Guías Modulares de Estudio Matemáticas II Parte A

Guías Modulares de Estudio Matemáticas II Parte A

Semana 1: Ángulos

Ángulos y Triángulos Objetivo
Resolver problemas geométrico mediante la medición de ángulos en el plano y su clasificación y la medición de triángulos utilizando razonamientos analógicos y deductivos.

Ángulos y Triángulos Conceptos Preliminares
En geometría, punto, recta y plano son términos primitivos en virtud de que cualquier intento de definirlos implicaría el uso de términos geométricos menos familiares. A continuación dicho conceptos de describen. Punto. El punto geométrico no tiene dimensiones, sólo posición. Para representar el punto geométrico se utiliza el punto gráfico, que no es el punto geométrico, del mismo modo que un punto en una representa a una ciudad, pero no es la ciudad. .A B P Recta. La línea se representa con una figura como la siguiente: Las puntas de las flechas indican que la figura se puede prolongar en ambos sentidos tanto como se quiera. Para referirse a una recta (notación) se pueden seleccionar dos de sus puntos a los que se asocian los letras mayúsculas. El símbolo AB se lee “recta AB” A B

Ángulos y Triángulos La línea recta también se puede designar (denotar) por medio de una sola letra minúscula. El símbolo m lee “recta m” La línea recta carece de anchura y espesor, sólo tiene longitud Plano. La cubierta de una mesa nos da ida de los que es un plano, es decir, una superficie que se extiende indefinidamente. La superficie tiene dos dimensiones: longitud y anchura, pero carece de espesor. La sombra que un edificio proyecta sobre el piso, ejemplifica una superficie. Un plano se representa con una figura como la siguiente: m P Q Plano P Plano Q

Ángulos y Triángulos Sólido
En la siguiente figura se representa un paralelepípedo Dicho cuerpo tiene como característica peso, dimensiones, forma, color, sustancia y ocupa un lugar en el espacio. El sólido del ejemplo tiene seis caras que constituyen sus límites. Cada cara es una superficie. A su vez, cada dos caras adyacentes tienen como límite común a una línea y cada dos líneas adyacentes tienen como límite común un punto. Las figuras geométricas cuyas partes están todas en un mismo plano constituyen el objeto de estudio de la geometría plano o bidimensional, es decir, de dos dimensiones: longitud, anchura y altura o profundidad. D C A B G E F

Ángulos y Triángulos Posición de dos rectas en el plano
Dos rectas en el plano puedes estar en alguna de las tres posiciones siguientes: Rectas paralelas. Dos rectas en el plano son paralelas cuando la distancia entre ellas es constante. Para denotar rectas paralelas se utiliza el símbolo //. Así a // b se lee “recta a paralela a la recta b.” Rectas perpendiculares. Dos rectas en el plano son perpendiculares cuando al intersecarse forman un ángulo recto. a b N A B B M M N A

Ángulos y Triángulos Rectas oblicuas. Dos rectas no paralelas en el plano son oblicuas cuando al intersecarse no forman un ángulo recto, es decir, cuando no son perpendiculares. Semirrecta. Una semirrecta o rayo se representa con una figura como la siguiente: La figura indica que el rayo comienza o que tiene su origen en O, pasa por A en línea recta y se prolonga indefinidamente como indica la flecha. Una semirrecta o rayo se denota por dos letras mayúsculas que corresponden al origen y a un punto del rayo; el símbolo OA se lee “rayo OA”, y representar una rayo que tiene su origen en O y pasa por el punto A. A

Ángulos y Triángulos A los puntos A y B se les llama extremos del segmento. El segmento se denota mediante dos letras mayúsculas colocadas en sus extremos, o bien, con una letra minúscula colocado en medio del trazo. Segmento AB, o bien, AB; segmento m, o bien m. Medida de un segmento. Medir un segmento es compararlo con otro que se toma como unidad de medida. Si tratamos de medir la distancia entre dos ciudades o entre dos puntos de esta filmina, es evidente que en cada caso se tendrá que utilizar la unidad de longitud del sistema métrico decimal que resulte más conveniente. m A B

Ángulos y Triángulos Medida de ángulos
Si se considera el ángulo como resultado de un movimiento de rotación en el que una semirrecta (lado inicial) gira alrededor de su origen y recorre el plano hasta coincidir con la otra semirrecta (lado final), diremos que el valor o magnitud del ángulo depende de la amplitud de rotación de la semirrecta que lo ha generado y no de la longitud de sus lados. El uso adecuado del transportador requiere que: A) El centro del instrumento coincida con el diámetro señalado por la línea 0° - 180°. B) La lectura se haga en la escala cuyo cero está sobre un lado del ángulo. C) Si el insturmento resulta grande la medición del ángulo, se prolonga los lados de éste.

