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Rosy Marcela Palomino Martínez Iván de Jesús Sánchez Piedrahíta
Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas aplicando la Regla De Cramer Autores: Rosy Marcela Palomino Martínez Iván de Jesús Sánchez Piedrahíta
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La Regla de Cramer es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes. Ejemplo: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4
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Paso 1: Hallar la determinante del sistema la cual denominaremos
Para resolver un sistema utilizando la Regla de Cramer: Paso 1: Hallar la determinante del sistema la cual denominaremos Una determinante es una expresión numérica en la que se toman los coeficientes de x, y y de z, las cuales se escriben dentro de dos barras de la siguiente manera:
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De esta manera la determinante del sistema nos quedaría así:
= 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 Vemos que los números dentro de las barras son los coeficientes correspondientes a x, y y z. Esta expresión es una determinante de tercer orden porque tiene tres filas y tres columnas.
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Paso 2 : Resolver la determinante del sistema ( )
El valor de una determinante de tercer orden se halla aplicando la Regla de Sarrus. = Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales.
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Diagonales Principales Diagonales Secundarias
Se multiplican entre si los tres números por que pasan las diagonales principales y secundarias = = Diagonales Principales Diagonales Secundarias
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Se multiplican los términos de las diagonales principales.
= = Los productos de los números que hay en las diagonales principales se escriben con su propio signo.
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Se multiplican los términos de las diagonales secundarias.
= = Los productos de los números que hay en las diagonales secundarias se escriben con el signo cambiado.
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Finalmente se efectúa la operación correspondiente.
= = -96 Siendo éste el valor de la determinante de todo el sistema.
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Paso 3 : Hallar la determinante de x la cual denominaremos
La determinante de x equivale a colocar en la columna de los coeficientes de x los términos independientes de las ecuaciones. Paso 3 : Hallar la determinante de x la cual denominaremos
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De esta manera nos quedaría así:
= 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 En este caso los coeficientes de x fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.
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Paso 4 : Resolver = = Se multiplican los términos de las diagonales principales.
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= = Luego se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.
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= = - 48 Se realiza la operación la cual dio como resultado -48 que será el valor de la determinante de x.
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Paso 5 : Hallar la determinante de y la cual denominaremos
La determinante de y equivale a colocar en la columna de los coeficientes de y los términos independientes de las ecuaciones. Paso 5 : Hallar la determinante de y la cual denominaremos
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De esta manera nos quedaría así:
= 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 Aquí los coeficientes de y fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.
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Paso 6 : Resolver = = Se multiplican los términos de las diagonales principales.
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= = Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.
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= = 8 - 40 - 32 Se realiza la operación la cual dio como resultado – 32 el cual será el valor de la determinante de y.
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Paso 7: Hallar la determinante de z la cual denominaremos
La determinante de z equivale a colocar en la columna de los coeficientes de z los términos independientes de las ecuaciones. Paso 7: Hallar la determinante de z la cual denominaremos
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De esta manera nos quedaría así:
= 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 Aquí los coeficientes de z fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.
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Paso 8 : Resolver = = Se multiplican los términos de las diagonales principales.
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= = Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.
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= = - 24 Se realiza la operación la cual dio como resultado –24 el cual será el valor de la determinante de z.
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Paso 9: Hallar el valor de x.
El valor de x se obtiene dividendo el valor de la determinante de x ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ). Es decir
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De esta manera = = Siendo éste el valor de x.
Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.
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Paso 10: Hallar el valor de y.
El valor de y se obtiene dividendo el valor de la determinante de y ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ). Es decir
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De esta manera = = Siendo éste el valor de y.
Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.
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Paso 11: Hallar el valor de z.
El valor de z se obtiene dividendo el valor de la determinante de z ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ). Es decir
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De esta manera = = Siendo éste el valor de z.
Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.
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Paso 12: Reemplazar los valores de x,y y z en la primera ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 2( )+3( )+4( ) = 3 Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.
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Paso 13: Reemplazar los valores de x,y y z en la segunda ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 2( )+6( )+8( ) = 5 Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.
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Paso 14: Reemplazar los valores de x,y y z en la tercera ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 4( )+9( )-4( ) = 4 Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.
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Por lo tanto para el sistema La solución es:
Luego de comprobar vemos que los valores hallados para x, y y z satisfacen todas las ecuaciones Por lo tanto para el sistema La solución es: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 x = y = z =
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