Descargar la presentación
La descarga está en progreso. Por favor, espere
1
Límites y continuidad
2
CONCEPTO INTUITIVO DE LIMITE
Analicemos la función: La función está definida para toda x diferente de 1. Podemos simplificar la función de la siguiente manera: x 1 x y 1 –1 y = x + 1 2 x y 1 –1 2
3
Valores de x menores y mayores que 1
0.9 1.1 0.99 1.01 0.999 1.001 1.9 2.1 1.99 2.01 1.999 2.001 x 1 Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.
4
Definición informal de límite
Sea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe x y 1 –1 2 x y 1 –1 2 x y 1 –1 2
5
PROPIEDADES DE LIMITES
6
Límites de Polinomios Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución Si P(x) = anxn + an–1 xn– a0, entonces limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn– a0 Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero. Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
7
Ejemplos
8
Definición de límite Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0. Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos si, para cada número e > 0, existe un número correspondiente d > 0 tal que para toda x 0 < | x – x0 | < d | f(x) – L | < e
9
Límites Laterales Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos
10
Gráficamente:
11
UNICIDAD DEL LIMITE Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a “a” si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales: Limx a f (x) = L Limx a– f (x) = L y Limx a+ f (x) = L
12
Ejemplo y y = f (x) 2 1 x 1 2 3 4
13
Límites Infinitos Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo. Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.
14
Ejemplo 1: IMPORTANTE: y y = 1/x x
15
Ejemplo 2: y y = 1/(x – 1) x
16
Ejemplo 3: y x
17
Ejemplo 4: y x
18
Ejemplo 5:
19
Límites de funciones racionales
20
Límites al Infinito Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.
21
Ejemplos:
22
LIMITES TRIGONOMETRICOS
23
Continuidad
24
Ejemplos y y = f(x) y = f(x) 1 1 x x y y 2 y = f(x) 1 y = f(x) 1 x x
25
Tipos de discontinuidades
Discontinuidad escalonada Discontinuidad oscilante Discontinuidad infinita Discontinuidad removible
26
Extensión continua en un punto
Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limxc f(c ) = L, se puede definir una función F(x) usando la regla f(x) si x está en el dominio de f F(x) = L si x = c Ejemplo: Se puede simplificar en: Que es continua en x = 2
Presentaciones similares
© 2024 SlidePlayer.es Inc.
All rights reserved.