Aproximación de funciones Cuadrados Mínimos Dra. Nélida Beatriz Brignole.

Presentación del tema: "Aproximación de funciones Cuadrados Mínimos Dra. Nélida Beatriz Brignole."— Transcripción de la presentación:

1 Aproximación de funciones Cuadrados Mínimos Dra. Nélida Beatriz Brignole

2 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole2 Data fitting – Ajuste de datos y t

3 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole3 Cuadrados mínimos Encontrar x tal que sea tan pequeño como sea posible

4 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole4 Interpretación geométrica: cuadrados mínimos En un problema sobredeterminado, encontrar x tal que sea tan pequeño como sea posible. => r normal

5 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole5 Cuadrados Mínimos... Continuación Se puede elegir la función de aproximación g(x) Objetivo: minimizar los residuos  i Para m puntos experimentales x 1, x 2,..., x m buscamos g(x) tal que se minimice: Donde  i = f(x i ) – g(x i )

6 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole6 Cuadrados Mínimos... Continuación

7 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole7 Cuadrados Mínimos Lineales Tomamos: Si queremos dar distinta importancia a los datos experimentales de acuerdo a su calidad, podemos minimizar la función de error:

8 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole8 Aproximación Polinomial (caso particular) En este caso tenemos: φ0(x)φ0(x) φ1(x)φ1(x) φ2(x)φ2(x) φ3(x)φ3(x)

9 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole9 Aproximación Polinomial (caso particular) Minimizar el residuo  encontrar un punto crítico  Sistema de ecuaciones normales  n n+1 ecuaciones normales que se resuelven para los n+1 coeficientes incógnitas. k=0,…,n.

10 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole10 Aproximación Polinomial (caso particular) despejando

11 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole11 Aproximación Polinomial (caso particular) Separando la sumatoria nos queda: bkbk A k0 A k1 A kk A kn con i=1,...,m y k=0,...,n

12 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole12 Aproximación Polinomial (caso particular) Esto puede notarse en forma matricial como: donde sin ponderar   i =1 para i=1,...,m  y

13 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole13 Aproximación Polinomial (caso particular) Notando: Para k = 0,...,n OBS: si se elige un conjunto {  k } ortogonal:   A es diagonal

14 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole14 Aproximación Polinomial (caso particular) (m,n+1)x(n+1,1)=(m,1) Notemos que: Sistema no cuadrado (n+1,n+1)x(n+1,1)=(n+1,1) Sist. de ecs. normales Cálculo A T A para solución de sist. De ecs. Errores inaceptables Perturbación en coeficientes  gran error en el resultado

15 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole15 Encontrar la solución Otra Técnica  descomposición QR de A R T tiene inversa ‘izquierda’ Q es ortogonal A=QR

16 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole16 Encontrar la solución 0. =. RxQTQT y k q1 q p kp Se resuelve fácilmente por sustitución hacia atrás

17 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole17 Lectura obligatoria Gerald págs 260-275