0 h - (3+h) 2 + 4.(3+h) – (- 9+ 12) = lím ----------------------------------- = h  0 h -9-6h-h 2 + 12 + 4h + 9 - 12 = lím ----------------------------------- = h  0 h - 2h - h 2 = lím ---------- = - 2 – 0 = - 2 h  0 h f ’(3) = m = - 2 < 0  Decreciente m>0 m=0 m<0

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 024 … EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x 2 + 4x En x=2 f(2+h) – f(2) f ’(2) = lím ----------------- = h  0 h - (2+h) 2 + 4.(2+h) – (- 4+ 8) = lím ----------------------------------- = h  0 h - 4 - 4h -h 2 + 8 + 4h + 4 - 8 = lím ----------------------------------- = h  0 h - h 2 = lím ---------- = - h = - 0 h  0 h f ’(2) = m = 0  Máx o Mín m>0 m=0 m<0

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 OTRO EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = √(x + 3) Obtén la ecuación de la recta tangente en x = 1 En x=1 f(1+h) – f(1) √(1 + h + 3) – √(1 + 3) 2 – 2 0 f ’(1) = lím ----------------- = lím ----------------------------------- = --------- = --- h  0 h h  0 h 0 0 Multiplicando y dividiendo por: √(1 + h + 3) + √(1 + 3) (√(1 + h + 3) – √(1 + 3)).(√(1 + h + 3) + √(1 + 3)) f ’(1) = lím ------------------------------------------------------------------- = h  0 h.(√(1 + h + 3) + √(1 + 3)) (1 + h + 3) – (1 + 3) h f ’(1) = lím ------------------------------------- = lím ------------------------------- = h  0 h.(√(1 + h + 3) + √(1 + 3)) h  0 h.(√(4 + h) + √4) f ’ (1) = 1 / (2 + 2) = 1 / 4  y – 2 = (1/4).(x – 1)  y = 0,25.x + 1,75

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 Otras aplicaciones Observar la función f(x)=|x – 3| Si hallamos su derivada en x=3 |3+h–3| – |3 – 3| f ’ (3)= lím ----------------------- = h  0 h |h| +0 / +0 = 1 si h  0+ lím ----- = h  0 h +0 / -0 = -1 si h  0+ Al no ser iguales los límites laterales no tiene derivada en x=3, aunque sea continua en dicho punto. Conclusión: En los puntos angulosos una función no es derivable. Gráficamente presentaría infinidad de rectas tangentes, no una. 0 3 X

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 Otras aplicaciones Observar la función f(x)= 6 / (x – 3) Si hallamos su derivada en x=3 6/(3+h–3) – 6/(3–3) f ’ (3)= lím --------------------------- = h  0 h 6/h – 6/0 0 – 6.h lím ------------- = lim ------------ = h  0 h h  0 0.h.h = – 6h / 0 = – oo Conclusión: Si al hallar la derivada en un punto, su valor resulta + oo ó – oo, la recta tangente es vertical. Eso no significa necesariamente que en dicho punto halla una asíntota vertical. 0 3