@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VII Derivadas.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VII Derivadas

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 TASAS DE VARIACIÓN Tema 7.1 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 Incremento de una función Sea la función f(x) = x  Verde Sea la función g(x) = x 2  Rojo Ambas funciones presentan el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 4 Δy = g(2) – g(0) = 2 2 – 0 = 4 Sin embargo g(x) ha crecido mucho más deprisa que f(x), su crecimiento medio es mayor: En f(x): Δy / Δx = 4 / 4 = 1 En g(x): Δy / Δx = 4 / 2 = 2 Su crecimiento medio es el doble. 0 2 4 x y4y4 f(x) g(x)

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = ----------------- b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. b – aes la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a)es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. TVM = Δy / Δx = m, pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)).

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 EJEMPLO 1 Sea la función f(x) = x 3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [-4,-2], [0,2] y [-1, 1] En [-4,-2] f (- 4) - f(-2) - 48 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 24 - 4 – (-2) - 2 En [0, 2] f (2) – f (0) 0 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 0 2 – 0 2 En [-1, 1] f (1) – f (-1) - 3 - 3 TVM = ----------------- = --------- = - 3 1 – (-1) 2 -2 -1 0 1 2 x y=f(x)

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 EJEMPLO 2 La distancia recorrida por un móvil en los 7 primeros segundos tras ponerse en marcha viene dada por la función: f(t) = t 2 + 2.t Halla la TVM de la función en el intervalo [2, 5]. ¿ Qué significado físico tiene?. En [2, 5] f (5) – f(2) (25 + 10) – (4+4) 35 – 8 27 TVM = ----------------- = ------------------------ = ------------- = ------ = 9 5 – 2 3 3 3 Significa la velocidad media en dicho intervalo: 9 m/s. En [6, 7] f (7) – f (6) (49+14) – (36+12) 63 – 48 TVM = ----------------- = ------------------------- = ----------- = 15 7 – 6 1 1 En el último segundo su velocidad media es de 15 m/s

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 PUNTUALIZACIONES PRÁCTICAS Hemos dicho que la TASA DE VARIACIÓN MEDIA es: f (b) – f (a) TVM = ----------------- b - a Cuando el intervalo [a, b] es reducido, se suele indicar de esta manera: f (a + h) – f (a) TVM = --------------------- h Ahorab = a + h b – a = hes la variación o incremento de x, Δx. f (a + h) – f (a)es la variación o incremento de f (x), Δ f (x) o Δy. TVM = Δy / h = m, pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (a+h, f(a+h)).

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 Incremento de una función Sea la función f(x) = x / 2  Verde Sea la función g(x) = x 2 / 8  Rojo Sea la función h(x) = √x  Azul Ambas funciones presentan en el intervalo cerrado [0, 4] la misma TVM al tener el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 2 Δy = g(4) – g(0) = 2 Δy = h(4) – h(0) = 2 TVM = 2 / 4 = 0’50 Sin embargo está muy claro que su comportamiento en dicho intervalo es muy diferente. 0 4 x y2y2

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. Es necesario distinguir unas de otras funciones. Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama: Tasa de variación INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: f (a + ▲x) – f (a) TVI = lím ------------------------- ▲x  0 ▲x Nota: Es indiferente poner h o ▲x 0 4 x y2y2 f(x) = x / 2 g(x) = x 2 / 8 h(x) = √x

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 EJEMPLO 1 Sea la función f(x) = x 3 – 4x Hallar la TVI de la función en: x = – 2 y en x = 1 ¿Qué significado físico tienen? Se dibuja la función. Se dibuja la recta tangente en x = – 2 Se halla la pendiente de dicha tangente. 16 m = TVI = ----- = 8 2 Al ser m positiva, es creciente la función. Se dibuja la función. Se dibuja la recta tangente en x = 1 Se halla la pendiente de dicha tangente. – 1 m = TVI = ----- = – 1 1 Al ser m negativa, es decreciente. -2 -1 0 1 2 x y=f(x)

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 EJEMPLO 2 Sean las tres funciones dibujadas. Hallar la TVI de ambas en x=1 Se dibuja la recta tangente en x = 1 Se halla la pendiente de la recta. 1 m = TVI = ----- = 0,5 2 Se dibuja la recta tangente en x = 1 Se halla la pendiente de la recta. 0,5 m = TVI = ----- = 0,5 1 Se dibuja la recta tangente en x = 1 Se halla la pendiente de la recta. 0,125 m = TVI = --------- = 0,25 0,5 0 1 2 3 4 x y2y2 f(x) = x / 2 g(x) = x 2 / 8 h(x) = √x