Combinación de Programas Lógicos y Redes Bayesianas y su Aplicación a Música Eduardo Morales Enrique Sucar Roberto Morales.

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1 Combinación de Programas Lógicos y Redes Bayesianas y su Aplicación a Música Eduardo Morales Enrique Sucar Roberto Morales

2 Contenido Introducción Redes Bayesianas
Redes Bayesianas + nodos “lógicos” Mecanismo de razonaminto Ejemplo musical (1) Redes Bayesianas dinámicas Ejemplo musical (2) Conclusiones y trabajo futuro

3 Introducción Las dos áreas más utilizadas para representar
conocimiento en una máquina son: Lógica: permite representar objetos, sus propiedades, y relaciones con otros objetos Probabilidad: permite representar y manejar información con incertidumbre

4 Propuesta Este trabajo de investigación plantea como combinar:
Cláusulas de Horn: aprovechando su capacidad expresiva con Redes Bayesianas: aprovechando su manejo eficiente de información con incertidumbre

5 Redes Bayesianas RB son una herramienta poderosa para tratar incertidumbre Utilizan una representación gráfica de dependencias entre variables aleatorias Nodos: variables proposicionales Arcos: dependencias probabilísticas

6 Redes Bayesianas (2) RB representan relaciones de independencia condicional. Por ejemplo, E es independiente de {A,C,D} dado {B}

7 Redes Bayesianas (3) Mecanismo de Razonamiento: propaga evidencia (variables conocidas) a través de la red hasta obtener probabilidades posteriores (de variables desconocidas) Expresividad: RB están limitadas a un formalismo proposicional

8 Representación Musical
Una representación en música debe de incluir: Relaciones entre notas, voces, métricas, ... Preferencias entre notas, métricas, reglas, ...

9 Representación Musical (2)
Una representación natural es: Lógica de primer orden para representar relaciones entre objetos musicales Distribuciones de probabilidad para expresar preferencias entre objetos musicales

10 Propuesta: Utilizar redes Bayesianas para expresar
preferencias musicales y extenderlas con lógica de predicados para expresar relaciones

11 Propuesta (2): : Nodo lógico : Nodo con variable aleatoria
Z puede ser: Binario (T ó F): relación(X,Y) Multivaluado: relación(X,Y,Z)

12 Razonamiento La distribución de probabilidad de “z” depende de los valores de “x” y “y”, y de que la relación “R” se satisfaga o no para esos valores

13 Razonamiento (2) Considerando variables discretas:
Para obtener P(z) tenemos que evaluar la relación para todos los posibles valores no instanciados de “x” y “y”

14 Ejemplo (2) Supongamos: x y >

15 Ejemplo (3)

16 Razonamiento (3) Alternativamente, podemos:
calcular “fuera de línea” la relación para todos los posibles valores de las variables involucradas z=true x=1 x=3 y=0 1 y=2 z=false x=1 x=3 y=0 y=2 1

17 Razonamiento (4) (ii) Construir un nodo determinístico
(iii) incluirlo directamente en una RB

18 Razonamiento (5) La estrategia “en línea”:
Evalua solo las filas y columnas de las variables desconocidas Puede ser útil cuando el tamaño de la tabla de probabilidad condicional es “muy grande” Se puede utilizar con variables continuas usando técnicas de muestreo sobre distribuciones de probabilidad

19 Razonamiento (6) La estrategia “fuera de línea”:
Está limitada a variables discretas con tablas de probabilidades condicionales “pequeñas” Se calcula solo una vez y puede utilizarse con cualquier herramienta de RB

20 Aplicación a Música

21 Aplicación a Música (2) Para aplicar la representación propuesta
a análisis de contrapunto, necesitamos: Distribuciones de probabilidad (expresando preferencias) sobre: Notas de cantus firmus Reglas de contrapunto Métricas

22 Aplicación a Música (2) 2. Relaciones entre notas (considerando
métricas) expresando las reglas de contrapunto 3. Distribuciones de probabilidad sobre las notas de contrapunto

23 Algunas Relaciones Musicales
Consonancia perfecta: quinta, octava, unisono, docena_mayor. Consonancia imperfecta: tercera, sexta y decima (mayor y menor) Disonancia: el resto. Movimientos de pares de notas: contrario, oblicuo y paralelo.

24 Ejemplo de Mov. Contrario

25 Reglas de Contrapunto Primera: de consonancia perfecta a perfecta en movimiento contrario u oblicuo Segunda: de consonancia perfecta a imperfecta en cualquier dirección Tercera: de consonancia imperfecta a perfecta en movimiento contrario u oblicuo Cuarta: de consonancia imperfecta a imperfecta en cualquier dirección

26 Posible Pedazo de Nodo Lógico
regla(Int1, Int2, Mov1, Mov2, uno) :- cons_dis(Int1,cons_perf), cons_dis(Int2,cons_perf), movimiento(Mov1,Mov2,Tipo), member(Tipo,[contrario,oblicuo]).

27 Aplicación a Música (3)

28 Aplicación a Música (5) Esta representación nos permite:
Sugerir las notas de contrapunto y/o de cantus firmus más probables Analizar qué regla de contrapunto se usa en ciertas notas Sugerir notas y reglas de contrapunto siguiendo las distribuciones de probabilidad a priori

29 Representación Temporal
En música es importante representar relaciones temporales En redes Bayesianas dinámicas, los valores de ciertas variables en un tiempo pueden afectar los valores de otras variables en tiempos futuros

30 Representación Temporal (2)

31 Ejemplo Musical Din. En nuestro ejemplo musical necesitamos
ligar nodes de tiempos anteriores y repetir la misma estructura N-2 veces, donde N es el número de notas en el cantus firmus

32 Ejemplo Musical Din. (2)

33 Ejemplo Musical Din. (3) A partir de: do, mi (cf) sol (cp) r1, r2 y r4

34 Capacidades de la Representación
La red se puede usar para análisis musical, p.ejem., estimar las reglas de contrapunto más probables Conociendo las notas de contrapunto, estimar los valores más probables del cantus firmus y de las reglas utilizadas

35 Capacidadesa de la Representación (2)
La red puede usarse para generar música siguiendo las distribuciones de probabilidad y las relaciones expresadas en ella

36 Conclusiones La combinación de redes Bayesianas con lógica es un poderoso formalismo para representar conocimiento y razonar con él La representación puede servir para análisis y composición musical y en principio para otros dominios

37 Trabajo Futuro Probar la propuesta con un ejemplo musical “grande” y en otros dominios Extender la representación a variables continuas con técnicas de muestreo Aprender la red a partir de datos musicales y conocimiento del dominio