UNIVERSIDAD AUTÓNOMA SAN FRNACISCO LIC. SUJEY HERRERA RAMOS.

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1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA SAN FRNACISCO LIC. SUJEY HERRERA RAMOS

2 Matrices Corolario Rango por columnas = rango por filas Teorema (espacios renglón iguales). Sea A1 y A2 matrices de tamaño r*q y s*q respectivamente. El espacio renglón de A1 es igual al espacio rengloón de A2 ssi los renglones no cero de las matrices de Gauss coinciden.

3 El maldito Kernel otra vez Definición: Sea f:X  Y una función de X a Y. Con f se asocia una relación de equivalencia llamada equivalencia kernel de f y se denota por Ker f y está definida como sigue:  x1,x2  X, x1~x2 ssi f(x1)=f(x2) (mostrar que sí es una relación de equivalencia y por tanto particiona a X)

4 Por qué se le llama equivalencia kernel Sucede que en el caso de homomorfismos si f(x1)=f(x2)  f(x1)-f(x2)=0  f(x1-x2)=0, i.e. x1-x2 está en el kernel de f. Claramente una matriz A puede ser considereda como una función (y aún más, un homomerfismo, chequen en clase esto y verán que si la hace). Entonces el kernel que definimos de A es consistente con el kernel en homomerfismos y sucede que:

5 Por qué se le llama equivalencia kernel El kernel de A es un subespacio La imagen de A es un subespacio Ya qué no saben qué, A/ker A es un espacio y se le llama espacio cociente.

6 Entendamos bien esto, que está demasiado fácil, salvo la primera vez Encontrar Kernel, imagen (range, no rank), A/Ker A de la siguiente matriz A. 1 1

7 Sistemas Lineales III: Control Geométrico-1.8 Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Sea A:X  Y una función cualquiera. Entonces se puede definir la relación Ker A de la siguiente forma: x1~x2 ssi A(x1)=A(x2) Note que la relación Ker A es una relación de equivalencia. Como es una relación de equivalencia, entonces diremos que x1  x2 (mod Ker A) –x1 es equivalente a x2 módulo Ker A- -También se dice que x1 es congruente a x2 vía Ker A o que la relación Ker A es una congruencia-

8 Significado geométrico de esta relación x2 x1 x4 x3 x6 x5 y4 y3 y2 y1 Observe que hay tantos clusters como imágenes de A clusters X Y Podemos hacer el conjunto de los clusters Imagen de A

9 Significado geométrico de esta relación (A menudo yo le llamo conjunto de clustercillos) clusters c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} A este conjunto lo llamaremos X/Ker A, o conjunto cociente X/Ker A

10 Significado geométrico de esta relación X/Ker A c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} Noten que la relación Ker A está dando una medida de la inyectividad de A. Si el número de clusters es igual al número de elementos en X, entonces A es inyectiva. A los clusters se les llama coconjuntos (cosets) y son justamente los subconjuntos de X sobre los cuales A tiene diferente valor. También se les suele llamar las “fibras” de A.

11 c1=[0 4 8] c2=[1 5 9] c3=[2 6] c4=[3 7] 0 4 8 1 5 9 2 6 3 7 X 0 1 2 3 Y X/Ker A Aquí está A Ejem. A(x)=x módulo 4 -es el residuo de la división, no la congruencia Como X/Ker A y la imagen de A tienen la misma cantidad de elementos, entoces hay un isomorfismo entre X/Ker A y Im(A) [X/Ker A  Im(A)] Significado geométrico de esta relación

12 c1=[0 4 8] c2=[1 5 9] c3=[2 6] c4=[3 7] 0 4 8 1 5 9 2 6 3 7 X 0 1 2 3 Y X/Ker A Aquí está A Significado geométrico de esta relación Proposición. Sea A:X  Y y sea P A :X  X/Ker A su proyección canónica, entonces  g:X/ker A  im(A) tal que A=g  P A, donde g es un isomorfismo. PAPA

13 Demostración Definir g(z)=A(x) ssi z=P A (x). Se afirma que g(z) es función Cubre todo X. Como A es función, entonces a cubre todo X, y por la definición anterior, g también cubrirá todo X Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y. Suponer que si es así, (z,y 1 ), (z,y 2 )  g. Entonces y 1  y 2. Por la definición de g se tiene: z= P A (x 1 ), y 1 =A(x 1 ) y además z= P A (x 2 ), y 2 =A(x 2 ) Como P A (x 1 ),= P A (x 2 ) implica que A(x 1 )= A(x 2 ) Entonces y1=y2, una contradicción, entonces Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y Por tanto g(z) si es función.

14 Demostración Ahora veremos que g es un isomorfismo. g es inyectiva. Suponer que no es así, i.e. (z,y),(z’,y)  g Entonces z  z’ Entonces z=P A (x) y z’=P A (x’) Además A(x)=A(x’)=y. Como tienen la misma y, entonces P A (x)=P A (x’), una contradicción. Por tanto es inyectiva. g es sobre. Como g:X/Ker A  Im(A), sólo abarca las imágenes de A. Por definición de g, cualquier imagen de A tiene una preimagen en X/Ker A. Por lo tanto g es sobre. Como es inyectiva y sobre, es un isomorfismo.

15 Demostración Por definición A=g o P A

16 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... Si los conjuntos tienen estructura matemática, p.e. X, Y son espacios vectoriales y la función A resulta ser un operador lineal. Ax1=Ax2 es la relación Ker A. Un caso particular es para la imagen cero. En este caso todos los x, tales que Ax=0 formarán una clase de equivalencia. Las demás clases de equivalencia las obtendremos al estudiar las otras imágenes de A. Sin embargo, este proceso puede resultar muy lento, sobre todo porque Y tiene un número infinito de elementos. Una forma más adecuada es estudiarlos a través de la clase de equivalencia del 0 [0].

