@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Tema 8 * 2º B CS.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Tema 8 * 2º B CS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS2 GRAFICAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS Tema 8.5 * 2º B CS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS3 Representar la función y = x 3 – 3.x + 2 Puntos importantes a tener en cuenta para representar funciones polinómicas, y = P(x) 1.-Cortes con los ejes. 2.-Máximos y mínimos relativos. 3.-Ramas infinitas. 4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 5.-Puntos de inflexión. 6.-Intervalos de concavidad y convexidad. 7.-Simetría. En menor medida: 8.-Periodicidad (Por ser muy pocas las funciones que lo presentan). 9.-Tabla de Valores (En su caso contendrá los datos anteriores). Ejemplo_1

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS4 CORTES CON LOS EJES Representar la función y = x 3 – 3.x + 2 1.-Puntos de corte con los ejes. Con OY  x = 0  y = 2  Pc (0,2) Con OX  y = 0  x 3 – 3.x + 2 = 0 Por el Teorema del Resto: P(1) = 1 – 3 + 2 = 0  Pc (1, 0) Aplicando Ruffini al tener ya una raíz: 1 0 - 3 2 1 1 1 - 2 1 1 - 2 0  C(x) = x 2 + x – 2 Resolviendo la ecuación de segundo grado: x = 1, x = - 2 Luego los otros dos puntos de corte son: Pc (1, 0) y Pc (- 2, 0) Nótese que dos de los tres puntos de corte con OX coinciden.

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS5 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Representar la función y = x 3 – 3.x + 2 2.-Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = 3.x 2 – 3 Igualamos a cero: y ‘ = 0  3.x 2 – 3 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: 3.x 2 – 3 = 0  3.x 2 = 3  x 2 = 1  x = 1, x = - 1 Hallamos las ordenadas correspondientes, los valores de f (x): f(1) = 1 3 – 3.1 + 2 = 0  P (1, 0) es un Máx, o Mín f(-1) = (-1) 3 – 3.(-1) + 2 = 4  P (-1, 4) es un Máx, o Mín Miramos si es máximo o mínimo, por la derivada segunda: y ‘’ = 6.x  f ‘’ (1) = 6.1 = 6 > 0  P (1, 0) es un MÍNIMO y ‘’ = 6.x  f ‘’ (-1) = 6.(-1) = - 6 < 0  P (-1, 4) es un MÁXIMO

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS6 RAMAS ASINTÓTICAS Representar la función y = x 3 – 3.x + 2 3.-Ramas infinitas Lím x 3 – 3.x + 2 = (- oo) 3 – 3.(- oo) + 2 = - oo 3 + 3.oo + 2 = - oo x  - oo Lím x 3 – 3.x + 2 = (oo) 3 – 3.(oo) + 2 = oo 3 - 3.oo + 2 = + oo x  + oo

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS7 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Representar la función y = x 3 – 3.x + 2 4.-Delimitamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Su derivada era y ‘ = 3.x 2 – 3 En x = -1 había un máximo relativo. En x = 1 había un mínimo relativo. Los intervalos a estudiar son: (-oo, -1), (-1, 1) y (1, oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ ( -2) = 3.(-2) 2 – 3 = 12 – 3 = 9 > 0  Creciente en (- oo, -1) f ’ ( 0) = 3.(0) 2 – 3 = 0 – 3 = - 3 < 0  Decreciente en (- 1, 1) f ’ ( 2) = 3.(2) 2 – 3 = 12 – 3 = 9 > 0  Creciente en (1, + oo)

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS8 PUNTOS DE INFLEXIÓN Representar la función y = x 3 – 3.x + 2 5.-Hallamos los Puntos de Inflexión, si los hay: Su derivada era y ‘ = 3.x 2 – 3 Hallamos la segunda derivada: y ’’ = 6x Igualamos a cero: 6.x = 0  x = 0 es la abscisa del posible punto de inflexión. Comprobamos que lo es hallando la tercera derivada: y’’’ = 6  f ‘’’ (0) = 6 <> 0 En x = 0 hay un P. de Inflexión. Hallamos su ordenada: f(0) = 0 3 – 3.0 + 2 = 2  PI (0, 2)

