Determinación del Geoide

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1 Determinación del Geoide
A partir de los anteriores conceptos, se pueden escribir las siguientes relaciones: Se tiene que: Con base a las anteriores relaciones Dado que: Se tiene la siguiente relación: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

2 Ecuación de Bruns Despejando el valor de N
La anterior fórmula se conoce como “ECUACIÓN DE BRUNS” o “FORMULA DE BRUNS” Su importancia radica en que relaciona la ondulación del geoide con el potencial anómalo. Siendo equivalente para la altura anómala: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

3 Breve introducción a las Ecuaciones diferenciales
Muchas leyes en la naturaleza se expresan en forma de ecuaciones diferenciales, esto debido a que si f(x) es una función, f’(x) (primera derivada) se interpreta como la razón de cambio del fenómeno. Comúnmente lo que se conoce de un fenómeno es su razón de cambio (derivada), por lo que buscar la expresión que describe el fenómeno, implica determinar y resolver una ecuación diferencial Definición: Una ED es una ecuación que relaciona un función desconocida y una o mas derivadas de esta función desconocida con respecto a una o mas variables independientes Si la función desconocida depende de una variables: ED ordinaria Si la función desconocida depende de dos o mas variables: ED parcial ED ordinaria ED Parcial Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

4 Problemas de valores de frontera
Al resolver ecuaciones diferenciales parciales, que dan solución a problemas ya sean físicos o geométricos, se establecen condiciones iniciales o condiciones limite. En el caso de que la condición limite sea un dato, una medición u observación, sobre una superficie limite, conduce a diferentes tipos de “problemas de valores limites” La gravedad y el potencial gravitacional de la Tierra, pueden ser descritos por ecuaciones que contienen derivadas parciales de tiempo o espacio, cuyas variables desconocidas necesitan ser encontradas. La variable que es diferenciada se denomina variable dependiente y frecuentemente corresponde con la solución a determinar. La variable con la cual la diferenciación es hecha, es la variable independiente y en geodesia física por lo general corresponde con las coordenadas donde la condición limite es conocida. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

5 Problemas de valores de frontera
Las derivadas parciales con respecto a variables de tiempo son llamadas condiciones iniciales. Las derivadas parciales con respecto a variables de posición, sobre una superficie limite son llamadas condiciones limite. Cuando derivadas con respecto a variables de posición son considerados en la solución de problemas, nos enfrentamos a “Problemas de valores limites” o BVP. Considerar ahora el potencial de la Tierra como un fenómeno físico no variable en el tiempo. Se ha de considerar la determinación del campo de gravedad terrestre como un problema de valores limites (geodésico, GBVP) con condiciones limites conocidas (observaciones o datos) sobre cierta superficie que necesita ser encontrada: el geoide Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

6 Problemas de valores de frontera
Problema de Dirichlet: conocido como el primer problema de valores limites de la teoría del potencial: “Conocida una función arbitraria dada en una superficie S, determinar una función V que sea armónica ya sea dentro o fuera de S y que en S asuma los valores de la función preestablecida” Este problema surge cuando la ondulación del geoide es obtenido de altimetría satelital. La solución de este problema en la esfera esta dada por la integral de Poisson, que provee la continuación ascendente o descendente del potencial. Es decir, si S es igual a x+y, encontrar una función V que sea armónica y en S la función V es igual a x+y Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

7 Problemas de valores de frontera
Problema de Neuman: conocido como el segundo problema de valores limites de la teoría del potencial: Conocida la derivada normal V/n en la superficie S en lugar de la función V, encontrar V fuera de S. La derivada normal es la derivada a lo largo de la normal superficial n a S, en dirección hacia afuera. Se problema se tiene cuando se conoce el vector de perturbación de gravedad sobre la superficie limite (el geoide) y la solución para el potencial de gravedad externo fuera de la superficie limite tiene que ser encontrado. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

8 Problemas de valores de frontera
Problema de Robin: conocido como el tercer problema de valores limites de la teoría del potencial: Dada una combinación lineal de V y su derivada normal, encontrar V fuera de S h y k son constantes Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

9 Problemas de valores de frontera
Resumen de los problemas de valores de frontera: Problema de Dirichlet (o BVP de primera clase): Solucionar para V en el espacio exterior, dados sus valores en todo lugar de la frontera. Problema de Newman (o BVP de segunda clase): Solucionar para V en el espacio exterior, dados los valores de sus derivadas normales en todo lugar de la frontera. Problema de Robin (BVP mixto o BVP de tercera clase): Solucionar para V en es espacio exterior, dada una combinación lineal de si misma y su derivada normal en la frontera. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

