Funciones. Presentado por: Steffany Serebrenik, Hellen Kreinter y David Castañeda. Presentado a: Patricia Cáceres. Colegio Colombo Hebreo Grado Decimo.

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1 Funciones. Presentado por: Steffany Serebrenik, Hellen Kreinter y David Castañeda. Presentado a: Patricia Cáceres. Colegio Colombo Hebreo Grado Decimo. Área de Matemáticas.

2 Funciones. Generalidades. Clases. ¿Qué es?
Representación. Dominio, rango, puntos de corte con x y con y. Funciones: inyectivas, biyectivas y sobreyectivas. . Funciones pares e impares. Referencias de consulta.

3 ¿Qué es una función? Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia x^n de la variable x. Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento “x” A uno y solo un elemento “y” B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). Por tanto para ser función debe cumplir 2 condiciones: Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. Esta imagen debe ser única. El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

4 Formas de representar una función.
Verbal: como su mismo nombre lo dice es con palabras. Ejemplo: P(t) es la población del mundo en el instante t. Algebraica: A través de una formula. X+25=y Visual: Es decir a través de diagramas y graficas. Numérica: Una herramienta para llevar a cabo esta es una tabla de valores. Onzas dólares x … y …

5 Rango: Es el conjunto formado por los valores que puede llegar a tomar la función.
Sea f(x) : A B R= {y/y B y R x} El conjunto de llegada contiene los elementos que son la imagen de los valores del conjunto de salida. Punto de corte con Y: Para hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la ecuación a X por 0. Dominio: Es el conjunto de existencia dela función, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar. Sea f(x) : A B R= {x/x x A ^ x R y y B } conjunto de salida se llama al conjunto que contiene los elementos del dominio de una función. Punto de corte con X: Para hallar el punto de corte con x, se debe reemplazar en la ecuación a Y por 0. (en un polinomio de grado mayor a uno, se debe utilizar los diferentes métodos de factorización.) A

6 Funciones inyectivas. d e g h
Este tipo de función cumple la condición de que a cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B (imagen) de f . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. d e g h

7 Funciones sobreyectivas.
Este tipo de función se da cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X". d e g

8 Funciones biyectivas. d e f h
Este tipo de función se da cuando es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva. d e f h

9 Función par. El término función par suele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una función es una función par si para se cumple la relación: . Es decir es una función cuadrática o polinomica de grado par incompleta que solo tiene c , un ejemplo de estas es: Simétricas con respecto al eje Y.

10 Función Impar. Se llama función impar a la que para todo x perteneciente al Dominio de D de la función, se cumple que: Es decir una función cúbica o polinomica de grado impar incompleta es decir solo tiene c, un ejemplo de estas es: Simétricas con respecto al eje de las coordenadas.

11 Exponencial Racional Por Partes o a Trozos Polinómica Valor Absoluto Clases de funciones. Trigonométricas Logarítmica

12 Función Polinomica. Función de Grado impar. Constante.
Función de Grado par. Función lineal. Función Cuadrática. Función Cubica.

13 Funciones Polinómicas.
Son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Dominio= Conjunto de Salida= R Conjunto de llegada=R Según el grado del polinomio las funciones Polinómicas pueden clasificarse en: Grado Nombre Expresión función constante y = a 1 función lineal y = ax + b es un binomio del primer grado 2 función cuadrática y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado 3 función cúbica Y=ax3+bx2+cx+d

14 Funciones de grado par Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número par. Está dada por la ecuación: Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =(depende de los máximos y mínimos que tenga la función) Ejemplo : Función cuadrática Punto de corte con y= -1 Puntos de corte con x=(1,-1) Vértice= (0,-1) Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR Rango=(-1, ∞ ) F(x) ≥0 en x ( - ∞.-1) U (1, ∞) F(x) ≤0 en x (-1,1)

15 Funciones de grado impar
Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número impar . Está dada por la ecuación: Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =IR excepto en la lineal constante. Ejemplo : Función cúbica Punto de corte con y= 1 Punto de corte con x=-0.7 Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR= Rango F(x) ≥0 en x ( -0.7, ∞) F(x) ≤ 0 en x (- ∞,-0.7)

16 Función lineal. Lineal. Generalidades. Afín. Idéntica. Conclusiones.

17 Generalidades. La Función lineal es una función polinomica.
x-y son variables, m se denomina pendiente e indica el grado de inclinación de la recta. m se halla a través de la expresión: Dominio= Conjunto de Salida= R Rango= R (a excepción de la constante). Conjunto de llegada=R CABE ANOTAR QUE: si m > o: la función es creciente si m < 0:la función es decreciente si m = 0 : la función es constante La Función lineal es una función polinomica. Indica el punto de corte con y Y por tanto el desplazamiento vertical.

