Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada punto de

Presentación del tema: "Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada punto de"— Transcripción de la presentación:

1 Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada punto de
S tiene un vecindad constituida enteramente por puntos que pertenecen a S. Por ejemplo los puntos del interior de un círculo o un cuadrado. El complementario de un conjunto de puntos S es el conjunto de todos los puntos que no pertenecen a S. Un conjunto de puntos S se llama cerrado si su complementario es abierto. Ej.: los puntos sobre y dentro de una circunferencia o un cuadrado, puesto que sus complementarios (los puntos exteriores a la circunferencia o al cuadrado) son abiertos.

2 La distancia entre dos puntos z y a es |z-a|. De modo que un
círculo C de radio  y centrado en a, puede expresarse como: |z-a| =  a  x y z ¿C es abierto o cerrado? x y 1 i En particular, el círculo de radio unidad centrado en el origen puede escribirse como: |z| = 1

3 |z-a| <  (un entorno abierto centrado en a).
Los puntos dentro del círculo C vienen representados por: |z-a| <  (un entorno abierto centrado en a). a  x y z 0 < |z-a| <  define un entorno punteado o reducido. z x y a  define un entorno circular cerrado centrado en a.

4 El anillo abierto de radios 1 y 2, viene
x y 2 El anillo abierto de radios 1 y 2, viene dado por: 1 < |z-a| < 2

5 (1) Determina la región en el plano complejo dada por: |z-3-i| ≤ 4
x y 3+i Es la región circular cerrada de radio 4 con centro en 3+i. (2) Determina las regiones: (a) |z|<1; (b) |z| ≤ 1; (c) |z| >1 (a) Círculo unidad abierto (b) Círculo unidad cerrado (c) Exterior del círculo unidad.

6 Re(z)  1 (No es un conjunto abierto).

7 ¿Qué lugar geométrico describe la siguiente ecuación?
Una elipse de focos en -2 y 2 (suma de distancias a los focos igual a 5) con semieje mayor igual a 5/2). Ejercicio: ¿Qué representan las siguientes ecuaciones? 2 -2

8 Un punto interior de un conjunto S es un punto para el que
podemos encontrar un entorno o vecindad cuyos puntos pertenecen todos a S. Por ejemplo, el centro de un círculo. Un punto frontera de un conjunto S es un punto tal que todo entorno alrededor de él contiene puntos que pertenecen a S y que no pertenecen a S. Por ejemplo los puntos que forman la frontera de un círculo. Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto de puntos S, entonces es un punto exterior a S. Entonces, si S es abierto no posee puntos frontera, solo puntos interiores. Si S es cerrado posee también a sus puntos frontera. Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados. Contienen algunos puntos frontera. Por ejemplo un entorno punteado. El plano complejo C es abierto y cerrado a la vez. No posee puntos frontera.

9 Una región es un conjunto formado por un dominio, más,
quizás, algunos o todos sus puntos frontera (Cuidado: algunos autores usan región para indicar dominio). Un conjunto es acotado si todo punto de S está dentro de algún círculo |z| = R. En caso contrario es no acotado. Un punto de S se dice que es de acumulación si cada entorno punteado del mismo contiene al menos un punto de S. Entonces, si S es cerrado contiene a todos sus puntos de acumulación. Un punto no es de acumulación si existe un entorno punteado del mismo que no contenga puntos de S. P.ej.: Todos los puntos del conjunto S = {i/n} (n = 1,2,...) no son de acumulación a excepción del cero.

10 Semiplanos infinitos Semiplano superior: el conjunto de todos los
x y Semiplano superior: el conjunto de todos los puntos z = x+iy tales que y > 0 o Im(z) > 0. Inferior: z = x+iy tales que y < 0 o Im(z) < 0. x y Derecho: z = x+iy tales que x > 0 o Re(z) > 0. x y Izquierdo: z = x+iy tales que x < 0 o Re(z) < 0 x y ¿Qué regiones describen? Im(z) = 0, (b) Im(z) = a, (c) Re(z) = 0, (d) Re(z) = a

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