17 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... Por ejemplo, si queremos estudiar el caso para la imagen y, entonces debemos encontrar todos los x tales que Ax=y. x1, x2  [x], Ax1=Ax2=y, entonces A(x1-x2)=0. Entonces si x1  [x], se tiene que x2  [x] ssi (x1-x2)  [0]. Como la clase [0] es un subespacio de X De hecho si Ax=0 y Ay=0, entonces A(x+  y)=0 y por tanto es un subespacio entonces (x1-x2)  span[0], o (x1-x2) =  1 e 1 +  2 e 2 +...+  n e n Si x1 está fijo, entonces x2= x1-  1 e 1 -  2 e 2 -...-  n e n.............................(1) Como con la clase de equivalencia [0] se generan todas las demás, a está clase la llamaremos genéricamente Kernel de A.

18 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... Como se observa, la ecuación (1) es un método para calcular todas las clases de equivalencia [x2]. Se puede ver que es un un espacio vectorial (el del Kernel) desplazado por x1 (cualquier vector de la clase). A esta clase de equivalencia, y sólo cuando hablamos de operadores lineales en espacios vectoriales, le llamaremos una variedad lineal. No es un espacio, ya que en general, el cero no está incluído en dicha variedad, pero si será un espacio vectorial vía módulo algún vector de la clase. Ejemplos

19 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... A:  2  2 tal que A([x y] T )=[x–y y-x] T. Claramente A es un operador lineal y un vector de la forma [k k] T está en la clase de equivalencia [0] o Kernel de A. El vector [2 1]T no está en la clase [0], pero si está en la clase [[2 1] T ]. Los vectores que pertenecen a esta clase, de acuerdo a la ecuación (1) son: X=[2 1] T -  [1 1] T

20 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... Clase [0] Clase [2 1] T

21 Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... En realidad, cada clase forma una línea paralela al Kernel de A.

22 Significado geométrico de esta relación Si tenemos un operador lineal A:V  W, entonces el Kernel de A será un subespacio de V, y cada una de las clases de equivalencia será una variedad lineal paralela al Kernel de A. Más aún, el conjunto de las clases de equivalencia se denotará en la forma común V/Ker A y será llamado el espacio cociente V/Ker A. Proposición. Sea un operador lineal A:V  W, entonces el conjunto V/Ker A es un espacio vectorial. Demo. En este espacio, el vector nulo es la clase [0]. De hecho se tiene

23 Significado geométrico de esta relación [v1]=[v1]+[0] para cualquier v1  V. De la ecuación (1) x2= v1-  1 e 1 -  2 e 2 -...-  n e n se observa que esto es cierto, ya que x2  [v1]. Los escalares, son los del campo definido en V. La suma de vectores [v1]+[v2]=[v3] se define como x1  [v1], x2  [v2] y x1+x2  [v3]. Note que está bien definida ya que cualquier x1  [v1] y x2  [v2] sirven. De hecho v1-  1 [0]+v2-  2 [0]=v1+v2-  [0]=[v3] Todas las propiedades se pueden demostrar y resulta un espacio vectorial

24 Significado geométrico de esta relación,... Pero hay más cosas Claramente, Im(A)  V/Ker A. Vimos que esto se cumple aún en el caso que no sean espacios vectoriales. Ahora volvamos a los conjuntos. Vimos que si A:X  Y, entonces Ker A es una relación de equivalencia. Por la definición, cualquier función deja una relación de equivalencia en su dominio. Pero, además, nosotros sabemos que una relación de equivalencia sobre un conjunto X es equivalente a una partición de X

25 Espacios vectoriales con producto interno

26 5.1 Producto interno 5.2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz 5.3 Ortogonalidad 5.4 Procedimiento de Gram-Schmidt 5.5 Espacios normados

27 Norma Definición.- Una norma (o norma vectorial) en (V,F) es una funcional que asigna a cada vector v un número real no negativo, llamado norma del vector v, y es denotado por ||v|| y satisface: ||v||>0 para v  0, y ||0||=0 ||  v||=|  | ||v||  escalar y v vector ||u+v||  ||u||+||v||

28 Norma Definición.- Para vectores x=[x 1 x 2... x p ]T, las normas ||  || 1, ||  || 2, ||  ||  son llamadas norma 1, norma 2 y norma infinito respectivamente y se definen como: ||  || 1 =|x 1 |+|x 2 |+...+|x p | ||  || 2 =(|x 1 | 2 +|x 2 | 2 +...+|x p | 2 ) 1/2 ||  ||  =max{|x 1 |, |x 2 |,...,|x p |}

29 Norma Definición.- Sea ||  || una norma en (V,F). Una secuencia de vectores vi se dice que converje al vector v  ssi la secuencia de número reales ||vi- v  || Para vectores x=[x 1 x 2... x p ]T, las normas ||  || 1, ||  || 2, ||  ||  son llamadas norma 1, norma 2 y norma infinito respectivamente y se definen como: ||  || 1 =|x 1 |+|x 2 |+...+|x p | ||  || 2 =(|x 1 | 2 +|x 2 | 2 +...+|x p | 2 ) 1/2 ||  ||  =max{|x 1 |, |x 2 |,...,|x p |}

30 Norma Teorema: Sean x, y dos vectores. Entonces |x T y|  ||x|| 2 ||y|| 2 Demostración. sabemos 0  ||x+  y||=(x+y) T (x+y)=||x|| 2 2 +  2 ||y|| 2 2 +2  |x T y| si  =-||x|| 2 2 /x T y, entonces 0  -||x|| 2 2 +(||x|| 2 4 ||y|| 2 2 /x T y| 2 ) Despejando se llega a la desigualdad

31 Producto interno Definición. El producto interno en (V,F) sobre un par de vectores (u,v) que satisface: (u,v)=(v,u) (  u+  v,w)=  (u,w)+  (v,w) (w,  u+  v)=  (w,u)+  (w,v) (u,u)>0, y es igual a cero si u es cero.

