@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Tema 8 * 2º B CS.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Tema 8 * 2º B CS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS2 MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Tema 8.1 * 2º B CS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS3 INTERVALO Y ENTORNO Sea un intervalo cerrado [a, b] en R. Representa el conjunto de valores tales que a ≤ x ≤ b Sea un intervalo abierto (a, b) en R. Representa el conjunto de valores tales que a < x < b Sea el entorno cerrado E[a, r] en R. Representa el conjunto de valores tales que (a – r) ≤ x ≤ (a + r) Sea el entorno abierto E(a, r) en R. Representa el conjunto de valores tales que (a – r) < x < (a + r) El intervalo [-2, 2] representa lo mismo que el entorno E[0, 2]. El intervalo (-1, 5] representa lo mismo que el entorno E(2, 3). Cuando lo que interesa de una función es su comportamiento en las cercanías de un punto de su dominio se emplea el entorno. ENTORNO DE UN PUNTO

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS4 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto x=a. f(x) es creciente en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple: f(a) < f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la derecha de a (x < a). f(a) > f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la izquierda de a (x > a). f(x) es decreciente en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple: f(a) > f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la derecha de a (x < a). f(a) < f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la izquierda de a (x > a). MONOTONÍA

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS5 Gráfico 0 a-r a a+r b-r b b+r f(a+r) f(a) f(a-r) f(b-r) f(b) f(b+r) En x=a la función es creciente En x=b la función es decreciente

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS6 TEOREMA Sea f una función definida en (a, b) y xo perteneciente a (a, b). Entonces: Si f ’(xo) > 0, la función es estrictamente creciente en x=xo. Si f ’(xo) < 0, la función es estrictamente decreciente en x=xo. TEOREMA Si f ’(x) > 0, donde x pertenece al intervalo (a, b), entonces: f(x) es estrictamente creciente en (a, b). Si f ’(x) < 0, donde x pertenece al intervalo (a, b), entonces: f(x) es estrictamente decreciente en (a, b). MONOTONÍA

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS7 EJEMPLO 1 Sea la función: y = 2.x 3 + 3.x 2 – 12.x – 5 Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x 2 + 6.x – 12 Simplificamos: y ‘ = 6.(x 2 + x – 2 ) Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 son las raíces de y ‘ Factorizamos: y ‘ = 6.( x + 2).(x – 1) Los intervalos a estudiar son: (-oo, -2), (-2, 1) y (1, +oo) En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. En ( - 2, 1)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. En ( 1, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. Ejemplos

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS8 EJEMPLO 2 Sea la función: y = x / (x – 1) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En x = 1 la función presenta una asíntota vertical. Hallamos su derivada: y ‘ = [1.(x – 1)– 1.x] / (x – 1) 2 Simplificamos: y ‘ = - 1 / (x – 1) 2 Como y’ no puede ser 0, la función no presenta máx. ni mín. Intervalos: En ( - oo, 1)  y ` (0) = - 1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 1, + oo)  y `(2) = -1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. Ejemplos

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS9 EJEMPLO 3 Sea la función: y = 2 / (x 2 – 4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En x = -2 y en x=2 la función presenta asíntotas verticales. Hallamos su derivada: y ‘ = [0.(x 2 – 4)– 2.2x] / (x 2 – 4) 2 Simplificamos: y ‘ = - 4x / (x 2 – 4) 2 Hacemos y’ = 0  x = 0 En x = 0 la función presenta un máximo o un mínimo. Intervalos: En ( - oo, -2)  y ` (-3) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( -2, 0)  y ` (-1) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( 0, 2)  y ` (1) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 2, + oo)  y ` (3) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. Ejemplos

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato CS10 EJEMPLO 4 Sea la función: y = ln (x – x 2 ) Hallar los máximos y mínimos relativos de la función. Hallamos el dominio de dicha función: x – x 2 >0 x.(1 – x) > 0 Producto positivo 1.-x > 0 y 1 – x > 0  0 < x < 1 Es una solución. 2.-x < 0 y 1 – x < 0  x < 0 y x > 1 No hay otra solución Dom f(x) = (0, 1) Hallamos su derivada: y ‘ = (1 – 2.x) / (x – x 2 ) y ‘ = 0  1 – 2.x = 0  x = ½ Los intervalos son: (0, 0,5) y (0,5, 1) y’ (0,25) = (1 – 0,5) / (0,25 – 0,25 2 ) = 0,5 / (0,25 – 0,0625) > 0 Creciente en (0, 0,5) y’ (0,75) = (1 – 0,75) / (0,75 – 0,75 2 ) = 0,25 / (0,75 – 0,8059) < 0 Decreciente en (0,5, 1) Ejemplos