Tema: Inecuaciones de primer grado con una variable.

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1 Tema: Inecuaciones de primer grado con una variable.
Curso: Matemática FC. Tema: Inecuaciones de primer grado con una variable.

2 Inecuaciones de primer grado con una variable
Definición [Intervalo]. Sea 𝐼 un subconjunto de ℝ (𝑰  ℝ ). Decimos que 𝐼 es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre otros dos llamados extremos (que pueden ser reales o ideales). Tipos de Intervalos Intervalos acotados. Son Son aquellos intervalos cuyos extremos son reales, éstos pueden ser: Intervalo cerrado. Es aquel que incluye a los extremos. Se denota por [𝑎;𝑏], es decir 𝑎;𝑏 ={ 𝑥∈ℝ 𝑎≤𝑥≤𝑏 } Gráficamente se representa por 𝑎 𝑏 +∞ −∞ Intervalo abierto. Es aquel que no incluye a los extremos. Se denota por 𝑎;𝑏 , es decir 𝑎;𝑏 ={ 𝑥∈ℝ 𝑎<𝑥<𝑏 } Gráficamente se representa por 𝑎 𝑏 +∞ −∞

3 Inecuaciones de primer grado con una variable
Tipos de Intervalos (continuación) Intervalo semiabierto por la derecha. Es aquel que no incluye al extremo derecho del intervalo, pero sí al izquierdo 𝑎;𝑏 ={ 𝑥∈ℝ 𝑎≤𝑥<𝑏 } Gráficamente se representa por: 𝑎 𝑏 +∞ −∞ Intervalo semiabierto por la izquierda. Es aquel que no incluye al extremo izquierdo del intervalo, pero sí al derecho 𝑎;𝑏 ={ 𝑥∈ℝ 𝑎<𝑥≤𝑏 } Gráficamente se representa por: 𝑎 𝑏 +∞ −∞

4 Inecuaciones de primer grado con una variable
Tipos de Intervalos (continuación) Intervalos no acotados. Son aquellos intervalos donde uno de los extremos son de la forma infinita por la derecha +∞ o por la izquierda. −∞ .

5 Inecuaciones de primer grado con una variable
Definición [Desigualdad]. Una desigualdad es un enunciado que establece que un número es menor o mayor que otro. Propiedades de una desigualdad Sea 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales, entonces: Si 𝑎<𝑏, entonces 𝑎±𝑐<𝑏±𝑐. Si 𝑎<𝑏 y 𝑐>0, entonces 𝑎×𝑐<𝑏×𝑐. Si 𝑎<𝑏 y 𝑐<0, entonces 𝑎×𝑐>𝑏×𝑐. Ejemplo. Si a la desigualdad 2<5 le adicionamos 3, entonces se tendrá que 5<8. Si a la desigualdad −1<1 le restamos 4, entonces se tendrá que −5<−3. Si a la desigualdad −2<3 lo multiplicamos por 5, entonces se tendrá que −10<15. Si a la desigualdad −4<2 lo multiplicamos por −3, entonces 12>−6.

6 Inecuaciones de primer grado con una variable
Definición [Inecuación lineal]. Sean 𝑎, 𝑏 constantes reales tal que 𝑎≠0 y 𝒙 una variable real, llamaremos inecuación lineal a toda expresión que puede adoptar alguna de las siguientes formas: 𝑎𝑥+𝑏<0 𝑎𝑥+𝑏>0 𝑎𝑥+𝑏≤0 𝑎𝑥+𝑏≥0 Ejemplo. 3𝑥 + 2 > 0 es una inecuación lineal. 𝑥 2 −𝑥>0 no es una inecuación lineal. La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica.

7 Inecuaciones de primer grado con una variable
Ejercicios diversos Ejercicio. Dados los Intervalos: 𝐴= −∞;0 , 𝐵= −3;5 y 𝐶= 3; +∞ Determine: 𝐴∪𝐵 −(𝐵∩𝐶)

8 Inecuaciones de primer grado con una variable
Ejercicio. En el cuadro mostrado hay dos columnas, usted debe elegir convenientemente una de las expresiones matemáticas contenidas en la primera columna y completar los enunciados presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas.

