@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 Tema 14 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 Tema 14 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 Tema 10.5 * 1º BCS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Muchos experimentos sociales quedan determinados por dos sucesos contrarios: Hombre o mujer; mayor de 18 años o menor de 18 años; trabajador o en paro; etc. La distribución de probabilidad discreta que estudia estos experimentos recibe el nombre de distribución binomial. En general, a estos dos sucesos contrarios los calificamos por éxito (E) y fracaso (F). Esta distribución queda caracterizada por: (1)El resultado de una prueba del experimento aleatorio debe concretarse en dos únicas opciones que, como se ha dicho, llamaremos éxito (E) y fracaso (F). (2)Se realizan n ensayos del experimento, independientes unos de otros. (3)La probabilidad de éxito es constante a lo largo de las n pruebas y suele denotarse por p. P(E) = p Por tanto, la probabilidad de fracaso también es constante e igual a 1 – p = q. P(F) = q = 1 – P(E) = 1 – p (4)La variable aleatoria X cuenta el número r de éxitos en las n pruebas: r = 0, 1, 2,..., n Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2,..., ni. Tal variable binomial queda caracterizada por los parámetros n y p, y se escribe B(n, p)

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Ejemplo 1 En una reunión hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige una persona al azar, anotando el sexo de dicha persona. Se repite el experimento 30 veces. