FLEXION VARIABLE.

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1 FLEXION VARIABLE

2 Comencemos analizando el comportamiento de una barra
alternativa 1 (sección maciza) alternativa 2 ( 3 tablas) Aplicamos una carga P y observemos las deformaciones en c/u. En la barra conformada por 3 tablas se aprecia un “escalonamiento” Cada barra tiene 2 tensiones s+ y s- Una fibra se alarga y la contigua se acorta Desplazamiento relativo entre fibras Produce el “escalonamiento”

3 sadm ≥ smax = Mmax . ymax / Jy
Determinemos el máximo valor de P en ambas casos alternativa 1 (sección maciza) alternativa 2 ( 3 tablas) Planteamos un modelo matemático Cada tabla recibe 1/3 de P sadm ≥ smax = Mmax . ymax / Jy P.L / 4 . d / 2 12 P.L smax = (P/3).L / 4 . (d/3)/.2 9 P.L = smax = = 3 2 8.b d 3 b d / 12 2 b (d/3) / 12 2.b d 2 2 2 b d 2 b d sadm sadm PM = PT = 3 L 9 L

4 ¿Cuál barra se comporta mejor a flexión?
La barra maciza, porque para una misma acción soporta 3 veces más carga ¿Cómo logro una barra maciza cuando tengo 3 tablas separadas? Pegando dichas tablas Vinculando dichas tablas Al poner vínculos estamos en presencia de fuerzas (reacciones de vínculos) Son vínculos continuos entre las tablas, aparecen tensiones tangenciales Tensiones tangenciales de resbalamiento

5 ∑Fy= Qz – (Qz + dQz) + qy dx = 0
Planteemos las ecuaciones de equilibrio Teoría de JOURAVSKI Analicemos una viga simplemente apoyada ∑Fy= Qz – (Qz + dQz) + qy dx = 0 qy= - dQz / dx G 2 ∑My = -(Qz + dQz).dx + qy dx/2 – My +(My +dMy) = 0 Despreciamos infinitésimos de 2do. orden Qz= dMy / dx Separemos una rebanada elemental para su análisis Vista lateral de la rebanada

6 F1 = ∫ sx .dF F2 = ∫ ( sx + dsx ) .dF dH = F2 - F1
Analicemos las tensiones normales Cortamos una rebanada paralela a xy Determinamos F1 y F2 fuerzas dadas por el volumen de sx sobre el área F* F1 = ∫ sx .dF F2 = ∫ ( sx + dsx ) .dF dH = F2 - F1 F* F*

7 ∫ ( sx + dsx ) .dF ∫ F1 ≠ F2 Qz = - ∫ sx .dF SLN SLN dsx ≠ 0 Jy Jy Jy
Destaquemos este concepto : dsx ≠ 0 dMx ≠ 0 es decir, F1 ≠ F2 dMx Qz = si no hay Flexión Variable no hay Corte dMx ≠ 0 dx genera dH (Reacción de Vínculo Interno entre las partes que hemos separado) Desarrollemos matemáticamente Jouravsky ∫ ( sx + dsx ) .dF - ∫ sx .dF dH = F2 - F1 dH = ∑Fx = 0 F* F* dMy dH = ∫ dsx .dF = ∫ z. dF Flexión considerando a y como LN (línea neutra) y como EPI (eje principal de inercia). De no cumplirse esta condición deberá usarse la solución general propuesta por Timoshenko Jy F* F* dMy ∫ dH = z. dF a lo largo de la rebanada dMy ≡ cte y Jy ≡ cte Jy F* Momento estático de la sección F* (sección que tiende a resbalar) con respecto a la Línea Neutra F* SLN dMy F* SLN dH = Jy

8 t uniforme = t media en el área dx .bz
Hipótesis Simplificativa de Jouravsky Jouravsky, al ver que se desconoce las leyes de variación de t en el área dx . bz (donde actúa dH) supuso t uniforme t uniforme = t media en el área dx .bz dMy F* dH = tzx . bz . dx = SLN Jy F* F* F* Qz . SLN Qz . SLN SLN dMy 1 tzx = tzx = txz = tzx = txz = dx Jy bz Jy . bz Jy . bz Expresión clásica de Jouravsky Qz Por Cauchy tzx = tzx