Ángulos y Triángulos Congruencia de ángulos
Dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma amplitud, es decir, la misma medida. Clasificación de los ángulos Ángulo agudo, es aquel cuyo valor es menor de 90°. Ángulo recto, es aquel cuyo valor es de 90° Ángulo obtuso, es aquel cuyo valor es mayor de 90° pero menor de 180°. Ángulo llano, es aquel cuyo valor de 180°, también se le llma ángulo de lados colineales, porque sus lados están situados sobre una misma línea recta. Sin embargo, de ninguna manera se debe confundir una línea recta con un ángulo llano.

Ángulos y Triángulos Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso
Ángulo llano

Ángulos y Triángulos Pares de ángulos
Ángulos adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común situado entre los lados comunes. Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuya suma de medición es de 90°. Cada uno de los ángulos es suplemento del otro.

Ángulos y Triángulos Ángulos suplementarios. Son los ángulos cuya suma de medidas es de 180°. Cada uno de los ángulos es suplemento del otro.

Ángulos y Triángulos Ángulos opuestos por el vértice.
Son ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos.

Propiedades que se obtienen son:
Ángulos y Triángulos Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal (secante). Dos paralelas cortadas por una transversal forman ocho ángulos, cuatro llamados internos, por estar situados dentro de las paralelas y cuatro llamados externos, por estar fuera de ellas. Propiedades que se obtienen son: b=e ; a=f ; g=g ; d=h Ángulos correspondientes g=f ; d=e Ángulos alternos internos b=h ; a=g Ángulos alternos externos b=d ; g=a ; e=h ; f=g Ángulos opuestos por el vértice

Semana 2: Triángulos

Ángulos y Triángulos Triángulos Características:
Un triángulo se representa con la siguiente figura: Características: Todo triángulo consta de 3 vértices que son las intersecciones de las rectas. Los segmentos que unen los vértices se llaman lados del triángulo. Los lados del triángulo forman tres ángulos que se llaman ángulos internos del triángulo. En todo triángulo los ángulos internos suman 180º. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia.

Ángulos y Triángulos Clasificación de los triángulos según sus lados
Triángulo escaleno, es aquel que no tiene lados iguales Triángulo isósceles, es aquel que tiene, por lo menos, dos lados iguales. Triángulo equilátero, es aquel que tienes su tres lados iguales.

Ángulos y Triángulos Clasificación de los triángulos según sus ángulos
Triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto (L) se llaman catetos y el lado opuesto a dicho ángulo se llama hipotenusa. Triángulo obtusángulo e que el tiene ángulo obtuso Triángulo acutángulo es el que tiene sus tres ángulos agudos Los triángulos obtusángulos y acutángulos reciben el nombre de triángulos oblicuángulos porque dos de sus lados cualesquiera caen en forma oblicua con respecto al tercer lado.

Ángulos y Triángulos Puntos y rectas notables
Circuncentro. Se llama circuncentro al punto de intersección de las mediatrices de los lados de un triángulo. Ortocentro. Se llama ortocentro al punto de intersección de las alturas (o de sus prolongaciones) de un triángulo. Baricentro. Se llama baricentro (gravicentro o centroide) al punto de intersección de las medianas de un triángulo. Incentro. Se llama incentro al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.

Ángulos y Triángulos Suma de los ángulos interiores de un triángulo
Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. Ángulo exterior de un triángulo Teorema: Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

Ángulos y Triángulos Congruencia
Se llaman figuras congruentes aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño, de manera que al colocar una sobre la otra coinciden en sus partes correspondiente, es decir, una es copia de la otra. Dos triángulos son iguales si al color uno sobre el otro coinciden en todas sus partes. Los lados y ángulos que coinciden se llaman elementos homólogos o correspondientes.