10 Ecuación fundamental de la G.F
Recordando las definiciones de aceleración de la gravedad y aceleración de la gravedad normal: Se puede escribir el vector de perturbación como: Luego Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

11 Ecuación fundamental de la G.F
Por lo tanto, se tiene el vector de perturbación como: Siendo equivalente a: Como la elevación h se calcula a lo largo de la normal, también se puede escribir: Considerando ahora que Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

12 Ecuación fundamental de la G.F
Siendo equivalente a: Y a: Considerando la definición de anomalía de gravedad y la ecuación de Bruns, tenemos las siguientes relaciones: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

13 Ecuación fundamental de la G.F
Otra forma equivalente es: A la anterior fórmula se le conoce como “ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA GEODESIA FÍSICA” porque relaciona la cantidad medida g con el potencial anómalo desconocido T. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

14 Determinación del Geoide
Solo se conoce g a lo largo de una superficie, la cual es el geoide (luego de reducir las observaciones gravimétricas al mismo) La E.F.G.F solo puede usarse como una condición de frontera, pero no es suficiente para calcular el valor del potencial anómalo T. Otro elemento a considerar es que se asume que no existen masas sobre el geoide y que el valor de la gravedad se mide sobre este. Esto no es cierto; las observaciones de gravedad se hacen sobre la superficie terrestre, por lo que existen masas que influyen sobre las observaciones de gravedad. Se recurre entonces a técnicas de cálculo para eliminar el efecto de las masas. Esto permite suponer que las masas están encerradas en el geoide. Al considerar que la densidad  es cero en todas las partes fuera del geoide, el potencial anómalo es armónico y satisface la ecuación de Laplace. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

15 Determinación del Geoide
Expresando la condición limite de la siguiente forma: Y como se supone que se conoce g para todos los puntos del geoide, se observa que la combinación lineal de T y T/n esta representada sobre esta superficie (el geoide). Recordar el tercer problema de los valores limites. El tercer problema de valores limites es de particular importancia para la geodesia física, ya que la determinación de las ondulaciones de geoide a partir de las anomalías de gravedad es precisamente un problema de este tipo. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

16 Determinación del Geoide
La determinación de T constituiría una solución al tercer problema de los valores limites de la teoría del potencial. Determinando el valor de T y con base al conocimiento del campo de gravedad del elipsoide normal, se puede determinar el valor de la ondulación del geoide a partir de la ecuación de Bruns. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

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18 Determinación del Geoide
Teluroide: superficie cuyos puntos en los que el potencial normal (U) es igual al potencial de gravedad real (W) en la superficie. Por tanto: W(P) = U(Q) y W(P0) = U(Q0) Interpretación geométrica: Altura ortométrica: Distancia vertical desde el Geoide al punto P Altura normal: Distancia vertical desde el elipsoide de referencia al punto Q. La gravedad normal se puede calcular con base a fórmulas, sin la necesidad de tener que formular hipótesis. La altura anómala  es la altura sobre el teluriode. Representa la medida geométrica de las diferencias entre las superficies del potencial real en la superficie y el mismo potencial de la Tierra normal Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

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20 Determinación del Geoide
Lo mas conveniente es que las alturas se midan al punto P (en la superficie), tal y como ocurre con H y no a un punto teórico (en este caso Q) en el interior de la corteza. Las alturas normales se “trasladan” hacia arriba hasta la superficie topográfica. Se define una nueva superficie, que es el cuasi-geoide, la cual se eleva en el valor de la altura anómala sobre el elipsoide. Nótese que la ondulación del geoide es la distancia entre dos superficies de idéntico potencial U0 = W0. La altura anómala es la distancia entre dos superficies de igual potencial UQ = WP. La relación entre estas cantidades también la da la ecuación de Bruns: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

21 Determinación del Geoide
En el calculo de N, el potencial T corresponde a la diferencia de potencial entre el geoide y la gravedad normal al punto Q0 sobre el elipsoide. En el caso de  , el potencial T es elevado al nivel de la superficie y la gravedad normal sobre el punto Q del Teluroide. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