32 Producto interno El producto interno (u,v) 1/2 induce una norma en el espacio vectorial. Definición. Sean el producto interno ( ,  ) u, v son ortogonales ssi (u,v)=0 Un conjunto de vectores son ortogonales ssi cada par de vectores (u,v) son ortogonales Si un vector u es usado para producir u/||u|| tal que ||v||=1, entonces u se dice ser normalizado para producir el vector normalizado v Un conjunto de vectores se dice ortonormal ssi es ortogonal y ||v||=1 para todo vector v

33 Producto interno Diferentes productos internos (u,v)=u T v si f y g son funciones real valuadas continuas en 0  t  1, entonces (f,g)=

34 Proyecciones ortogonales Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial. Sea (V 0,F) un subespacio generado por los vectores ortogonales S={v1,...,vq}. Defínase la proyección ortogonal como sigue. Para cualquier vector v P 0 v=  1 v 1 +...+  q v q, donde  i =(v i,v)/(v i,v i ) entonces v-P 0 v es ortogonal a todo vector v en (V 0,F) P 0 (u+v)=P 0 u+P 0 v P 0 (  v)=  P 0 v

35 Proyecciones ortogonales Demostración (vi,v-P 0 v)=(v i,v)-  1(v i,v 1 )-...-  q (v i,v q )=(v i,v)-  i (v i,v i )=0 Los otros puntos salen de la definición de los coeficientes . vivi v P 0 v=  v i v-P 0 v

36 Proyecciones ortogonales Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial con producto interno y con su norma inducida por el producto interno ||  ||. Sea (V 0,F) un subespacio generado por los vectores ortogonales S={v 1,...,v q }. Entonces para cualquier v, P 0 v es el único punto más cercano en (V 0,F) a v, y ||v-P 0 v|| es la distancia de v a (V 0,F) ||v-P 0 v||<||v-v 0 || para todo v 0 diferente de P 0 v en (V 0,F)

37 Proyecciones ortogonales Demostración. ||v-v0||2=(v-v0,v-v0)=(v-P 0 v+P 0 v-v0, v-P 0 v+P 0 v-v0)= (v-P 0 v, v-P 0 v )+(v-P 0 v, P 0 v-v0)+(P 0 v-v0,v- P 0 v)+(P 0 v-v0, P 0 v-v0) Sabemos que v- P 0 v es ortogonal a los vectores en (V0,F), entonces se obtiene que: ||v-v0||=||v- P 0 v||+|| P 0 v-v0|| entonces ||v-v0||>||v- P 0 v|| a menos que v0= ||v-v0||=||v- P 0 v||+||

38 Proyecciones ortogonales Sea S={v1,...,vq} un conjunto de vectores ortogonales, entonces estos vectores son linealmente independientes. si se toma el vector 0=c1v1+...+cqvq, tenemos que saber el valor de cada ci. 0=(vi,0)=(vi,c1v1+...+cqvq)=ci(vi,vi) como (vi,vi)>0  ci=0 y son L.I.

39 Proyecciones ortogonales Se sigue que si el vector proyectado v está en el espacio (V 0,F), entonces P 0 v será el mismo v y los valores de las  i será la representación del vector en la base seleccionada S.

40 Proyecciones ortogonales Teorema. Sea B={v1,...vq} una base ortogonal. La representación del vector v se calcula como v=  1 v 1 +...+  q v q, donde  i =(v i,v)/(v i,v i ) Note que si la base es ortonormal, entonces los  i se calculan fácilmente

41 Proyecciones ortogonales Si tenemos S={v 1,...,v q } un conjunto de vetores que genera (V,F) Tomar u 1 =v 1, desde 2 hasta q, u i =v i -P i-1 v i

42 Transformaciones lineales

43 6.1 Definición 6.2 Propiedades 6.3 Kernel e imagen de una transformación lineal 6.4 Representación matricial de una transformación lineal 6.5 Isomorfismos 6.6 Operaciones con transformaciones lineales 6.7 Algebra de transformaciones lineales

44 Transformaciones lineales Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales. Una transformación lineal T de (V,F) a (W,G) es una correspondencia que asigna a cada vector v en V un vector w en W tal que: T(v1+v2)=T(v1)+T(v2) T(  v)=  T(v) Se sigue que T(0)=0, ya que T(v)=T(v+0)=T(v)+T(0) lo que implica que T(0) debe ser el cero de W.

45 Transformaciones lineales El espacio imagen Todos los vectores w en (W,G) tal que w=T(v) Solución. Si w es fijo, entonces existe v en (V,F) tal que T(v)=w ssi w está en la imagen de T. Se aplica Sobre Claramente el problema Solución tiene solución si T es onto.

46 Transformaciones lineales Otro problema es si la solución es única. T(v1)=T(v2)=w Se aplica Inyectividad Claramente la solución es única si w esta en la imagen de T y T es inyectiva. T(v1)=T(v2)  T(v1)-T(v2)=0  T(v1-v2)=0 También T tiene kernel.

47 Transformaciones lineales Más propiedades de las transformaciones lineales T(u-v)=T[u+(-1)v]=T(u)+T[(-1)v]=T(u)+(-1)T(v)=T(u)-T(v) T(  1 v 1 +...+  n v n )=  1 v 1 +...+  n v n Esto se puede ver por asociatividad e inducción Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v 1,...v n } y T1, T2 dos transformaciones lineales. Si T1(vi)=T2(vi) para todo vi en B, entonces T1(v)=T2(v) para v en (V,F). Demo, como cualquier vector de (V,F) se escribe como v=  1 v 1 +...+  n v n, entonces T1(v)=T1(  1 v 1 +...+  n v n )= T1(  1 v 1 )+...+T1(  n v n )=T2(  1 v 1 )+...+T2(  n v n )=T2(v)

48 Transformaciones lineales Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v 1,...v n } y (W,G) un espacio vectorial que contiene a los vectores w1,...,wn, entonces existe una única transformación lineal tal que T(vi)=wi, para vi en B. Demo. Como cualquier vector de (V,F) se escribe como v=  1 v 1 +...+  n v n, entonces T se define como T(v)=  1 w 1 +...+  n w n T será una transformación lineal T(u+v)=T[(  1 v 1 +...+  n v n )+(  1 v 1 +...+  n v n )]= =T[(  1 +  1 ) v 1 +...+(  n +  n ) v n ] Por la definición de T, = (  1 +  1 ) w 1 +...+(  n +  n ) w n =T(u)+T(v)

49 Transformaciones lineales De igual forma T(  u)=T[(  1 v 1 +...+  n v n )] Por la definición de T,  1 w 1 +...+  n w n =  T(u) Por teorema anterior se tiene la unicidad Tarea: Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)  (W,G) una transformación lineal. Demsotrar que el kernel de T es un subespacio de (V,F) y que la imagen de T es un subespacio de (W,G).

