UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas Departamento de Métodos Cuantitativos Ciclo 2012-A Curso Propedéutico.

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1 UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas Departamento de Métodos Cuantitativos Ciclo 2012-A Curso Propedéutico de Matemáticas Academia de Matemáticas Generales

2 CAPÍTULO II Números reales y leyes de los signos

3 2.1 Definiciones Números Naturales. Son los números que nos sirven para contar: 1,2,3,…. Números Enteros. Se obtienen al agregar los números naturales sus negativos y el cero: …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… Números Racionales. Son los números de la forma a/b donde a y b son enteros y b es diferente de 0. Por ejemplo: 1/3, -3/2. 0/5. Nótese que el signo negativo en -3/2, puede ponerse en el numerador o en el denominador o delante del numero, esto es: -3/2 = -(3/2) = 3/-2. Obsérvese también que los números enteros pueden escribirse como racionales: 5= 5/1, con lo cual los números racionales incluyen a todos los números enteros.

4 Números irracionales. Son los números que no se pueden representar en forma a/b, por ejemplo: es un número con expansión decimal no finita y no periódica. Números Reales. Son todos los números racionales e irracionales. Si los representamos en una recta numérica, y cada punto de la recta representa un número real y no queda ningún hueco.

5 Reales Racionales e Irracionales* Enteros Números Naturales

6 2.1.1 Propiedades de los Números Reales. Transitiva de la igualdad  Si a = b y b = c entonces a = c Si x = y y y = 7 entonces x = 7 Cerradura de suma y multiplicación  Para todo número real a y b, existen números reales únicos a + b y ab. Dos números pueden sumarse y multiplicarse y por lo tanto existe otro número real para ello.

7 Conmutativa de suma y multiplicación  a + b = b + a y ab = ba Ejemplo: 5 + 7 = 7 + 5 5(7) = 7(5) Asociativa de suma y multiplicación:  a + (b+c) = (a+b) + c  a(bc) = (ab)c Ejemplo 3 + (5+2) = (3+5) + 2 -7(8*6) = (-7*8)6

8 Identidad  Existen números reales únicos denotados 0 y 1 tales que para todo número real a 0 + a = a 1 a = a

9 Del inverso:  Para cada número real a, existe un único número real denotado por –a tal que: a + (-a) = 0 Donde –a es el inverso aditivo de a.

10 Del inverso:  Para cada número real a, excepto el 0, existe un único número real denotado por a -1 tal que: a * a -1 = 1 a -1 = a -1 es el recíproco o inverso multiplicativo de a. El recíproco de 0 no está definido.

11 Propiedad distributiva a (b + c) = ab + ac 7( 5+6) = (7*5) + (7*6) = 35 + 48 = 83 (b+c) a = ba + ca (8+6) 3 = (8*3) + (6*3) = 14*3 = 42

12 La resta se define en términos de suma: a – b = a + (-b) Se define la división en términos de multiplicación. Si b no es igual a 0, entonces: a / b = = a (b -1 ) = a ( )

13 2.2 Operaciones con Números Reales Las operaciones que se pueden realizar con números reales son la suma y el producto. La operación de resta se puede definir en términos de la suma, por ejemplo: 5 + (-3) que también puede escribirse como 5  3. De manera análoga, se puede definir la división en términos del producto por ejemplo si quiero dividir 8 entre dos lo puedo representar como:

14 LEYES DE LOS SIGNOS PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES Si los números reales tienen el mismo signo su suma tendrá el mismo signo. Por ejemplo: Si los números reales tienen diferente signo, se hace la resta de ellos sin tomar en cuenta el signo: al mayor se le resta el menor. El resultado tendrá el signo del mayor. Por ejemplo;

15 LEYES DE LOS SIGNOS PARA EL PRODUCTO DE NÚMEROS REALES El producto de dos números reales con mismo signo dará como resultado un número real con signo positivo. Por ejemplo; El producto de dos números reales con diferente signo dará como resultado un número real con signo negativo. Por ejemplo;

16 2.3 Operaciones con Números Racionales Suma : Si se tienen dos números racionales con el mismo denominador la suma será el número racional cuyo numerador será la suma de los numeradores, y el denominador será el mismo. Por ejemplo; Si se tienen dos números racionales con diferente denominador es necesario sacar un denominador común para poder realizar la suma.

17 El producto de los denominadores es un denominador común, aunque puede determinarse en ocasiones uno menor (la condición es que sea un número que pueda ser dividido exactamente entre cada denominador). Por ejemplo;

18 PRODUCTO: Si se tienen dos números racionales (no importa si tienen distinto denominador), el producto de ellos será un numero racional cuyo numerador será el producto de los numeradores y el denominador será el producto de los denominadores.

19 COCIENTE: El cociente de dos números racionales a/b y c/d se define como el producto de a/b como el inverso multiplicativo de c/d; o lo que es lo mismo mediante la siguiente regla:

20 1. Indique si el enunciado es verdadero o falso. Ejercicios propuestos al alumno a) Todo número entero es un número racional b) Todo número racional es un número real c) Todo número real es un número irracional d) Todo número irracional es un número entero

21 2. Resuelva las siguientes operaciones*: * Sara Leticia Marín Maldonado