Ángulos y Triángulos Razones y proporciones Razón geométrica
Es el número que se obtiene al comparar dos magnitudes por cociente. Si a y b son dos números (b ≠ 0), la razón entre el par ordenado de números a, b es el cociente a/b que se puede expresar a:b y que en ambos casos se lee “a es a b” Cuando la razón se establezca entre dos números cuyas cantidades representen medidas de la misma especie, se expresará en la misma unidad de medida. En la razón a/b, a es el antecedente y be es el consecuente.

Ángulos y Triángulos Proporción
Se llama proporción a la igualdad de dos razones. Si las razones a : b y c : d son iguales, la expresión a : b = c : d es una proporción que también se puede expresar así a/b = c/d y en ambos casos se lee “a es a b como c es a d” Las cantidades a, b c y d se llama términos de la proporción, siendo a en este caso el primer término, b el segundo, c el tercero y de el cuarto. Los términos primero y cuarto ( a y d) son los extremos y los términos segundo y tercero (b y c) son los medios; mientras que a y c son los antecedentes, b y d los consecuentes.

Ángulos y Triángulos Semejanzas
Se llaman triángulos semejantes a los triángulos que tienen ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos son proporcionales. La relación de semejanza se denota con el símbolo ~, de esta manera la expresión ΔABC ~ ΔA’B’C’ se lee: “ el triángulo ABC es semejante al triángulos A prima, B prima, C prima.

Examen muestra (Semana 1 y 2)
Dos ángulos cuya suma es de 90° se llaman: Un triángulo que tiene por lo menos dos lados iguales se denomina Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común comprendido entre los lados no comunes se llaman: Según sus lados, los triángulos se clasifican en: Según su amplitud los ángulos se clasifican en: Trazar los siguientes triángulos: A) Escaleno B) Equilatero C) Isósceles D) Equilatero de 4 cm por lado.

Semana 3: Polígonos

Polígonos y circunferencia
Objetivo Realizar problemas relacionados con polígonos y circunferencias, mediante la aplicación y el análisis de teoremas, rectas, triángulos y ángulos.

Como se puedes observar, la línea poligonar o quebrada está formada por segmentos rectílineos colocados uno a continuación del otro y siguiendo distintas direcciones, siendo el extremo final del primero coincidente con el extremo inicial del segundo, el extremo final de éste es el extremo inicial del tercero y así sucesivamente. B D A C E

Polígono convexo Un polígono es convexo cuando cualquier recta secante sólo lo coarte en dos de sus lados, y también cuando al trazar una recta coincidente con uno de los lados del polígono, los demás lados de éste quedan del mismo lado del plano con respecto a la recta. Polígono cóncavo Un polígono es cóncavo cuando una recta secante puede cortarlos en más de dos de sus lados, y cuando al trazar una recta coincidente con uno de los lados del polígono, los demás lados de éste no quedan del mismo lado del plano con respecto a la recta.

Diagonales En un polígono se llaman diagonal al segmento de recta que une dos vértices no consecutivos. Un triángulo no tiene diagonales, pues dos vértices cualesquiera son necesariamente consecutivos. Polígono equilátero es aquel que tiene todos su lados congruentes, es decir, todos su lados tienen la misma medida. Polígono equiángulo es aquel que tiene todos su ángulos congruentes, es decir, todos sus ángulos tienen la misma medida. Polígono regular es aquel que es equilátero y equiángulo, es decir, tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales. Polígono irregular es aquel que no cuenta con las dos características que distinguen a un polígono regular, es decir, no tiene sus lados y ángulos iguales.

Clasificación e los polígonos Polígonos irregulares Los cuadriláteros se clasifican, por la posición relativa de sus lados, en paralelogramos, trapecios y trapezoide. Paralelogramo. Es el cuadrilátero que tiene paralelos sus lados opuestos y al cual se llama también romboide. El paralelogramo tiene las siguientes propiedades. 1. Los lados opuestos al paralelogramo son iguales 2. Las diagonales del paralelogramo se bisecan mutuamente, es decir, una a otra se cortan por mitad 3. Los ángulos opuestos del paralelogramo son iguales 4. Dos ángulos consecutivos del paralelogramo son suplementarios

Son paralelogramos el rectángulo, el rombo y el cuadrado. Rectángulo. Es el paralelogramo que tiene un ángulo recto. Por la forma en que se ha definido, sabemos que el rectángulo tiene todas las propiedades del paralelogramo. Rombo. Es el paralelogramo que tiene dos lados consecutivo iguales. El rombo tiene la propiedad de que sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos cuyos vértices une. Trapecio. Es el cuadrilátero que tiene sólo un para de lados opuestos paralelos. Los lados paralelos se llama bases. Un trapecio puede ser rectángulo, isósceles y escaleno. Trapezoide. Es el cuadrilátero que no tiene paralelos ningún para de lados opuestos.