22 Resumen El Teluroide es una superficie conformada por aquellos puntos Q, cuyo valor de potencial normal UQ es idéntico al potencial de gravedad real WP de los puntos P correspondientes, ubicados sobre la superficie terrestre. La conexión entre P y Q se por medio de la altura anómala . La altura normal corresponde con la separación entre el Teluroide y el elipsoide. Si desde la superficie terrestre se descuenta la altura normal a lo largo de la normal al elipsoide, se obtiene el cuasigeoide. Dado que el potencial WP varia de un punto a otro sobre la superficie terrestre, el Teluroide y en consecuencia, el cuasi-geoide, no son superficies equipotenciales y por tanto, no tienen significado físico directo. El geoide equivale la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre con potencial real W = W0. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

23 Cálculo del geoide con base al enfoque de Stokes
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25 La integral de Stokes Si se conoce el valor de la anomalías de gravedad, se puede determinar el potencial anómalo T de la siguiente forma: En el geoide, r = R, por lo que se tiene: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

26 La integral de Stokes Considerando la ecuación de Bruns:
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27 La integral de Stokes La anterior fórmula se conoce como “INTEGRAL DE STOKES” o “FÓRMULA DE STOKES”. Fue publicada por Gabriel Stokes en 1849. Se le considera una de las fórmulas mas importante de la geodesia física ya que permite determinar el geoide a partir de datos gravimétricos. La integral de Stokes asume además que los datos de anomalías de gravedad están distribuidos sobre todo la superficie de frontera: asume distribución global de los datos. Sin embargo, las mediciones son realizadas a nivel local y con alta resolución, o sea que solamente se tiene información de alta frecuencia del potencial anómalo. Para incluir información de baja frecuencia (o de longitud de onda larga) se debe hacer uso de la técnica de remover y restaurar. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

28 La integral de Hotine En caso de conocer el vector de perturbación de gravedad g, se utiliza la INTEGRAL DE HOTINE: Con la función de Hotine definida como: De forma cerrada: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

29 La integral de Stokes Para evaluar la integral de Stokes, considerando que no se dispone de datos de anomalías para cada punto del geoide se puede proceder de la siguiente forma: Donde gr es la anomalía de gravedad y S es la función de Stokes, definida como: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

30 La integral de Stokes Un método mas común es usar la transformada rápida de Fourier, ya que la integral de Stokes puede ser expresada como una convolución en la dirección este-oeste, considerando que el kernel de Stokes es constante para todos los puntos en una paralela pero diferente para puntos en distintas latitudes Donde F1 y F1-1 denotan el operador de la transformada de Fourier 1D y el operador inverso de la transformada de Fourier 1D Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

31 Cálculo del cuasi-geoide con base al enfoque de Molodensky
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32 Teoría de Molodensky Hay dos grandes obstáculos en el concepto geodésico “clásico”: La definición del geoide no es completamente rigurosa; el valor el potencial en el geoide no se conoce** El proceso de remover el efecto de las masas fuera del geoide esta basado en hipótesis concernientes a la distribución de densidades dentro de la Tierra. La idea básica de Molodensky es que no usa (y por no tanto busca) el geoide. En su lugar, usa la superficie topográfica de la Tierra como superficie de referencia. Por tanto no se debe asumir nada acerca de la estructura interna de la Tierra. Para referir las alturas, definió una superficie que no tiene significado físico, la cual no se separa demasiado del geoide y a la que llamó “CUASI-GEOIDE” Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

33 Esfuerzos para la estimación de Wo
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34 Valores publicados de Wo
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35 Teoría de Molodensky Esto le trajo a Molodensky varios adversarios por su teoría. Esto debido a que el geoide es la mas “real” y “concreta” superficie que se puede usar. El Teluroide: Teluriode significa “terrenal, terrestre”. Es definido como un lugar de las alturas normales H* medida a lo largo de la normal al elipsoide de referencia, La diferencia entre la altura elipsoidal y la altura normal es llamada “Altura anómala”. Es importante no olvidar que al formular el Teluroide o el cuasi-geoide no se postula ninguna hipótesis. Ambas superficies son puramente convencionales (matemáticas) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

36 La integral de Molodensky
El calculo del teluriode viene dado por la ecuación: Donde: Con: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

37 Teoría de Molodensky Que representa la corrección de terreno
La teoría de Molodensky conduce a una solución directa del problema de valores de frontera sobre la superficie terrestre, sin la necesidad de formular hipótesis. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014