FACTOR INTEGRANTE.

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1 FACTOR INTEGRANTE

2 La ecuación diferencial no es exacta
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

3 Ecuación diferencial exacta
Existe una función 𝑈(𝑥,𝑦) llamada factor integrante, que al multiplicarla por la ecuación diferencial dada se obtiene una ecuación diferencial exacta Ecuación diferencial exacta ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

4 Aplicamos las siguientes condiciones
Aplicando la condición de exactitud Derivando como un producto Aplicamos las siguientes condiciones ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

5 1) Si la función 𝑈 depende únicamente de la variable x, se tiene que la derivada parcial con respecto a y es igual a cero, es decir si 𝑈 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑈 𝑦 =0 Con lo que Separando variables e Integrando ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

6 2) Si la función depende únicamente de la variable y , entonces su derivada con respecto a la variable x, es igual a cero, con lo que se tiene 𝑈 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑈 𝑥 =0 Separando variables e Integrando ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

7 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞 𝑀 𝑥,𝑦 𝑑𝑥+ 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞 𝑁 𝑥,𝑦 𝑑𝑦=0
3) Si no es posible encontrar una expresión que dependa únicamente de las variable x , ni únicamente de la variable y; el factor integrante se toma en la forma 𝑢 𝑥,𝑦 = 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞 . 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞 𝑀 𝑥,𝑦 𝑑𝑥+ 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞 𝑁 𝑥,𝑦 𝑑𝑦=0 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

8 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 3 𝑑𝑥+ 1−𝑥 𝑦 2 𝑑𝑦=0 𝑀= 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 3 𝑁= 1−𝑥 𝑦 2
Ejemplo resolver la siguiente ecuación diferencial 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 3 𝑑𝑥+ 1−𝑥 𝑦 2 𝑑𝑦=0 De la ecuación se tiene que 𝑀= 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 𝑁= 1−𝑥 𝑦 2 Primero calculamos 𝜕𝑀 𝜕𝑦 =2𝑥𝑦−3 𝑦 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = − 𝑦 2 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

9 𝑀 𝑦 − 𝑁 𝑥 𝑀 = − 𝑦 2 −2𝑥𝑦+3 𝑦 2 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 3 = 2 𝑦 2 −2𝑥𝑦 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 3
Calculamos 𝑀 𝑦 − 𝑁 𝑥 𝑁 = 2𝑥𝑦−3 𝑦 2 −(− 𝑦 2 ) 1−𝑥 𝑦 2 = 2𝑥𝑦−2 𝑦 2 1−𝑥 𝑦 2 = 2𝑦(𝑥−𝑦) 1−𝑥 𝑦 2 Vemos que no es posible encontrar una función que dependa únicamente de la variable x Calculamos 𝑀 𝑦 − 𝑁 𝑥 𝑀 = − 𝑦 2 −2𝑥𝑦+3 𝑦 2 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 3 = 2 𝑦 2 −2𝑥𝑦 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 3 𝑁 𝑥 − 𝑀 𝑦 𝑀 = 2𝑦 𝑦−𝑥 𝑦 2 𝑥− 𝑦 = 2𝑦 − 𝑦 2 = − 2 𝑦 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

10 𝑁 𝑥 − 𝑀 𝑦 𝑀 𝑑𝑦= − 2𝑑𝑦 𝑦 =−2𝐿𝑛𝑦=𝐿𝑛 𝑦 −2
𝑁 𝑥 − 𝑀 𝑦 𝑀 𝑑𝑦= − 2𝑑𝑦 𝑦 =−2𝐿𝑛𝑦=𝐿𝑛 𝑦 −2 Buscamos el factor integrante 𝑢= 𝑒 𝑁 𝑥 − 𝑀 𝑦 𝑀 𝑑𝑦 = 𝑒 𝐿𝑛 𝑦 −2 = 𝑦 −2 = 1 𝑦 2 Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante 1 𝑦 2 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 3 𝑑𝑥+ 1 𝑦 −𝑥 𝑦 2 𝑑𝑦=0 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

11 la cual es exacta y tiene como solución
𝑥− 𝑦 𝑑𝑥 𝑦 2 −𝑥 𝑑𝑦=0 la cual es exacta y tiene como solución 𝑥 2 2 − 1 𝑦 −𝑥𝑦=𝐶 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

12 𝑁 𝑥 − 𝑀 𝑦 𝑀 = 4𝑦+9 𝑥 2 −(4𝑦+4 𝑥 2 ) 2 𝑦 2 −4 𝑥 2 𝑦
Resolver la ecuación diferencial 2 𝑦 2 +4 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑥+ 4𝑥𝑦+3 𝑥 3 𝑑𝑦=0 𝑀=2 𝑦 2 +4 𝑥 2 𝑦 ; 𝑁=4𝑥𝑦+3 𝑥 3 𝑀 𝑦 =4𝑦+4 𝑥 ; 𝑁 𝑥 =4𝑦+9 𝑥 2 Calculamos 𝑀 𝑦 − 𝑁 𝑥 𝑁 = 4𝑦+4 𝑥 2 −(4𝑦+9 𝑥 2 ) 4𝑥𝑦+3 𝑥 3 = −5 𝑥 2 4𝑥𝑦+3 𝑥 3 = −5𝑥 4𝑦+3 𝑥 2 Calculamos 𝑁 𝑥 − 𝑀 𝑦 𝑀 = 4𝑦+9 𝑥 2 −(4𝑦+4 𝑥 2 ) 2 𝑦 2 −4 𝑥 2 𝑦 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