Polígonos regulares Un polígono es regular cuando es equilátero y equiángulo, es decir, será polígono regular cualesquiera que cumpla las dos condiciones. Como en todo triángulo a los lados se iguales se oponen ángulos iguales, el triángulo equilátero es además equiángulo y por tanto es un polígono regular.

Suma de ángulos interiores de polígonos regulares Polígono Número de lados Número de diagonales Número de triángulos Suma de los ángulos interiores Triángulo 3 1 1(180°) = 180° Cuadrilátero 4 2 2(180°) = 360° Pentágono 5 3(180°) = 540° Hexágono 6 4(180°) = 720° Heptágono 7 5(180°) = 900° Octágono 8 6(180°) = 1080° N - ágono n n-3 n-2 (n-2) = (180°)

Cálculo de perímetros y áreas Perímetro del rectángulo se obtiene multiplicando por dos la suma de su ancho y su largo (es decir, base más altura) Perímetro del rombo, se obtiene multiplicando por cuatro la longitud del lado. A B C D a b P = a + b + a + b P = a + a + b + b P = 2a + 2b P = 2(a+b) (Fórmula) a D C P = a + a + a + a P = 4a (Fórmula) b b B A a

Cálculo de perímetros y áreas Perímetro del trapecio se obtiene sumando los que miden su cuatro lados. Perímetro del cuadrado se obtiene multiplicando por cuatro la longitud del lado. A B C D a b P = a + b + c + d (Fórmula) D C P = a + a + a + a P = 4a (Fórmula) A B a

Área del cuadrado El área de un cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de uno de sus lados. Si la longitud del lado es a el área A es: A = a² (Fórmula) Área del rectángulo Dado un rectángulo de base b y altura h, si se trazan cuatro rectángulos iguales a él y se disponen, se forman dos cuadrados cuya diferencia de áreas es el cuádruplo del área del rectángulo dado. Restando las dos igualdades miembro a miembro obtenemos la diferencia de las áreas de los cuadrados: 4A = 4bh A = bh (Fórmula) El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura ( o el largo por el ancho).

Área del paralelogramo Dado el paralelogramo ABCD, si desde los extremos de su base se trazan perpendiculares al lado opuesto, se forma el rectángulo ABC’D’. El paralelogramo ABCD y el rectángulo ABC’D’ son figuras equivalentes por tener la misma área, ya que el triángulo BCC’ es equivalente al triángulo ADD’. Si en el paralelogramo su base es b y su altura es h entonces su área es: A = bh (Fórmula) D C D’ D C’ C A B A B

Área del triángulo Dado un triángulo, si se traza otro igual a él y se disponen como se indica en la figuras, se forma un paralelogramo cuya área es del doble del área del triángulo dado. La base y la altura del triángulo es la bases y la altura del paralelogramo, por tanto: Área del paralelogramo = bh Área del triángulo = bg/2 Si en un triángulo su base es b y su altura es h entonces su área es: A = bh/2 El área del un triángulo es igual a la mita del producto que resulta de multiplicar su bases por su altura. h base

Área del trapecio Dado el trapecio ABCD, si se traza otro igual a él y se dispone como se indica en la figura, se forma el paralelogramo AEFD cuya área es el doble del trapecio dado. El paralelogramo AEFD su base es AE y su latura es h, por tanto: Área del paralelogramo = (AE)/h Área del trapecio = (AE)h / 2 Siendo AE = b + b’ y sustituyendo AE por su igual, el área del trepcio es A = (b + b’)h / 2 - El área de un trapecio es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar la suma de sus bases por su altura. D b’ C b F h h A b B b’ E

Área del rombo Sabemos que en un rombo las diagonales son perpendiculares entre sí y se cortan mutuamente por la mitad, de manera que se forman cuatro triángulos congruentes. En la figura, la diagonal AB divide el rombo en dos triángulos congruentes ΔABC =≈ ΔABD; entonces el área del rombo es el doble del área de uno de los triángulos. Si AB = d1 y CD=d2 es: A = d1 (1/2 d2) / 2 Entonces el área del rombo es el doble del área del ΔABC Área del rombo = 2 [d1 (1/2 d2) / 2] A = ½ d1 d2 - El área del rombo es igual a la mitad del producto qeu resulta de multiplicar sus diagonales. C A B D