9 txz = 0 txz = txz = Qz . b. ( d/2 – z) . [ z + (d/2 – z )/2 ] txz =
Barra de Sección Rectangular Qz . b. ( d/2 – z) . [ z + (d/2 – z )/2 ] Qz . SLN Qz . SLN Qz . SLN txz = txz = txz = txz = txz = txz = 3 b . d Jy . bz Jy . bz Jy . bz Jy . bz b 12 12.Qz . ( d/2 – z) ( z + d/4 – z/2 ) 12.Qz . ( d/2 – z) . (d/4 + z/2 ) txz = = 3 3 b . d b . d Ecuación Cuadrática de 2° Grado – Distribución parabólica 6.Qz ( d/2) – z 2 [ ] txz = 0 txz = Verifica Cauchy Para z = d/2 3 txz = b . d 6.Qz 3.Qz Para z = 0 = 4.b.d 2 .F 50 % mayor que haber considerado una distribución uniforme t = Q / F

10 Analicemos como establecemos el signo de la tensiones
Sobre la sección actúa un corte 2. En la cara de posterior de la rebanada elemental actual un corte igual pero de signo contrario 3. Se genera una cupla entre ambos cortes 4. Se equilibra con el dM 5. Separamos una rebanada 6. La integración de las tensiones normales generadas por el dM sobre el F* dan un dF 7. Las tensiones de resbalamiento equilibran el dF 8. Por Cauchy aparecen las tensiones sobre la cara sombreada

11 Limitaciones de la fórmula de Esfuerzo Cortante
Efecto de la forma transversal En la línea 1-1 suponemos tensiones t uniformes La distribución real de las tensiones se originan en una solución de la Teoría Matemática de la Elasticidad Para barras esbeltas h >> b podemos aceptar t uniforme. Para h > 2.b tmáx es un 3% mayor t uniforme (Jouravsky)

12 Sección Simétrica de Contorno Curvilíneo
Determinamos las tensiones en la línea AB Qz . SLN txz = Jy . bz Analizamos un cubo elemental en el punto A La tensión calculada t admite una componente tangencial al contorno tt y una normal tn Por Cauchy aparecen tensiones en las restantes caras del cubo tn = 0 porque es una superficie exterior libre de esfuerzos t debe ser considerada una tensión componente t resultante tiene que resultar tangente al contorno Adoptamos una ley de variación lineal para txy, lo que equivale a que las tensiones resultantes concurren al punto M

13 33,3 % mayor que haber considerado una distribución uniforme t = Q / F
Sección circular 33,3 % mayor que haber considerado una distribución uniforme t = Q / F Las tensiones halladas son resultantes únicamente para z = 0 Para otro z ≠ 0 existe la componente txy que muestra la figura

14 Alabeo de la sección solicitada a flexión y corte
Efecto de la longitud de la viga Alabeo de la sección solicitada a flexión y corte

15 Determinamos las tensiones tangenciales
Perfil doble T Determinamos las tensiones tangenciales t en el alma txz es parabólica txz es parabólica txz es parabólica txz es parabólica txz es parabólica para z = d/2 - t para z = d/2 - t para z = 0 para z = 0

16 Si extendemos la validez de la expresión txz en las alas
El salto que se observa es proporcional a la relación entre el ancho del ala b y el ancho del ala e A lo largo de toda la fibra A-A, tendremos t → por Cauchy en la cara inferior del ala aparecen t → Incompatible Las tensiones txz en las alas varían en forma parabólica, anulándose en el borde superior e inferior Para el resto del ala podemos adoptar una aproximación lineal

17 txy es lineal Determinamos las t en el ala para y = b/2 para y = e/2
Adoptamos una variación lineal El momento estático de ½ figura respecto de la LN es 0

18 f = t . e Qy = ∫ txy . dF = 0 Qz = ∫ txz . dF ∫
Flujo cortante f = t . e El flujo cortante de las dos mitades del ala superior es igual al flujo entrante en el alma y viceversa Aparece concentración de tensiones en el cambio de dirección Verificamos las ecuaciones de equivalencia Qy = ∫ txy . dF = 0 Qz = ∫ txz . dF Calculando integrales parciales en la sección transversal del perfil, obtenemos: ∫ Qy ≈ H1t – H1t + H2t – H2t = 0 Qz ≈ He= ∫ txz . dF Aproximado por la superposición de áreas ∫ Calculamos el Momento Torsor Baricentrico Mx = ∫ (txy . z – txy . y) . dF = 0 Se cumple las ecuaciones de equivalencia