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS9 CURVATURA Representar la función y = x 3 – 3.x + 2 6.-Hallamos los intervalos de concavidad y convexidad: Su derivada era y ‘ = 3.x 2 – 3 Hallamos la segunda derivada: y ’’ = 6x Igualamos a cero: 6.x = 0  x = 0 es el único punto de limitación. Los intervalos a estudiar son: (- oo, 0) y (0. + oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ‘’ (-2) = 6.(-2) = - 12 < 0  Es CONVEXA en (- oo, 0) f ‘’ (2) = 6.(2) = 12 > 0  Es CÓNCAVA en (0, + oo)

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS10 SIMETRÍAS Representar la función y = x 3 – 3.x + 2 f (x) = x 3 – 3.x + 2 f( - x) = – x 3 + 3.x + 2 Vemos que no presenta simetría par, pues f (x) <> f ( - x) f (x) = x 3 – 3.x + 2 - f( - x) = x 3 – 3.x – 2 Vemos que no presenta simetría impar, pues f (x) <> - f ( - x) TABLA DE VALORES PcMáxPcPIPcMín x-oo-20011+oo y-oo042200+oo

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS11 Gráfica del Ejemplo_1 Sea la función: y = x 3 – 3.x + 2 Puntos de corte: Pc(0,2), Pc(1,0) y (-2,0) Máximo: Máx(-1, 4). Mínimo: Mín(1,0) Creciente en (- oo, -1) Decreciente en (- 1, 1) Creciente en (1, + oo) Punto de Inflexión: PI(0, 2) Es CONVEXA en (- oo, 0) Es CÓNCAVA en (0, + oo) No presenta simetrías. - 2 -1 0 1 x 4242

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS12 Representar la función y = (1/4).x 4 – 2.x 2 Puntos importantes a tener en cuenta para representar funciones polinómicas, y = P(x) 1.-Cortes con los ejes. 2.-Máximos y mínimos relativos. 3.-Ramas infinitas. 4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 5.-Puntos de inflexión. 6.-Intervalos de concavidad y convexidad. 7.-Simetría. En menor medida: 8.-Periodicidad (Por ser muy pocas las funciones que lo presentan). 9.-Tabla de Valores (En su caso contendrá los datos anteriores). Ejemplo_2

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS13 CORTES CON LOS EJES Representar la función y = (1/4).x 4 – 2.x 2 1.-Puntos de corte con los ejes. Con OY  x = 0  y = 0  Pc (0,0) Con OX  y = 0  (1/4).x 4 – 2.x 2 = 0 Sacando factor común a x 2 x 2 [ (1/4).x 2 – 2 ] = 0 x 2 = 0  x=0  Pc(0, 0) (1/4).x 2 – 2 = 0  x 2 = 8  x = ± 2√2 Luego los otros dos puntos de corte son: Pc ( - 2√2, 0) y Pc ( + 2√2, 0) Nótese que dos de los tres puntos de corte con OX coinciden.

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS14 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Representar la función y = (1/4).x 4 – 2.x 2 2.-Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = x 3 – 4.x Igualamos a cero: y ‘ = 0  x 3 – 4.x = 0 Resolviendo la ecuación: x.(x 2 – 4) = 0  x.(x – 2).(x + 2) = 0  x = 0  x = 2, x = - 2 Hallamos las ordenadas correspondientes, los valores de f (x): f(0) = 0  P (0, 0) es un Máx, o Mín f(2) = (1/4).2 4 – 2.2 2 = – 4  P (2, - 4) es un Máx, o Mín f(-2) = (1/4).(-2) 4 – 2.(-2) 2 = – 4  P (-2, - 4) es un Máx, o Mín Miramos si es máximo o mínimo, por la derivada segunda: y ‘’ = 3.x 2 – 4  f ‘’ (0) = 0 – 4 = - 4 < 0  P (0, 0) es un Máximo y ‘’ = 3.x 2 – 4  f ‘’ (2) = 12 – 4 = 8 > 0  P (2, -4) es un Mínimo y ‘’ = 3.x 2 – 4  f ‘’ (-2) = 12 – 4 = 8 > 0  P (-2, -4) es un Mínimo

15 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS15 RAMAS ASINTÓTICAS Representar la función y = (1/4).x 4 – 2.x 2 3.-Ramas infinitas Lím (1/4).x 4 – 2.x 2 = 0,25.(- oo) 4 – 2.(- oo) 2 = + oo x  - oo Lím (1/4).x 4 – 2.x 2 = 0,25.(oo) 4 – 2.(oo) 2 = + oo x  + oo