Área de un polígono regular En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de los vértices, se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono. El área del polígono regular será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de triángulos. Si el lado del polígono es l y la altura de cada triángulo. Es a (apotema del polígono), el área de un triángulo es: la /2 Si el polígono tiene n lados se forman n triángulos, entonces: Área del polígono n (la /2) Como nl es el perímetro P del polígono, el área de éste es: A = Pa / , o bien, A = ½ Pa (Fórmula) El área de un polígono regular es iguala a la mitad del producto que resulta de multiplicar su perímetro por su apotema.

Circunferencia y círculo La circunferencia es una curva cerrado cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo que se llama centro de la circunferencia. El círculo es la superficie del plano limitado por una circunferencia La circunferencia es una línea y por ello sólo tiene longitud, mientras que el círculo es una superficie y por tanto tiene área.

Elementos de la circunferencia Radio. Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Diámetro. Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia Arco. Es una parte de la circunferencia. Arco menor. Es aquel que mide menos que una semicircunferencia Arco mayor. Es aquel que mide más que una semicircunferencia Semicircunferencia. Es un argo de longitud igual a la mitad de la circunferencia Semicírculo. Es la región del plano comprendida entre un diámetro y la semicircunferencia.

Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto único se llama punto de tangencia o punto de contacto. Secante: Es la recta que corta la circunferencia en dos puntos (partes)

Ángulos Ángulo central: Es aquel que está formado por dos radios. Ángulo inscrito: Es aquel que está formado por dos cuerdas y tiene su vértice sobre la circunferencia Ángulo interior. Es aquel que está formado por dos cuerdas que se cortan Ángulo exterior. Es aquel que está formado por dos secantes que se cortan en un punto fuera del círculo. Ángulo interior Ángulo exterior

Semana 4: Polígonos y Circunferencia

Medida del ángulo central Un ángulo central se mide por el arco comprendido entre sus lados. La unidad para medir los ángulos es el grado que, equivale a la amplitud de rotación de una semirrecta que gira 1/360 de vuele alrededor de su origen. La unidad para medir arcos es la longitud del arco comprendido entre los lados de un ángulo central que mide un grado. 1/360 de vuela es un grado, unidad angular 1/360 de circunferencia es un grado, unidad de arco La medida de un ángulo central es igual a la del arco comprendido entre sus lados. Teorema: Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad de la del arco comprendido entre sus lados.

Teorema: Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo interior) tiene por medida la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados Teorema: Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia (ángulo exterior) tiene por medida la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados. Teorema: Todo ángulo formado por tangente y cuerda (ángulo semiinscrito) tiene por medida la mitad de la medida del arco subtendido por la cuerda.

Conversión de medidas angulares En el sistema de medida circular o cíclica, se toma como unidad del ángulo cuya medida es la del arco de longitud igual al radio, este ángulo unidad se llama radián. Como la longitud de la circunferencia es: C = 2π r, el rado r = 1, entonces C= 2π radianes. Por otra parte, C= 360° 2π = 360° Dividiendo la igualdad entre 2π: 2 π / 2 π = 360°/ 2 π 1 = 180° / π AOB es un radián AB = r

Perímetro Se ha establecido que π es la razón entre la longitud de la circunferencia y la longitud de diámetro, lo cual se expresa así: π = C/d entonces C=πd, y no como el diámetro es igual a dos radios (d=2r) C= 2 πr. La longitud de una circunferencia se obtiene multiplicando π por el diámetro, o lo que es lo mismo π por el doble del radio. Ejemplo: Calcular la longitud de una circunferencia que mide 5 cm de radio. r=5cm, C= 2 π r C = 2(3.1416)(5)= cm

Área Considerando el círculo como un polígono regular de un número ilimitado de lados, el área del círculo se puede obtener aplicando la fórmula para los polígonos regulares A = Pa/2, sólo que el perímetro del círculo es la longitud de las circunferencia (P = C = 2 π r) y la apotema es igual al radio (a = r). Por tanto: A = Pa/2 A = (2 π r) ( r ) A = 2π r² / 2 A = π r² El área de un círculo se obtiene multiplicando π por el cuadrado del radio.