18 Lineal. La función lineal esta definida por la ecuación: En esta función el punto de corte con x y con y son respectivamente (0,0). Dominio=Conjunto de salida= IR Rango=Conjunto de llegada= IR

19 Afín. La función Afín es un tipo de función lineal que tiene un desplazamiento vertical, esta dada por la ecuación: EJEMPLO: y=2x+3 Dominio= Conjunto de Salida= R Rango=Conjunto de llegada=R Punto de corte con y=n PUNTO DE CORTE CON Y=3

20 Constante. La función constante es un tipo de función lineal, en la que los elementos del dominio se relacionan con los iguales en el conjunto de llegada. La podemos representar como una función matemática de la forma: donde a pertenece a los números reales. Dominio=Conjunto de Salida= IR Conjunto de llegada= IR Rango= {a} Punto de corte con Y= a. Ejemplo: Y= 3

21 Idéntica. La función idéntica es una clase de función lineal donde a cada número del eje y le corresponde el mismo número en el eje x, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas . EJEMPLOS: Esta dada por la ecuación: Rango = Conjunto de llegada = IR Dominio= Conjunto de salida=IR

22 Conclusiones. La principal diferencia entre función lineal y función lineal Afín, teniendo en cuenta la ecuación general planteada en las generalidades es que la función lineal desplazamiento vertical mientras que la otra si. La principal diferencia entre la función lineal y la función constante es que esta última cumple la condición de que para todo elemento del dominio la imagen es la misma. La principal diferencia entre la función lineal y la función lineal idéntica como su mismo nombre lo dice hay una igualdad que se ve representada en que cada elemento del dominio le corresponde la imagen de si mismo.

23 Función Cuadrática. Es un tipo de función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado y se expresa como: Es una de las funciones mas estudiadas en los diferentes campos, debido a sus propiedades simétricas y a su presencia en la naturaleza. La grafica que forma se le da el nombre de parábola y en ella hay un eje de simetría y un mínimo o máximo relativo lo que indica la parte mas baja o alta a la que llega la parábola respectivamente. Mínimo relativo. Máximo relativo. El rango es desde –oo(infinito) hasta el máximo relativo si es decreciente o desde el mínimo relativo, hasta oo si es creciente. Para hallar el mínimo y máximo relativos, se usa la ecuación: x= -b 2a

24 Creciente: Si m( pendiente) es positiva.
Decreciente: Si m( pendiente) es negativa. El punto de corte con y es c, mientras que los puntos de corte con x o también llamados raíces se deben hallar factorizando ya sea por los diferentes métodos o usando la siguiente formula general: Es importante recordar que la parábola, formada por la función cuadrática, tiene un eje de simetría, es decir que si se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado.

25 Función Cubica. Es una función polinómica de grado 3,que está dada por la forma: Conjunto de salida= IR=Dominio Conjunto de llegada=IR=Rango Función Creciente f(-x)<f(x) Función decreciente f(-x)>f(x)

26 Ejemplo: Y= 3x3+4x2+3x-1 Conjunto de salida=Dominio= IR
Conjunto de llegada=Rango= IR Punto de corte con x= 0.3 Punto de corte con y= -1 F(x) > 0 en x ∈ (0.3, infinito) F(x) < 0 en x ∈ (0.3,-infinito)

27 Funciones Racionales. Una función racional tiene la forma:
Donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x) Y Q(x) no tienen factor en común. Aunque las funciones racionales se construyen de polinomios, sus graficas se ven bastante diferentes de las graficas de funciones polinomiales. El dominio de una función racional consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es 0. Al graficar una función racional, se debe poner atención especial al comportamiento de la grafica cerca de esos valores, debido a que poseen asintotas. En términos informales, una asíntota de una función es una línea a la que la grafica de la función se aproxima cada vez mas cuando se va a lo largo de esta línea. Ejemplo Gráfico.