13 𝑁 𝑥 − 𝑀 𝑦 𝑀 = 5 𝑥 2 2 𝑦 2 −4 𝑥 2 𝑦 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑢 𝑥,𝑦 = 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞 2 𝑦 2 +4 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑥+ 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞 4𝑥𝑦+3 𝑥 3 𝑑𝑦=0 2 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞+2 +4 𝑥 𝑝+2 𝑦 𝑞+1 𝑑𝑥+ 4 𝑥 𝑝+1 𝑦 𝑞+1 +3 𝑥 𝑝+3 𝑦 𝑞 𝑑𝑦=0 𝑀= 2 𝑥 𝑝 𝑦 𝑞+2 +4 𝑥 𝑝+2 𝑦 𝑞 𝑁= 4 𝑥 𝑝+1 𝑦 𝑞+1 +3 𝑥 𝑝+3 𝑦 𝑞 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

14 2 𝑥 1 𝑦 2+2 +4 𝑥 1+2 𝑦 2+1 𝑑𝑥+ 4 𝑥 1+1 𝑦 2+1 +3 𝑥 1+3 𝑦 2 𝑑𝑦=0
𝟐 (𝒒+𝟐)𝒙 𝒑 𝒚 𝒒+𝟏 +4 (𝑞+1)𝑥 𝑝+2 𝑦 𝑞 = 𝟒 (𝒑+𝟏)𝒙 𝒑 𝒚 𝒒+𝟏 +3(𝑝+3) 𝑥 𝑝+2 𝑦 𝑞 𝑝=1 , 𝑞=2, 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑈 𝑥,𝑦 =𝑥 𝑦 2 2 𝑥 1 𝑦 𝑥 1+2 𝑦 2+1 𝑑𝑥+ 4 𝑥 1+1 𝑦 𝑥 1+3 𝑦 2 𝑑𝑦=0 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

15 𝑥 2 𝑦 4 + 𝑥 4 𝑦 3 =𝐶 2 𝑥𝑦 4 +4 𝑥 3 𝑦 3 𝑑𝑥+ 4 𝑥 2 𝑦 3 +3 𝑥 4 𝑦 2 𝑑𝑦=0
2 𝑥𝑦 4 +4 𝑥 3 𝑦 3 𝑑𝑥+ 4 𝑥 2 𝑦 3 +3 𝑥 4 𝑦 2 𝑑𝑦=0 𝑥 2 𝑦 4 + 𝑥 4 𝑦 3 =𝐶 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

16 3 𝑥 2 +𝑦 𝑑𝑥+ 𝑥 2 𝑦−𝑥 𝑑𝑦=0 𝑦 2 +2𝑥𝑦 𝑑𝑥− 𝑥 2 𝑑𝑦=0 𝑥 4 −𝑥+𝑦 𝑑𝑥−𝑥𝑑𝑦= 0
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales encontrando un factor integrante adecuado para cada una de ellas 3 𝑥 2 +𝑦 𝑑𝑥+ 𝑥 2 𝑦−𝑥 𝑑𝑦=0 𝑦 2 +2𝑥𝑦 𝑑𝑥− 𝑥 2 𝑑𝑦=0 𝑥 4 −𝑥+𝑦 𝑑𝑥−𝑥𝑑𝑦= 0 2 𝑦 2 −6𝑥𝑦 𝑑𝑥+ 3𝑥𝑦−4 𝑥 2 𝑑𝑦=0 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

17 2𝑥+3𝑦 𝑑𝑥+ 𝑦−𝑥 𝑑𝑦=0 2 𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑦 𝑦 2 +3 𝑥 2 4𝑥+3 𝑦 2 𝑑𝑥+2𝑥𝑦𝑑𝑦=0
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales encontrando un factor integrante adecuado para cada una de ellas 2𝑥+3𝑦 𝑑𝑥+ 𝑦−𝑥 𝑑𝑦=0 2 𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑦 𝑦 2 +3 𝑥 2 4𝑥+3 𝑦 2 𝑑𝑥+2𝑥𝑦𝑑𝑦=0 4𝑥 𝑦 2 +6𝑦 𝑑𝑥+ 5 𝑥 2 𝑦+8𝑥 𝑑𝑦=0 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

18 Estoy seguro que este material fue de su agrado y te permitió aclarar las dudas sobre la determinación del factor integrante ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.