Homotecia La homotecia nos permite construir figuras semejantes a una escala determina. Dos figuras homotéticas son figuras semejantes que cumplen con la condición de que las rectas que determinan sus puntos homólogos son concurrentes en un punto al que se le llama centro de homotecia.

Sólidos La geometría se divide para su estudio en dos partes que son: La geometría plana y la geometría del espacio. En la geometría plana se estudian las figuras planas de dos dimensiones como los triángulos, los polígonos, el círculo, etc.; así como aquellas figuras de una sola dimensión tales como líneas rectas y curvas que se representan en el plano. La geometría plana estudia figuras que tienen sus elementos en un mismo plano. En la geometría del espacio o geometría tridimensional se estudian las figuras que tienen tres dimensiones: longitud o largo, latitud o ancho y altura o profundidad. Dichas figuras son conocidas como cuerpos geométricos, sólidos geométricos o simplemente sólidos. Los sólidos son espacios limitados por superficies planas o curvas. La superficie s plan cuando al unir dos puntos cualesquiera de la misma, la recta que determinan está contenida en dicha superficie. Cuando esa condición no se cumple se tiene una superficie curva.

Poliedros Los cuerpos geométricos limitados por superficies planas reciben el nombre de poliedros. Se llaman caras a los planos que limitan el poliedro, a la intersección de dos de sus caras se le llama arista y a la intersección de las aristas se les llaman vértices. La diagonal de un poliedro uno dos vértices situadas en caras distintas. Los ángulos diedros se forman entre dos caras que concurren en una misma arista Los ángulos sólidos o ángulos poliedros se forman por las caras que se intersecan en un mismo vértice.

Poliedros convexos Los poliedros pueden ser convexos o cóncavos. Son convexos cuando quedan situados del mismo lado del plano que contiene una de sus caras. Poliedros regulares e irregulares Los poliedros pueden ser regulares e irregulares. Son regulares cuando tienen todas su caras iguales e irregulares cuando no todas sus caras son iguales. Los poliedros regulares sólo son cinco: el tetraedro, el exaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. El tetraedro tiene cuatro caras iguales, cada uno de las cuales es un triángulo equilátero. El exaedro o cubo tiene seis caras iguales, cada un a de ella es un cuadrado. El octaedro tiene ocho caras iguales, cada una de ellas es un triángulo equilátero. El dodecaedro tiene doce caras iguales, cada una de ellas es un pentágono regular. El icosaedro tiene veinte caras iguales, cada una de ellas es un triángulo equilátero.

Poliedros regulares e irregulares

Prisma El prisma es un poliedro que tiene dos caras opuestas paralelas que son polígonos iguales y sus otras caras son paralelogramos. A las dos caras poligonales iguales que están en planos paralelos se les llama bases. A las otras caras se les conoce como caras laterales. Las intersecciones de dos caras laterales son las aristas laterales. La altura de un prisma es el segmento de recta perpendicular a las bases y comprendido entre ellas. Si en un primas sus aristas laterales son perpendiculares a las bases se dice que el prisma es recto y cada arista lateral es igual a la altura.

Paralelepípedos El prisma cuyas bases son paralelogramos se llama paralelepípedo; si las bases rectángulos y sus aristas laterales son perpendiculares a las bases entonces se le llama paralelepípedo rectángulo o ortoedro. Paralelepípedo Ortoedro Paralelepípedo rectángulo

Paralelepípedo Área de un prisma
El área de un prisma puede ser lateral o total. El área lateral es el área que corresponde a las caras laterales. El área total es el área de todas sus caras, es decir, es la suma del área lateral más el área de las dos bases. Fórmulas para calcular el área lateral y total de un prisma Sea A1 = área lateral At = área total P = perímetro de la sección recta o de la base si el prisma es recto a = arista lateral h = altura del prisma recto B = área de una de las bases Entonces se tienen las siguientes fórmulas: Al = Pa (área lateral de un prisma cualquiera) Al = Ph (área lateral de un prisma recto) At = Pa + 2B (área total de un prisma cualquiera) At = pH + 2B (área total de un prisma recto)

Área y volumen del cubo Si se considera al cubo como un prisma recto en el que sus bases y caras laterales son cuadrados iguales, entonces llamando a a la arista del cubro se tiene que el perímetro de la base es: P = 4a Sustituyendo en las fórmulas para las áreas y volumen del prisma se tiene para el área lateral: A1 = Ph A1 = 4a.a A1 = 4a² Entonces el área lateral del cubo se obtiene multiplicando por 4 el cuadrado de su arista. Para el área total: A1 = Ph + 2B A1 = 4a² + 2a² A1 = 6a² Es decir, el área total del cubo se obtiene multiplicando por 6 el cuadrado de su arista. Para el volumen V = Bh V = a² a V = a³