28 La recta donde a es un cero del denominador es una asíntota vertical de la función y=f(x) si y tiende a mas o menos infinito cuando x tiene a a por la derecha o por la izquierda. Una función racional tiene asíntotas verticales donde la función no esta definida, es decir donde el denominador es cero. La recta es una asíntota horizontal de la función y= f(x) si y se aproxima a b cuando x se aproxima a mas menos infinito. Asíntota vertical x=3 Asíntota horizontal y=0

29 Transformaciones de Se utiliza para graficar funciones racionales de la forma: Se utiliza debido a la capacidad de desplazar, alargar o reflejar.

30 Ejemplo: Grafique la función racional:
Solución: Se factoriza el numerador y el denominador, se determinan las intersecciones y asíntotas y se bosqueja la grafica. Factorizar: Intersecciones con el eje x: Las intersecciones x son los ceros del numerador, para este caso x=1/2 y x=-4. Intersecciones con el eje y: Para hallar la intersección y, se sustituye x= 0 en la forma original de la función. Para este caso daría que la intersección y= 2 Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida. De la forma factorizada se puede observar que las asíntotas verticales son las rectas x=1 y x= -2. Comportamiento de las asíntotas verticales: Específicamente es para saber si es + o -, por tanto se usa el proceso del cementerio.

31 - + - + Asíntota horizontal: Los grados del numerador y el denominador son los mismos y Coeficiente principal del numerador Coeficiente principal del denominador 2/1= 2 así la asíntota horizontal es la recta y=2 Por ultimo se grafica.

32 Asíntota inclinada y comportamiento extremo.
Si es una función racional en la que el grado del numerador es uno mas que el grado del denominador, se puede usar el algoritmo de la división para expresar la función en la forma Donde el grado de R es menor que el grado de Q y a es diferente de 0. Esto significa que cuando x tiende a infinito, R(x)/Q(x) tiende a 0, por lo tanto los valores grandes de lxl, la grafica de y= r(x) se aproxima a la grafica de la recta y= ax+b. En esta situación se dice que y= ax+b es una asíntota inclinada o una asíntota oblicua.

33 Aplicaciones. Las funciones racionales ocurren con frecuencia en aplicaciones científicas de algebra, los ejemplos mas comunes son las teorías de electricidad. (resistencia eléctrica)

34 Función valor absoluto
La función del valor absoluto, Esta dada por la ecuación: f(x)=IxI + c Es una función en forma de V Debido a que al obtener el Valor absoluto de cualquier numero, este da positivo. Por ello hay varias propiedades. IaI 0 IabI= IaIIbI Ia+bI IaI+IbI Para todas las funciones de valor absoluto, el conjunto de salida y el Dominio son reales (IR) Al igual que estos, el conjunto de llegada también son los reales. El rango varia, dependiendo hacia donde se desprende. Este, puede ser desde el mínimo hasta infinito, o desde el máximo hasta menos infinito. Así por ejemplo: I2I = I-2I = 2 I2x3I = I2II3I = 6 I(-2)+3I=1 I-2I+I3I =5

35 Es una función (donde c = 0)
Si f(x) = IxI x … y … x … y … F(x) > 0 en X Є IR Dominio = conjunto de salida= IR Conjunto de llegada = IR Rango= [ 0 , oo ) f(x) = IxI f(x) = IxI + 10 f(x)= Ix+2I F(x) > 0 en X Є IR Dominio = conjunto de salida= IR Conjunto de llegada = IR Rango= [ 10 , oo ) Si f(x) = IxI + 10 x … Si f(x) = IxI x … y … Es una función (donde c = 0) y … Dominio = conjunto de salida= IR Conjunto de llegada = IR Rango= [ 0 , oo ) F(x) > 0 en X Є IR

36 Funciones Exponenciales.
La función exponencial es una de las mas importantes en matemáticas, esta función se emplea para modelar procesos naturales como el crecimiento poblacional y el decaimiento radioactivo. La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por: Donde a>0 y a≠1. Si fuera 1 se convertiría en constante.

37 Gráficas de las funciones exponenciales.
Se observará que las graficas de las funciones exponenciales tienen una forma fácilmente reconocible. Conjunto de salida= dominio= IR. Conjunto de llegada= lR. Rango= (0,∞). La recta y=0 (el eje x) es una asintota horizontal de f. La gráfica de f tiene una de las formas siguientes:

38 La funcion exponencial natural.
La función exponencial natural es la función exponencial: Es decir con base e=2.2 Puesto que 2<e<3, la grafica de la función exponencial natural esta entre las graficas:

39 Referencias de consulta.
Libro Precalculo, James Stewart, Sección de funciones( como representar).