50 Transformaciones lineales Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)  (W,G) una transformación lineal. Nulidad de T = (T) =dim (Ker (T)) rango de T =  (T) = dim (Im (T)) Teorema. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)  (W,G) una transformación lineal. (T)+  (T) = dim (V,F) Demo. Suponer que (T)=r y que {v1,...vr} es una base para el kernel; además  (T)=k y {w1,...wk} es una base para la imagen de T. Entonces hay que demostrar que B={v1,...,vr,u1,...,uk}

51 Transformaciones lineales Sea un v que pertenece a (V,F). Como T(v)=  1 w 1 +...+  k w K Al Vector v lo podemos escribir como v=  1 u 1 +...+  k u K -v’  v´=  1 u 1 +...+  k u K -v T(v’)=T(  1 u 1 +...+  k u K -v)=  1 T(u 1 )+...+  k T(u k )-T(v) =  1 w 1 +...+  k w K -T(v)=0  v’ está en el kernel de T Como {v1,...vr} es una base de Kernel de T, existen escalares  1,..,  r tal que v’=  1 v 1 +... +  r v r =  1 u 1 +...+  k u K -v Por tanto v=  1 u 1 +...+  k u K -  1 v 1 -... -  r v r y {u 1,...,u k, v 1,..., v r } genera (V,F) Ahora hay que ver que sean L.I.

52 Transformaciones lineales Sea un vector  1 u 1 +...+  k u K +  1 v 1 +... +  r v r =0 Entonces T(  1 u 1 +...+  k u K +  1 v 1 +... +  r v r )=0 Como los vi están en el kernel  0=  1 w 1 +...+  k w K, como los w i son una base de la magen, entonces son L.I. y la única solución es  i =0 Entonces el vector se reescribe como  1 v 1 +... +  r v r =0, como los v i son una base para el kernel son L.I., entonces la única solución  i =0 y los vectores son L.I. y por lo tanto es una base y la dimensión de (V,F) es (T)+  (T) = dim (V,F)

53 Transformaciones lineales Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)  (W,G), entonces existe una única matriz A (dim(v), dim(W)) tal que T(x)=Ax A est la matriz de transformación correspondiente a T. Demo sea B={e1,...,en} la base canónica en (V,F) T(ei)=wi Se puede formar la matriz A=[w1 wn] entonces Aei=wi (T(ei)=wi) En general T(x)=T(  1 e 1 +... +  n e n )=  1 w 1 +... +  n w n También Ax=A[  1 e 1 +... +  n e n ]=  1 w 1 +... +  n w n =T(x)

54 Transformaciones lineales Suponer que T(x)=Ax=Bx  (A-B)x=0, para x=ei (A-B)ei=0  que la i-ésima columna de (A-B) es cero, por lo que las matrices son iguales y A es única. Teorema Sea A la matriz de transformación correspondiente a T, entonces i) Im T  Im A, pero isomorfo ii)  (T)=  (A) iii)Ker T  Ker A, pero isomorfo iv) (T)= (A)

55 Transformaciones lineales Teorema. Sean (V,F), (W,G) dos espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. Sea T(V,F)  (W,G) una transformación lineal. Sean B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} las bases de los espacios respectivamente. Entonces existe una única matriz A (m,n) tal que: [T(x)] B2 =A(x B1 ) [T(x)] B2  la representación de T(x) en B2 T(x)=  1 w 1 +... +  m w m  [T(x)] B2 =[  1...  m ] T x B1 es la representación del vector en B1 La matriz A se conoce como la matriz de transformación correspondiente a T con respecto a las bases B1 y B2

56 Transformaciones lineales Considere los vectores T(v1,...,T(vn), escríbase A=[[T(v 1 )] B2... [T(v n )] B2 ] Como Avi B1 =Ae i = [T(v i )] B2 y x B1 es la representación del vector en B1, i.e. [  1...  n] T entonces A x B1 =[[T(v 1 )] B2... [T(v n )] B2 ] x B1 =  1[T(v 1 )] B2 +...+[T(v n )] B2 ]  n Por otro lado T(x B1 )=T(  1 v 1 +...+  n v n )=  1 T(v 1 )+...+  n T(v n ) Al poner cada uno de estos vectores en la representación de la base B2 se obtiene que: A x B1 = T(x B1 ) La unicidad es similar al teorema anterior

57 Transformaciones lineales Teorema.- Sea A (m,n) la matriz de transformación correspondiente a T:(V,F)  (W,G) con respecto a las bases B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} respectivamente. Suponga que hay otras bases B1’={v1’,...,vn’} y B2’={w1’,...,wm’} de los espacios respectivos. Entonces la matriz A’ correspondiente a la misma transformación T con respecto a las bases B1’ y B2’ está dada por: A’=P -1 AQ P es la matriz de transición (de paso) de la base B2’ en B2 Q es la matriz de transición (de paso) de la base B1’ en B1

58 Transformaciones lineales Demo. Sabemos que [T(x)] B2 =Ax B1 Ahora, x B1 =Qx B1’ y [T(x)] B2 =P[T(x)] B2’ Por tanto P[T(x)] B2’ =A Qx B1’ [T(x)] B2’ =P -1 A Qx B1’ A’=P -1 AQ es la matriz de transformación

59 Transformaciones lineales En especial, si (V,F) y (W,G) son los mismos, entonces A’=P -1 AP Definición. Se dice que dos matrices cuadradas A y B son similares si existe una matriz P no singular (determinante diferente de cero) tal que B=P -1 AP

60 Transformaciones lineales Transformaciones T Inyectiva  Kernel T = {0} Sobre Teorema. T:V  W una transformación lineal y dim v=n y dim w=m i) si n>m,  T no es inyectiva ii) si m>n  T no es sobre Demo. Tarea.

