@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 TEMA 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 TEMA 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 TEMA 3.7 * 1º BCS FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. CASOS A CONSIDERAR 1.-Que a P(x) le falte el término independiente. P(x) = a.x 3 + b. x 2 + c.x Extraemos factor común a x y lo tendremos factorizado: P(x) = x.(a.x 2 + b. x + c ) Ejemplos 1.-P(x) = 3.x 3 + 4.x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x 2 + 4 ) 2.-P(x) = 2.x 4 - 3.x 2  Extraemos factor común a x P(x) = x.(2.x 3 - 3.x )

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 2.-Que P(x) sea el desarrollo de un producto notable. Se identifica el producto y se expresa como producto de factores o potencia. Ejemplos x 2 + 12.x + 36 = ( x + 6 ) 2 = ( x + 6 ) ( x + 6 ) 4.x 2 – x + 1/16 = ( 2.x – 1/4 ) 2 = (2.x – 1/4 ) (2.x – 1/4 ) 9 – x 2 = (3 + x ). ( 3 – x ) 4.x 2 – 3 = (2.x + √3 ).( 2.x – √3 ) x – y 2 = (√x + y ).(√x – y )  Los factores no son polinomios x 3 - 12.x 2 + 48.x - 64 = ( x - 4 ) 3 = ( x - 4 ) ( x - 4 ) ( x - 4 )

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 3.-Que P(x) al ser dividido entre (x – a) resulte una división exacta (resto = 0). En ese caso como P(x) = d(x).c(x) + r(x) y r(x) = 0 Resulta que P(x) = (x - a). c(x), que es el producto de dos polinomios. Ejemplo Sea P(x) = x 3 - 3.x 2 + 3.x - 1 Como el 1 es una raíz x 3 - 3.x 2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x 2 – 2.x + 1) Y ya estaría factorizado. Pero como ( x 2 – 2.x + 1) = (x – 1).(x – 1) Quedaría mejor x 3 - 3.x 2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x - 1).( x - 1)

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Sea P(x)= (x – 2).(x – 3).(x + 3) 2 Está factorizado al máximo, está descompuesto en sus factores primos. (x – 2) y (x – 3) son primos entre sí. Sea P(x)= (x 2 – 9 ). (x 3 – 8 ) Sabemos que (x 2 – 9 ) es una diferencia de cuadrados: (x 2 – 9 ) = (x + 3).(x – 3) Vemos que el 2 es raíz de (x 3 – 8 ): (x 3 – 8 ) = (x – 2).C(x) = (x – 2).(x 2 + 2.x + 4) Y se factorizan al máximo: Sea P(x)= (x – 3).(x + 3).(x – 2).(x 2 + 2.x + 4) Descomposición factorial

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 CONSIDERACIONES ELEMENTALES 1. ‑ Reducir el polinomio a factorizar. 2. ‑ Ordenarlo de forma decreciente. 3. ‑ Buscar, aplicando el Teorema del Resto, las posibles raíces enteras. 4. ‑ Una vez encontrada alguna raíz, aplicar la Regla de Ruffini para hallar las restantes, cuidando que alguna de ellas se puede repetir varias veces. 5. ‑ Si algún cociente fuera de grado 2, se puede aplicar la fórmula de ecuaciones de segundo grado, pudiendo hallar de esta forma raíces racionales si las hubiera. 6. ‑ Si el polinomio es de grado impar, tiene al menos una raíz real aunque no sea entera. FACTORIZACIÓN PASO A PASO

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 CONSIDERACIONES ADICIONALES 7. ‑ No todas las raíces de un polinomio son enteras. Sea P(x) = a.x n + b.x n-1 + … + k.x + p Posibles raíces fraccionarias: Divisores de p/a Ejemplo: Sea P(x) = 21.x 3 + 5.x 2 – 4.x + 2 PRF=Div 2/21 = {+/- 1/3, +/- 1/7, +/- 2/3, +/- 2/7, +/- 1/21, +/- 2/21} 8.-Si el polinomio es de grado impar, no presenta raíces enteras ni fraccionarias, y al aplicar el Teorema del Resto se obtiene que P(a) > 0 y P(b) < 0, entre a y b podemos asegurar que existe una raíz. Ello es muy importante, sobre todo cuando las raíces no sean racionales; habrá que hallarlas entonces por aproximación. 9. ‑ Una vez halladas todas las existentes, poner el polinomio dado en forma factorial: P(x) = (x ‑ a).(x ‑ b).(x ‑ c).(x ‑ d)...., siendo a,b,c,d,... las raíces halladas.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Ejemplo_1 Sea P(x) = 2.x 3 + 3.x 2 + 2.x - 2 Por el Teorema del Resto: P(1) = 2 + 3 + 2 – 2 = 5 <> 0 P(-1) = – 2 + 3 – 2 – 2 = - 3 <> 0 P(2) = 2.8 + 3.4 + 2.2 – 2 = 16 + 12 + 4 – 2 = 30 <> 0 P(-2) = 2.(-8) + 3.4 + 2.(-2) – 2 = - 16 + 12 - 4 – 2 = - 10 <> 0 No hay raíces enteras. Entre x = -1 y x = 1 hay una raíz, pues P(-1) < 0 y P(1) > 0 Miramos si hay raíces fraccionarias: PRF={- ½, +1/2} Por el Teorema del Resto: P(-0, 5) = 2.(-0,5) 3 + 3.(-0,5) 2 + 2.(-0,5) - 2 = - 1,5  No es raíz P(0, 5) = 2.(0,5) 3 + 3.(0,5) 2 + 2.(0,5) - 2 = 1,25 + 0,75 + 1 – 2 = 0 Luego x=0,5 es una raíz del polinomio ( la única). Aplicamos la Regla de Ruffini y tenemos: 2.x 3 + 3.x 2 + 2.x - 2 = 2.(x – 0,5).( x 2 + 2.x + 2) Y ya estaría factorizado.

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Ejemplo_2 Sea P(x) = 5.x 3 + 11.x 2 + 12.x + 2 Por el Teorema del Resto: P(1) = 5 + 11 + 12 + 2 = 30 <> 0 P(-1) = – 5 + 11 – 12 + 2 = - 4 <> 0 P(2) = 5.8 + 11.4 + 12.2 + 2 = 40 + 44 + 24 + 2 = 110 <> 0 P(-2) = 5.(-8) + 11.4 + 12.(-2) + 2 = - 40 + 44 - 24 + 2 = - 18 <> 0 No hay raíces enteras. Entre x = -1 y x = 1 hay una raíz, pues P(-1) < 0 y P(1) > 0 Miramos si hay raíces fraccionarias: PRF={- 1/5, +1/5, - 2/5, +2/5} Por el Teorema del Resto: P(- 0,2) = 5.(-0,2) 3 + 11.(-0,2) 2 + 12.(-0,2) + 2 = 0 Luego x = - 0,2 es una raíz del polinomio ( la única). Aplicamos la Regla de Ruffini y tenemos: P(x) = 5.x 3 + 11.x 2 + 12.x + 2 = 5.(x + 0,2).( x 2 + 2.x + 2) Y ya estaría factorizado.