9 Inecuaciones de primer grado con una variable
Ejercicio. En el cuadro mostrado hay dos columnas, usted debe elegir convenientemente una de las expresiones matemáticas contenidas en la primera columna y completar los enunciados presentadas en la segunda columna, de modo que sean verdaderas. Columna Proposiciones −2;19 ]−1;17] −1;19 19; −1 [1p] Si 𝑥 es un número real que cumple −3<𝑥≤7, entonces el intervalo al que pertenece 2𝑥+5, es ________

10 Inecuaciones de primer grado con una variable
Ejercicio Determine el conjunto solución de: 𝑥−1 2 + 𝑥−2 3 + 𝑥−3 4 ≥120 Resolución 𝑥−1 2 + 𝑥−2 3 + 𝑥−3 4 ≥120 MCM(2; 3; 4) = 12 6 𝑥−1 +4 𝑥−2 +3 𝑥−3 ≥ 6𝑥−6+4𝑥−8+3𝑥−9≥1 440 13𝑥−23≥1 440 13𝑥≥1 463 𝑥≥ C.S.= ; +∞ Respuesta:

11 Inecuaciones de primer grado con una variable
Ejercicio Determine el conjunto solución de: −2≤ 2−3𝑥 4 <1 Resolución −2≤ 2−3𝑥 4 <1 −8≤2−3𝑥<4 −10≤−3𝑥<2 −2<3𝑥≤10 − 2 3 <𝑥≤ 10 3 C.S.= − 2 3 ; 10 3 Respuesta:

12 Inecuaciones de primer grado con una variable
Ejercicio Determine el conjunto solución de: 2 3 𝑥+5≤8− 3 4 𝑥≤ 𝑥 Resolución 2 3 𝑥+5≤8− 3 4 𝑥≤ 𝑥 Segunda separación 480−45𝑥≤420+48𝑥 MCM(3; 4; 5) = 60 480−420≤45𝑥+48𝑥 𝑥+5 ≤60 8− 3 4 𝑥 ≤ 𝑥 60≤93𝑥 20 31 ≤𝑥 →𝐵= ; +∞ 40𝑥+300≤480−45𝑥≤420+48𝑥 Primera separación Obteniendo el conjunto solución 40𝑥+300≤480−45𝑥 = ; 36 17 C.S.=𝐴∩𝐵 40𝑥+45𝑥≤480−300 85𝑥≤180 𝑥≤ 36 17 → 𝐴= −∞; 36 17

13 Inecuaciones de primer grado con una variable
Ejercicio [Aplicación: ingreso, costo y utilidad] Una compañía vende cada Ipod que produce a $60. Si el costo de cada Ipod es de $20 y la empresa tiene costos fijos de $1 000. Modele las expresiones que representan al Costo, el Ingreso y la Utilidad al vender y producir 𝑥 Ipod. Exprese la inecuación que se obtiene al vender y producir 𝑥 unidades, si se quiere obtener utilidades no menores a $2 800. Resolución Parte a) Ingreso: 𝐼=60𝑥 Costo: 𝐶=20𝑥+1 000 Utilidad: 𝑈=40𝑥−1 000 Parte b) Frase: “obtener utilidades no menores a $2 800” 𝑈≥2 800 40𝑥−1 000≥2 800

14 Inecuaciones de primer grado con una variable
Ejercicio 5 [Aplicación: ingreso, costo y utilidad] Un fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce a $45 cada artículo. En la fabricación de cada unidad gasta $38 y tiene costos fijos adicionales de $4900 mensuales en la operación de la planta. Plantee, resuelva y responda: ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe producir y vender para obtener utilidad? ¿Cuál es el número 𝑥 de unidades que debe producir y vender para obtener utilidades de al menos $700? Resolución Parte a) Ingreso: 𝐼=45𝑥 Parte b) Frase: “obtener utilidades de al menos $700” Costo: 𝐶=38𝑥+4 900 𝑈≥700 Utilidad: 𝑈=7𝑥−4 900 7𝑥−4 900≥700 Frase: “obtener utilidad” 7𝑥≥5 600 𝑈>0 7𝑥−4 900>0 𝑥≥800 7𝑥>4 900 Rpta: debe producir y vender por lo menos 800 artículos. 𝑥>700 Rpta: debe producir y vender como mínimo 701 artículos.