61 Transformaciones lineales Definición. Una T.L es un Isomorfismos ssi es inyectiva y sobre. La matriz de un isomorfismo es invertible. Definición. Se dice que (V,F) y (W,G) son isomorfos ssi existe un isomorfismo entre ambos Teorema. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces (V,F) y (W,G) son isomorfos si dim (V,F)=dim (W,G) Demo. Obtener bases para cada uno. Entonces quedan representados en (R n,R). Como son bases en el mismo espacio, existe una matriz de cambio de base A. por teoremas anteriores existe una T.L. asociada a A que es un isomorfismo. Si existe el isomorfismo entre las representaciones, lo existe entre los espacios.

62 Transformaciones lineales Corolario. Cualquier espacio de dimensión n es isomorfo a (R n,R) Teorema. Si T:(V,F)  (W,G) es un isomorfismo i) Si {v1,...vn} genera (V,F), entonces {T(v1),...,T(vn)} genera (W,G) ii) Si {v1,...vn} son L.I., entonces {T(v1),...,T(vn)} son L.I. iii) si {v1,...vn} es una base, entonces {T(v1),...,T(vn)} es una base. Demo. i) v=  1 v 1 +... +  n v n  T( v)=w=  1 T(v 1 )+... +  n T(v n )  {T(v1),...,T(vn)} genera (W,G) iii) Suponga que 0=T( v)=w=  1 T(v 1 )+... +  n T(v n ), entonces T(  1 v 1 +... +  n v n )=0, como T es isomorfismo T(0)=0 es el único. Entonces  1 v 1 +... +  n v n =0, pero como son L.I.   i =0 y por tanto {T(v1),...,T(vn)} son L.I. iii) se sigue de anteriores.

63 Transformaciones lineales Prop. Si T:(V,F)  (W,G) es un isomorfismo, entonces para todo vector w  W existe un único vector v  V tal que T -1 (w)=v, donde T -1 :(W,G)  (V,F) es conocida como la transformación inversa de T. Demo. 2 partes T -1 es T.L. y T -1 (w)=v único T(v1)=w1;  T -1 (w1)=v1; T(v2)=w2  T -1 (w2)=v2 T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)=w1+w2  T -1 (w1+w2)=v1+v2 T(  v1)=  T(v1)=  w1  T -1 (  w1)=  v1 Como T es isomorfiso, la definición de T -1 hace que exista un único valor de regreso. Nota. T es T.L.  A es su operador T -1 es la inversa de T, entonces A -1 es el operador de T -1

64 Transformaciones lineales Operaciones con transformaciones lineales Sean (V,F) y (W,F) dos espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Hom(V,W) es el conjutno de todas las transformaciones lineales entre (V,F) y (W,F). Sean T1 y T2 dos T.L. entre (V,F) y (W,F) Se define la suma T1+T2 como T1+T2:V  W (T1+T2)(v)=T1(v)+T2(v) para todo  F,  T1 es (  T1)(v)=  T1(v)

65 Transformaciones lineales El conjunto Hom(V,W) definido anteriormente es un espacio vectorial sobre el campo F. Demo. Tarea.

66 Algebra de Transformaciones lineales Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3  A y   F: T1(T2+T3)=T1T2+T1T3 (T2+T3)T1=T2T1+T3T1  (T1T2)=(  T1)T2=T1(  T2) Si además se cumple que (T1T2)T3=T1(T2T3) entonces A es un álgebra asociativa

67 Algebra de Transformaciones lineales Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean T1:V  U y T2:U  W dos transformaciones lineales. Se define la composición de T2 seguida de T1 T2  T1 como la función de V a W (T2  T1) :V  W tal que (T2  T1)(v)=T2(T1(v)) Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2  T1 también lo es. Demo. Sean u,v  V y ,   F, entonces (T2  T1)(  v+  u)=T2(T1(  v+  u))=T2(  T1(v)+  T1(u)) =  (T2  T1)(v)+  (T2  T1)(u) (T2  T1) es T.L. Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa.

68 Adicional de Transformaciones lineales Sean A, B dos matrices de qxn y nxp con coeficientes en el mismo campo. Entonces  (A)+  (B)-n   (AB)  min(  (A),  (B)) Demo  (B)  (A) R(B) R(A) R(AB) n(B) n(A) pn d

69 Adicional de Transformaciones lineales De la figura  (AB)  min(  (A),  (B)). También  (AB)=  (B)-d (la intersección de R(B) y n(A). La dimensión de n(A)=n-  (A)  d  n+  (A) y se sigue que  (AB)   (A)-n+  (B) Si B es no singular  (A)+  (B)-n =  (A)   (AB)  min(  (A),n) =  (A)  (B)  (A) R(B) R(A) R(AB) n(B) n(A) pn d

70 4. Valores y vectores propios

71 Valores y vectores propios Definición y propiedades Teorema de Cayley-Hamilton Diagonalización de matrices

72 Valores y vectores propios Definición. Sea V un espacio vectorial y T:V  V una transformación lineal del espacio en sí mismo. Sea v  V un vector diferente de cero pa el cual existe un escalar tal que T(v)= v, entonces se dice que es un valor propio de T y que v es un vector propio de T asociado a.

73 Valores y vectores propios Cuando V es un espacio de dimensión finita, la transformación T la podemos representar como una matriz A de n,n. Entonces podemos redefir los valores y vectores propios de la siguiente forma. Definición. Sea A una matriz de n,n. El escalar se denomina valor propio de A si existe un vector x diferente del nulo, tal que Ax= x nuevamente x es el vector propio asociado a.

74 Valores y vectores propios Teorema. Sea A una matriz de n,n. Entonces es un valor propio de A ssi det( I-A)=0 Demo. Sólo si. Suponga que es un valor propio de A; entonces existe un vector x diferente de cero tal que Ax= x  ( I-A)x=0, como x diferente de cero  ( I-A) es singular  det( I-A)=0

75 Valores y vectores propios (si). Si det( I-A)=0  ( I-A) es singular  ( I-A)x=0 tiene soluciones diferentes de cero, entonces existe x diferente de cero tal que Ax= x.