Sólidos redondos Se les llama así a los sólidos o cuerpos limitados por caras curvas. Son ejemplos de cuerpos redondos el cilindro, el cono y la esfera. Superficie cilíndrica Es una superficie plana generad por una recta que se mueve en forma paralela a sí misma apoyándose sobre una línea curva indefinida. Se pueden observar superficies cilíndricas en una vaso, una lata de refresco y una lámina acanalada. Cilindro Es un sólido geométrico limitado por una superficie cilíndrica cerrada y por dos superficies planas y paralelas. Sólidos de revolución Se les llama así a los sólidos que se generan por la revolución o rotación de una superficie plana sobre uno de sus lados que se toma como eje. Son sólidos de revolución el cilindro circular recto, el cono circular recto y la esfera.

Cilindro circular recto Es un sólido de revolución generado por la rotación de un rectángulo en torno de uno de sus lados. El lado del rectángulo que es paralelo al que sirve de eje de rotación es la generatriz del cilindro, porque es línea que genera la superficie lateral del sólido. Área lateral de cilindro circular recto Se obtiene multiplicando la circunferencia de una de sus bases por la altura Fórmula: A1 = π dh, Como d = 2r, también se puedes expresar A1 = 2 π rh Área total del cilindro circular recto Se obtiene sumando el área lateral, el área de sus dos bases Fórmula: AT= πdh + 2 πr², o bien AT= 2 π rh + 2 πr²

Volumen del cilindro circular recto Se obtiene multiplicando el área de una de sus bases por la altura. Fórmula: V = πr²h Superficie cónica Es la superficie generada por una recta que se mueve de manera que pasa siempre por un fijo exterior al plano que contiene a una curva también fija a la que intercepta en toda su extensión la rectra móvil. La recta móvil es la generatriz, a la curva plana se llama directriz y al punto fijo, vértice. Cono Se llama así al sólido geométrico que está limitado por una superficie cónica cerrada y por un plano que corta la generatriz en todas sus posicones. La altura del cono es el segmento de recta perpendicular al plano de la base, comprendido entre dicho plano y el vértice.

Superficie esférica Es la superficie formada por los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo. Dicho puntos están sujetos a una condición dada por lo que constituye un lugar geométrico, de manera que la superficie esférica se pueda definir como: el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo denominado centro. Esfera Es el sólido geométrico limitado por una superficie esférica. La esfera es un sólido de revolución que se genera por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro. Mientras el semicírculo genera la esfera, la semicircunferencia correspondiente, genera la superficie esférica, el radio y el diámetro permanecen constantes. Por eso es que el centro, el radio y el diámetro de la esfera son respectivamente iguales al centro, el radio el diámetro del círculo generador. Sección esférica Si un plano corta una esfera, la sección que se obtiene es un círculo

Polos En una esfera los polos de un círculo son los puntos extremos del diámetro perpendicular a dicho círculo. Área de la esfera Se obtiene multiplicando la longitud de la circunferencia de sus círculo máximo por el diámetro. Fórmula: A = 2 π rd Como d = 2r, entonces A = 2πr (2r) A = 4πr² O sea que, el área de una esfera es cuatro veces el área de su círculo máximo Volumen de la esfera Se obtiene multiplicando su área por un tercio del radio. Fómula: V = 4 π r² (r/3) de donde V = 4 π r³/3 que también se puede expresar como V= 4/3 π r³

Examen muestra (Semana 3 y 4)
Define el concepto de círculo y circunferencia Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en un: A) Triángulo B) Pentágono C) Hexágono ¿Cuáles son los polígonos regulares? Calcula la medida del ángulo central de un pentágono regular Calcula la medida del ángulo interior de un pentágono regular Calcula el perímetro de un rectángulo cuyas medidas son 65 m de lago y 40 m de ancho. En una circunferencia sus ángulos notables son: Calcula la longitud de una circunferencia que mide 6 cm de radio Calcular el área de un círculo que mide 7.5 cm de diámetro.

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Guías Modulares de Estudio Matemáticas II Parte A

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