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Límites Oscar Cid Turcott correo electrónico: Instituto Tecnológico de Puebla.

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2 Límites Oscar Cid Turcott correo electrónico: Instituto Tecnológico de Puebla

3 Resumen La notación para la definición de límite, es muy compleja y confusa cuando los alumnos tratan con ella por primera vez en los cursos de Cálculo Diferencial, sin embargo, es la manera precisa de definir el límite de una función, cuando este existe. Una manera de visualizar de forma dinámica este concepto, se basa en el paquete Cabri Geometre II y la interpretación geométrica de la definición de límite. Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

4 Introducción Sea la función Se quiere ver el comportamiento de la función cuando al variar x, ésta se acerca a un punto fijo que se ha seleccionado (pero nunca es este punto). Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

5 En este ejemplo, se quiere ver el comportamiento de f(x) cuando x toma diferentes valores cercanos a 1, es decir x y y = 3x + 4 cuando x tiende a 1, o de manera formal Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

6 Con Cabri marcamos tres puntos, O, P y Q (al mover P se representa a x ) x = y = y = 3x + 4 se mueve P sobre el eje x, acercándose a 1 O Q P Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

7 x = y = y = 3x + 4 y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y O Q P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

8 x = y = y = 3x + 4 y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y O Q P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

9 x = y = y = 3x + 4 y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y O Q P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

10 x = y = y = 3x + 4 y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y O Q P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

11 x = y = y = 3x + 4 y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y O Q P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

12 x = y = y = 3x + 4 y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y O Q P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

13 x = y = y = 3x + 4 y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y O Q P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

14 x = y = y = 3x + 4 y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y O Q P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

15 x = y = y = 3x + 4 y al hacerlo, también se mueve el puntog Q variando los valores de x y y O Q P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

16 x = y = y = 3x + 4 y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y O Q P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

17 x = y = y = 3x + 4 y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y O Q P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es... 7 Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

18 x = y = y = 3x + 4 Se puede observar que a medida que x se acerca a 1, y se acerca a 7, pero y = f(x) O Q P por lo que se puede escribir lo anterior de la manera: Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

19 x = y = y = 3x + 4O Q P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

20 x = y = y = 3x + 4 Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos O Q P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

21 x = y = y = 3x + 4 O Q P Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

22 x = y = y = 3x + 4 O Q P Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

23 x = y = y = 3x + 4 O Q P Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

24 x = y = y = 3x + 4 O Q P Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

25 x = y = y = 3x + 4 O Q P Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

26 x = y = y = 3x + 4 O Q P Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

27 x = y = y = 3x + 4 O Q P Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

28 x = y = y = 3x + 4 O Q P Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

29 x = y = y = 3x + 4 O Q P Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

30 x = y = y = 3x + 4 O Q P Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es... Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

31 x = y = y = 3x + 4 O Q P Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...7 Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

32 En ambos acercamientos a 1, tanto a la derecha como a la izquierda el valor límite es 7, cuando esto sucede, se dice que el límite existe y se representa en notación matemática Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

33 Donderepresenta el límite por la derecha y representa el límite por la izquierda Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

34 Cuando el límite por la derecha no es igual al límite por la izquierda, no existe el límite de la función. Con esto se concluye que la distancia a la izquierda debe ser igual a la distancia a la derecha (de otro modo, el radio que esté a una distancia más corta tenderá a un valor, y el de la derecha a otro). Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

35 7 1 Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

36 7 1 Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

37 7 1 Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

38 7 1 Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

39 7 1 Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

40 7 1 Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

41 7 1 Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

42 7 1 Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

43 7 1 Que se les pueden llamary Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

44 7 1 Que se les pueden llamary y que se pueden hacer tan pequeños como se necesite Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

45 7 1 Que se les pueden llamary y que se pueden hacer tan pequeños como se necesite Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

46 7 1 Que se les pueden llamary y que se pueden hacer tan pequeños como se necesite Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

47 7 1 Que se les pueden llamary y que se pueden hacer tan pequeños como se necesite Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

48 7 1 Que se les pueden llamary y que se pueden hacer tan pequeños como se necesite Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

49 Se han creado dos intervalos que tienen como centros 1 y 7 y radios y respectivamente por lo que se forman los intervalos: Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

50 Se han creado dos intervalos que tienen como centros 1 y 7 y radios y respectivamente por lo que se forman los intervalos: Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

51 Se han creado dos intervalos que tienen como centros 1 y 7 y radios y respectivamente por lo que se forman los intervalos: Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

52 Se han creado dos intervalos que tienen como centros 1 y 7 y radios y respectivamente por lo que se forman los intervalos: Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

53 De esta manera, se pueden formar dos franjas formadas por estos intervalos, intersectándose en un rectángulo que al irse cerrando, se van acercando a un punto fijo Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

54 De esta manera, se pueden formar dos franjas formadas por estos intervalos, intersectándose en un rectángulo que al irse cerrando, se van acercando a un punto fijo Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

55 De esta manera, se pueden formar dos franjas formadas por estos intervalos, intersectándose en un rectángulo que al irse cerrando, se van acercando a un punto fijo Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

56 De esta manera, se pueden formar dos franjas formadas por estos intervalos, intersectándose en un rectángulo que al irse cerrando, se van acercando a un punto fijo Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

57 De esta manera, se pueden formar dos franjas formadas por estos intervalos, intersectándose en un rectángulo que al irse cerrando, se van acercando a un punto fijo Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

58 De esta manera, se pueden formar dos franjas formadas por estos intervalos, intersectándose en un rectángulo que al irse cerrando, se van acercando a un punto fijo Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

59 De esta manera, se pueden formar dos franjas formadas por estos intervalos, intersectándose en un rectángulo que al irse cerrando, se van acercando a un punto fijo Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

60 Este punto fijo, es el límite de la función y los intervalos de acuerdo a la definición de valor absoluto, se pueden reescribir de la siguiente manera: Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

61 = = = = Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

62 Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y = = = = Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

63 Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y = = = = Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

64 = = = = Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

65 = = = = Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

66 = = = = Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

67 = = = = Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

68 = = = = Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

69 = = = = Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

70 = = = = Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

71 = = = = Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

72 = = = = Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

73 = = = = Ahora lo que resta es saber para qué valores de y se cumplen las desigualdades y Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

74 = = = = Vemos que en todos los valores anteriores, de lo que se concluye, quese satisface cuando se cumple la desigualdadescogiendo Instituto Tecnológico de Puebla Oscar Cid Turcott correo electrónico:

75 Esta manera dinámica de tratar a los límites, ayuda mucho en la comprensión de este concepto. Se anexa un archivo en Cabri con este ejemplo: límite.fig Oscar Cid Turcott correo electrónico: Instituto Tecnológico de Puebla

76 Datos de identificación del Autor Oscar del Angel Cid Turcott. Institución: Instituto Tecnológico de Puebla. Dirección electrónica: Currículo: Formación académica. Licenciatura en física: Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas. Universidad Autónoma de Puebla Maestría en Ciencias: Departamento de Ciencia de Materiales. ESFM-IPN Maestría en Ciencias en Matemática Educativa. CIIDET Actividad académica actual: Profesor de tiempo completo. Departamento de Ciencias Básicas. Instituto Tecnológico de Puebla. Línea de interés: Desarrollo de didácticas en la enseñanza de ecuaciones diferenciales, métodos numéricos, fundamentos de física y resolución de problemas utilizando recursos computacionales.


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