76 Valores y vectores propios Definición. La ecuación det( I-A)=0 se conoce como ecuación característica de A, y el polinomio p( )=det( I-A) Observe que p( )=(det( I-A)=a 0 +a 1 +...+a n  por el teorema fundamental del álgebra, cualquier polinomio de grado n tiene n raíces (contando multiplicidades). p( )=(det( I-A)=a 0 +a 1 +...+a n = ( - 1 ) r1...( - m ) rm Los número ri son la multiplicidad algebraica de los valores propios de 1,..., m.

77 Valores y vectores propios Teorema. Sea un valor propio de A y E ={x|Ax= x}. Entonces E es un subespacio vectorial de C n Nótese que E son las soluciones de ( I- A)x=0, es decir el kernel de un operador lineal  es un subespacio vectorial.

78 Valores y vectores propios Definición. Sean un valor propio de A. Entonces E se denomina espacio propio de A correspondiente a. Definición. Sea E el espacio propio de A debido a. A la dimensión de E se le conoce como multiplicidad geométrica de. Multiplicidad geométrica de =dim E =dim{Ker ( I-A)}

79 Valores y vectores propios Ejemplos y procedimientos de cálculo. 4-2 11 2 -42 1 2

80 Valores y vectores propios Teorema. Sea un valor propio de A. Entonces se cumple que la multiplicidad geométrica de  multiplicidad algebraica de

81 Valores y vectores propios Teorema. Sean 1, 2,..., m valores propios diferentes de A (n,n), donde m  n y sean x 1, x 2,..., x m sus vectores propios correspondientes. Entonces x 1, x 2,..., x m son linealmente independientes. Demostración. Suponga que {x 1,...,x m } son L.D. y que x s es el primer vector L.D. de los previos x s =  1 x 1 +  2 x 2 +...+  s-1 x s-1 Multiplicando por A Ax s =  1 Ax 1 +  2 Ax 2 +...+  s-1 Ax s-1

82 Valores y vectores propios s x s =  1 1 x 1 +  2 2 x 2 +...+  s-1 s-1 x s-1 Restando ecuaciones y multiplicando por s se tiene 0=  1 ( 1 - s )x 1 +  2 ( 2 - s ) x 2 +...+  s-1 ( s-1 - s )x s-1 Como xs es el primer vector L.D. entonces  1 ( 1 - s )=  2 ( 2 - s )=...=  s-1 ( s-1 - s )=0 como i  s   i =0  xs=0, lo cual contradice la suposición  las vectores son L.I.

83 Valores y vectores propios Teorema. La matriz A (n,n) tiene n vectores propios L.I. ssi la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica. Tarea (Grossman, pag 545)

84 Valores y vectores propios Definición. Sea F(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a n x n un polinomio y A una matriz cuadrada Se define el polinomio f(x) en la matriz A como: F(A)=a 0 I+a 1 A+a 2 A 2 +...+a n A n Sy f(A) es igual a la matriz cero, entonces se dice que A es raíz (o cero) del polinomio f(x). Sea F( ) (n,n) una matriz polinomial en la variable, i.e. F( )=F 0 +F 1 +...+F m m = F( )=F 0 + F 1 +...+ m F m donde F 0, F 1,...,F m son matrices cuadradas reales.

85 Valores y vectores propios Se dice que F( ) es de orden n; y si F m  0, entonces F( ) es de grado m. Además F( ) se dice regular si det(F m )  0 Definicion. Sean F( ) y G( ) matrices polinomiales de orden n., y G( ) es regular. Las matrices polinomiales Q( ) y R( ) se conocen como cociente derecho y residuo derecho respectivamente de F( ) dicidida por G( ) si F( )= Q( ) G( ) + R( ) y si el grado de R( ) es menor que el grado de G( ) [R( ) puede ser cero]

86 Valores y vectores propios De manera similar se pueden definir el cociente izquierdo y residuo izquierdo Sea A (n,n) y denota F(A) la evaluación por la derecha de A en la matriz polinomial F( ), esto es, si F( )=F 0 +F 1 +...+F m m = F( )= F 0 +F 1 A+...+F m A m

87 Valores y vectores propios Teorema. Si la matriz polimial F( ) es dividida por la derecha por la matriz ( I-A) entonces el residuo es F(A), y si es dividida por la izquierda por ( I-A) entonces el resiudo es F’(A) (por la izquierdA). Demostración. Tarea. (teorema generalizado de Bezout, Grantmatcher, pag 81)

88 Valores y vectores propios Corolario. La matriz polinomial F( ) es divisible por la derecha por la matriz ( I-A) sin residuo (R( )=0) ssi F(A)=0 (De manera similar se puede hacer por la izquierda) Teorema (Cayley-Hamilton). Toda matriz A (n,n) es raíz de su polinomio característico. Demostración. P( )=det( I-A)=a 0 +a 1 +...+ n Hay que mostrar que P(A)=0

89 Valores y vectores propios de teoremas previos ( I-A)adj( I-A)=det( I-A)I=[adj( I-A)]( I-A) Lo cual puede verse como P( )=( I-A)Q( )=Q( )( I-A) donde Q( )=adj( I-A) es una matriz polinomial en y P( )=det( I-A)I=a 0 I+a 1 I+...+ n I como P( ) es divisible por la derecha y por la izquierda por ( I-A) sin residuos, entonces P(A)=a 0 I+a 1 AI+...+A n I

90 Valores y vectores propios Definición. Se dice que el polinomio F( ) es un polinomio aniquilador de la matriz A (n,n) si F(A)=0 (p.e. el polinomio característico de A) Definición. Al polinomio aniquilador mónico Q( ) de A de menor grado se le conoce como polinomio mínimo de A.