19 txz = t = 2500 kg / 4250 cm4 . SLN / bz t = 0,6 kg/cm4 . SLN / bz
Ejercicio n°1 1°) Dimensiono a Flexión con un perfil M = 5000 kg.m W nec = kg.cm/1400 kg/cm2 = 357 cm 3 De la tabla Wx = 354 cm3 PN N° 24 2°) Verifico al Corte Qz . SLN txz = Jy . bz Datos: sadm = 1400 kg/cm2 t = 2500 kg / 4250 cm4 . SLN / bz Rectificamos el perfil (simplificamos) t = 0,6 kg/cm4 . SLN / bz 2 2 S11 = ( ) cm² = 270 cm² 1 1 S22 = cm² = 220 cm² 3 S33 = 4, cm² = 99 cm² 3

20 t11 = 0,6 kg/cm4 . 270 cm² / 1cm = 162 kg/cm²
t = 0,6 kg/cm4 . SLN / bz t11 = 0,6 kg/cm cm² / 1cm = 162 kg/cm² S11 = 270 cm² 2 2 t22 = 0,6 kg/cm cm² / 1cm = 132 kg/cm² S22 = 220 cm² 1 1 t33 = 0,6 kg/cm cm² / 2cm = 30 kg/cm² S33 = 99 cm² 3 3 En barras esbeltas es preponderante la Flexión frente al Corte L = D Barra NO esbelta

21 smax = 52,17 kg/cm² tmax = t22 = 1,52 kg/cm² sadm Mad = 80 kg/cm²
Ejercicio n°2 Cortante en vigas compuestas Una viga cajón armada clavando 4 tablones Datos: sadm Mad = 80 kg/cm² tadm Mad = 5 kg/cm² tadm Clavo = 600 kg/cm² 1°) Verificamos a Flexión M = 375 kg.m smax = 52,17 kg/cm² 2 2 J = 7187,5 cm4 3 2°) Verificamos al Corte Q = 250 kg 1 e e 1 S11 = (10 . 2,5 . 8, ,5 . 5) cm3 = 468,75 cm3 vcb 3 tmax = 250 kg. 468,75cm3 = 3,26 kg/cm² 7187,5 cm4 . 2.e t22 = 1,52 kg/cm² S22 = ,5 . 8,75 =218,75 cm3

22 t33 = 0 S33 = 0 No obstante, podría considerarse que las tensiones de resbalamiento en el corte superior e inferior son distintas de cero, pero con signos opuesto F* SLN t33 = 0 Lím Si planteamos Dy = 0 3°) Calculamos la cantidad de clavos Determinamos la fuerza de corte en la mitad de la luz de la viga Fc = t22 . 2,5 cm cm Adoptamos un clavo: Longitud y Calibre: 2” x 14 Ø = 2,11 mm Ωclavo = 0,035 cm² Fc = n°clavos . Ωclavo . tadm clavo Despejamos el número de clavos: n°clavos Determinamos la separación entre los mismos: s Aclaración: como el corte es constante en cada mitad de la viga se puede emplear una separación constante entre los clavos, caso contrario deberá ser variable la separación.

23 Tensiones principales en flexión y corte
Ejercicio n°3 Tensiones principales en flexión y corte Analicemos una barra de sección rectangular Estudiamos los puntos indicados

24 Agrupamos los resultados
Representamos las direcciones de las tensiones principales en la viga Para la sección del medio las tensiones principales son horizontales porque el corte es 0 Las direcciones de la 3er. Sección estudiada resultan espejadas de la 1era. sección Uniendo las direcciones principales, obtenemos la trayectoria de tensiones denominadas isostáticas. Isostática de compresión Isostática de tracción Si la barra es de hormigón debemos colocar armadura para tomar la tracción

25 Deformación por Corte dw Analizamos una faja elemental solicitada por Corte Le = Li Planteamos el trabajo interno de un cubo elemental Aceptando Linealidad Mecánica Existe una variación entre el instante inicial con la estructura descarga hasta la carga de servicio Reemplazo txz por la expresión de Jouravsky d Li = ½ .∫ txz.dy.dz . gxz.dx = ½. Qz. dw = d Le F txz² (Sn )². dF F* Qz² . (Sn )² F* ½ .∫ dy.dz .dx = ½. Qz. dw dw dF Qz = ∫ = ∫ F G dx b² . Jn² b² . in . F² F G.Qz G 4 F radio de giro in² = Jn /F (Sn )². dF F* dw Qz Finalmente ky ky = ∫ = b² . in . F 4 dx G.F F factor de forma de la deformación por corte

26 ky = ∫ ky = Factor de forma de la deformación por corte (Sn )². dF
b² . in . F F 4 L . L² 6 ky = = adimensional L² .L .L² 4

27 Determinamos las tensiones tangenciales según el planteo de Jouravsky
Centro de Corte Determinamos las tensiones tangenciales según el planteo de Jouravsky