16 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS16 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Representar la función y = (1/4).x 4 – 2.x 2 4.-Delimitamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Su derivada era y ‘ = x 3 – 4.x En x = 0 había un máximo relativo. En x = 2 había un mínimo relativo. En x = -2 había un mínimo relativo. Los intervalos a estudiar son: (-oo, -2), (-2, 0), ( 0, 2) y (2, oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ ( -3) = (-3) 3 – 4.(-3) = - 27 + 12 = - 15 < 0  Decreciente en (- oo, -2) f ’ ( -1) = (-1) 3 – 4.(-1) = - 1 + 4 = 3 > 0  Creciente en (- 2, 0) f ’ ( 1) = (1) 3 – 4.(1) = 1 – 4 = - 3 < 0  Decreciente en (0, 2) f ’ ( 3) = (3) 3 – 4.(3) = 27 – 12 = 15 > 0  Creciente en (2, oo)

17 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS17 PUNTOS DE INFLEXIÓN Representar la función y = (1/4).x 4 – 2.x 2 5.-Hallamos los Puntos de Inflexión, si los hay: Su derivada era y ‘ = x 3 – 4.x Hallamos la segunda derivada: y ’’ = 3.x 2 – 4 Igualamos a cero: 3.x 2 – 4 = 0  x 2 = 4/3  x = ±√1,3333 = ± 1,1547 son las abscisas de los posibles puntos de inflexión. Comprobamos que lo es hallando la tercera derivada: y’’’ = 6.x  f ‘’’ (1,1547) <> 0 En x = 1,1547 hay un P.I. y’’’ = 6.x  f ‘’’ (- 1,1547) <> 0 En x = - 1,1547 hay un P.I. Hallamos sus ordenadas: f(1,1547) = (1/4).(16/9) – 2.(4/3) = 4/9 – 8/3 = -20/9  PI (1,1547, -20/9) f(-1,1547) = (1/4).(16/9) – 2.(4/3) = 4/9 – 8/3 = -20/9  PI (-1,1547, -20/9)

18 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS18 CURVATURA Representar la función y = (1/4).x 4 – 2.x 2 6.-Hallamos los intervalos de concavidad y convexidad: Su derivada era y ‘ = x 3 – 4.x Hallamos la segunda derivada: y ’’ = 3.x 2 – 4 Igualamos a cero: 3.x 2 – 4 = 0  x = ± 1,1547 son puntos de limitación. Los intervalos a estudiar son: (- oo, -1,15), (-1,15, 1,15), (1,15, + oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ‘’ (-2) = 3(-2) 2 – 4 = 12 – 4 = 8 > 0  Es Cóncava en (- oo, -1,1547) f ‘’ (0) = 3(0) 2 – 4 = 0 – 4 = – 4 < 0  Es Convexa en (- 1,1547, 1,1547) f ‘’ (2) = 3(2) 2 – 4 = 12 – 4 = 8 > 0  Es Cóncava en (1,1547, +oo)

19 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS19 SIMETRÍAS Representar la función y = (1/4).x 4 – 2.x 2 f (x) = (1/4).x 4 – 2.x 2 f ( - x) = (1/4).(-x) 4 – 2.(-x) 2 = (1/4).x 4 – 2.x 2 Vemos que presenta simetría par, pues f (x) = f ( - x) f (x) = (1/4).x 4 – 2.x 2 - f( - x) = - (1/4).x 4 + 2.x 2 Vemos que no presenta simetría impar, pues f (x) <> - f ( - x) TABLA DE VALORES PcMínPIMáxPcPIMínPc x-oo-3-2-1,15001,1523+oo y 0-4-2,2200 -40+oo

20 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS20 Gráfica del Ejemplo_2 Sea la función: y = (1/4).x 4 – 2.x 2 Pc(0,0), Pc(2√2,0) y (-2√2,0) P (0, 0) es un Máximo relativo P (2, -4) es un Mínimo relativo P (-2, -4) es un Mínimo relativo Decreciente en (- oo, -2) Creciente en (- 2, 0) Decreciente en (0, 2) Creciente en (2, oo) Punto de Inflexión: PI (1,1547, -20/9) Punto de Inflexión: PI (-1,1547, -20/9) Es Cóncava en (- oo, -1,1547) Es Convexa en (- 1,1547, 1,1547) Es Cóncava en (1,1547, +oo) Presenta simetría PAR. -3 -2 -1 0 1 2 3 x y