91 Diagonalización de matrices Definición. Se dice que A (n,n) es diagonalizable (bajo similaridad) si existe una matriz no singular P tal que P-1AP es diagonal

92 Diagonalización de matrices Teorema. La matriz A (n,n) es diagonalizable ssi tiene n vectores propios linealmente independientes Si 1, 2,..., n son los valores propios de A y los vectores propios x 1, x 2,..., x n correspondientes a estos valores propios son linealmente independientes, entonces P -1 AP=diag{ 1, 2,..., n }, donde P=[x 1 x 2... X n ]

93 Diagonalización de matrices Demostración. (si) Suponga que A tiene n vectores propios L.I. x 1 x 2... x n correspondientes a los valores propios 1, 2,..., n (algunos pueden ser repetidos). Sea P la matriz [x 1 x 2... x n ], entonces AP= [Ax 1 Ax 2... Ax n ]= [ 1 x 1 2 x 2... n x n ] = [x 1 x 2... x n ]diag{ 1, 2,..., n } =Pdiag{ 1, 2,..., n } Como P es no singular  tiene inversa P -1 AP=diag{ 1, 2,..., n }

94 Diagonalización de matrices Demostración. (sólo si) Suponga que existe una matriz no singular P tal que P -1 AP=diag{ 1, 2,..., n } AP=Pdiag{ 1, 2,..., n } Para cada xi de P se tiene que: Ax i = i x  xi es vector propio de A i es valor propio de A P es no singular  A tiene n vectores propios L.I.

95 Diagonalización de matrices Corolario. La matriz A (n,n) es diagonalizable ssi la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica. En particular A es diagonalizable si todos sus valores propios son distintos

96 Diagonalización de matrices Teorema. Si A y B son similares, entonces tienen el mismo polinomio característico, y por consiguiente los mismos valores propios. Demo. det( I-B)=det( I-P -1 AP)=det( P -1 P- P -1 AP)=det(P -1 ( I-A)P)=det(P -1 )det( I- A)det(P)=det( I-A)

97 Diagonalización de matrices Teorema. Si A y B son similares, i.e. existe una matriz no singular tal que B=P -1 AP. Entonces: i) B k =P -1 A k P ii)Si f(x)=a 0 +a 1 x+...+a n x n es un polinomio cualquiera, entonces f(B)=P -1 f(A)P

98 Diagonalización de matrices Demo B k =(P -1 AP) k = =(P -1 AP)(P -1 AP)...(P -1 AP)= P -1 A k P ii)Si f(B)=a 0 I+a 1 (P -1 AP)+...+a n (P -1 A n P)= =P -1 (a 0 +a 1 A+...+a n A n )P=P -1 f(A)P

99 Diagonalización de matrices 112 013 002

100 Tiene dos propio valores 1 =1, 2 =2 con multiplicidades algebraicas 2 y 1 y geométricas 1 y 1 respectivamente  no es posible diagonalizar A, pero ¿es posible encontrar una bse donde A sea casi diagonal?

101 Diagonalización de matrices Definición.- Un vector v es llamado un vector propio generalizado de rango k de A asociado con iff (A- I) k v=0 (A- I) k-1 v  0 Note que si k=1 coincide con vector propio

102 Diagonalización de matrices Definición.- v k =v  vector propio generalizado v k-1 =(A- I)v=(A- I)v k v k-2 =(A- I) 2 v=(A- I)v k-1... v 1 =(A- I) k-1 v=(A- I)v 2

103 Diagonalización de matrices... v k-2 =(A- I) 2 v=(A- I)v k-1... Entonces para 1  i  k v i es un vector propio generalizado de rango i, por ejemplo (A- I) k-2 v k-2 =(A- I) k-2 (A- I) 2 v=(A- I) k v=0 (A- I) k-1 v k-2 =(A- I) k-1 v  0

104 Diagonalización de matrices Definición.- Lleamaremos a los vectores {v 1, v 2,...,v k } una cadena de vectores propios generalizados si v k es un vector propio generalizado que dio origen a todos los demás vectores

105 Diagonalización de matrices Teorema. El conjunto de vectores propios generalizados v 1, v 2,..., v k definidos anteriormente es L.I. Demostración.- Suponer que v 1, v 2,..., v k son L.D., entonces existen soluciones diferentes de la trivial a:  1 v 1 +  2 v 2 +...+  k v k =0 Multiplicando por (A- I) k-1 y observando que v i =v k-(k-i) =(A- I) k-i v  por definición

106 Diagonalización de matrices entonces (A- I) k-1 v i =(A- I) 2k-(i+1) v=0 para i=1,2,...,k-1  k (A- I) k-1 v k =0 y sabiendo de la def. de vector propio generalizado que (A- I) k-1 v k  0,   k =0 Aplicando ahora (A- I) k-2 se demuestra que  k-1 =0 Siguiendo esto se tiene que  i =0, lo que contradice la suposición.  son L.I.

107 Diagonalización de matrices Teorema: Los vectores propios generalizados de A asociados con diferentes propio valores son L.I. Demostración. Sea v vector propio generalizado  1 v i =(A- 1 I)v i+1 =(A- 1 I) k-i v Sea u vector propio generalizado  2 u i =(A- 2 I)u i+1 =(A- 2 I) l-i u Del teorema anterior los v i son L.I. y los u i son L.I, falta ver que {u i }, {v i } son L.I.

108 Diagonalización de matrices Suponer que vi es L.D. en {u1,...,ul} v i =  1 u 1 +  2 u 2 +...+  l u l Aplicando (A- 1 I) i 0= (A- 1 I) i [  1 u 1 +  2 u 2 +...+  l u l  ] Ahora aplicando (A- 2 I) l-1 y observando que (A- 2 I) l-1 (A- 1 I) i = (A- 1 I) i (A- 2 I) l-1 y el hecho de que (A- 2 I) l-1 u j =0, j=1,2,..., l-1 0=  l (A- 1 I) i (A- 2 I) l-1 u l =  l (A- 1 I) i u 1 Como (A- 2 I)u1=0 o Au1= 2 u1, la ecuación anterior se reduce a  l ( 2 - 1 ) i u 1 =0

109 Diagonalización de matrices se reduce a  l ( 2 - 1 ) i u 1 =0 lo cual implica que  l =0. Un procedimiento similar llega a la conclusión de que todos los  i =0, lo que contradice la suposición y los vectores son L.I.

110 Diagonalización de matrices Teorema. Sean u y v propio vectores de rango o y l respectivamente, asociados con el mismo valor propio. v i =(A- I)v i+1 =(A- 1 I) k-i v u i =(A- I)u i+1 =(A- 2 I) l-i u Si u 1 y v 1 son L.I.  las cadenas son L.I.

111 Diagonalización de matrices El tratar de construir la forma casi diagonal (diagonal por bloques o forma de Jordan) se convierte en un proceso iterativo. 1.- se calculan propio valores y propio vectores de la forma tradicional. 2.- Si la multiplicidad algebraica es mayor que la geométrica  tratar de encontrar una cadena lo suficientemente larga de vectores generalizados para construir los vectores L.I. independientes faltantes, de lo contrario construir cadenas más pequeñas hasta completarlos

112 Matrices unitarias Si P es no singular  B=P -1 AP transformación de similaridad Sirven para cambio de bases Más conveniente si las bases son ortogonales y ortonormales Si {x 1,...,x p } es un conjunto ortonormal  x i T x i =1 y x i T x j =0 Si hacemos que P=[x 1,...,x p ]  P T P=I o P T =P -1

113 Matrices unitarias Definición. Una matriz P (de reales) para la cual P T =P -1 tal que P T P=I, se dice ser unitaria. Teorema. a) P unitaria  el conjunto de vectores columna es ortonormal b) P unitiaria  |det(P)|=1 c) P unitaria  = d) P unitaria  si valor propio de P  | |=1 Demo. Clara

114 Matrices unitarias Teorema. Si B=P -1 AP donde P es unitaria (se dice transformación de similaridad unitaria)  todo lo que se vió de propiedades de similaridad sigue valiendo.

115 Matrices unitarias Teorema. Si A es una matriz de pxp. a) A es similar unitaria a una matriz triangular superior T; T=P -1 AP con P unitaria y con los propiovalores de A en su diagonal principal. T es llamada la forma de Shur de A y la descomposición A=PTP -1 = PTP T es la descomposición Shur de A. Demo. Si p=1 ya terminamos. Suponer que para p=k es cierto Para p=k+1 tenemos.

116 Matrices unitarias 1 es el propio valor asociado a x 1, podemos normalizar este vector para que ||x 1 || 2 =1 Entonces x1 entra a la base que ya teníamos de propiovectores ortonormalizados {w 1,...,w k } si no es otronormal a esta base, aplicamos Gram-Schmidt y tenemos la nueva base {x 1,w 1,...,w k } U= [x 1,w 1,...,w k ]=[x 1,W] A’=U T AU=[x 1,W] T A[x 1,W]=[x 1,W] T [Ax 1 AW]= 1 x 1 T AW 0W T AW 1 bTbT 0C =

117 Matrices unitarias Definición. Una matriz A de pxp es normal si A T A=AA T Teorema. A normal  D=P T AP, D es diagonal, y P es unitaria. Por tanto los propio vectores de A son p linealmente independientes

118 Matrices unitarias Veamos ahora el caso en que A=U  V T, con U y V unitarias de pxp y qxq,  es pxq casi cero, excepto en la diagonal que vale  ii =  i que es un real no negativo. 200 000 300 020 40 06 00 Así son 

119 Matrices unitarias Claramente se tendría AV=U   Av i =  i u i para 1  i  min(p,q), dende los u i, v i son las columnas de U y V respectivamente. Además A T A= (U  V T ) T (U  V T )=V  T U T U  V T =V(  T  )V T donde  T  =D=VTA T AV es diagonal de qxq  que los propio vectores de A T A sirven para construir V y D tiene los valores propios D=  T  Similarmente para el caso AA T =U(  T  )U T  en este caso D=  T

120 Matrices unitarias Definición. A la descomposición que hemos venido manejando, A=U  V T, se le conoce como descomposición en valores singulares de A. Viendo lo que hicimos para la descomposición de Schur, podemos ver que la descomposición en valores singulares siempre existe. Los valores singulares de A son los  i, y el número de valores no cero es el rango de A. Los u i son los vetores singulares izquierdos y los v i los vectores singulares derechos relacionados con  i.

121 11 22 22 99 99 A= ATAATA propiovalores 18 y 0.   1=18 (1/2) y  2=0 Un par de vectores propios de A T A normalizados son v1=[1.71/2 1.71/2] T y v2=[1.71/2 -1.71/2] T Entonces V=[V1 v2]

122 11 22 22 A= AA T = propiovalores 18 y 0.   1=18 y  2=0 Vectores propios de AA T normalizados son u1=[1/3 2/3 2/3] T u2=[(-2)5 1/2 /5 5 1/2 /5 0] T u3 =[(2)5 1/2 /15 (4)5 1/2 /15 (-1)5 1/2 /3 ] T Entonces U=[u1 u2 u3] 244 488 488

123 11 22 22 A= AA T = 244 488 488 3(2) 1/2 0 00 00

124 Mínimos cuadrados Suponer que A=U  V T, es la descomposición en valores singulares, donde A es de rango k. El problema es minimizar ||Ax-b||2 con respecto a x. ||Ax-b|| 2 =||U  V T x-b|| 2 =||  y-U T b|| 2 y=VTx  ||Ax-b|| 2 es mínimo cra x ssi ||  y-U T b|| 2 es mínimo cra y. ||  y-b’|| 2 2 =|  1y 1 -b 1 ’| 2 +...+|  k y k -b k ’| 2 +|b k+1 ’| 2 +...+|b p ’| 2 b’=U T b Es minimizado si y i =b i ’/  i

125 Mínimos cuadrados Entonces para ||Ax-b||2 con respecto a x. Encontrar A=U  V T Calcular b’=U T b Calcular y i =b i ’/  i para 1  i  k, y i =0 otro caso x 0 =Vy y=VTx  ||Ax-b|| 2 es mínimo cra x ssi ||  y-U T b|| 2 es mínimo cra y. ||  y-b’|| 2 2 =|  1y 1 -b 1 ’| 2 +...+|  k y k -b k ’| 2 +|b k+1 ’| 2 +...+|b p ’| 2 b’=U T b Es minimizado si y i =b i ’/  i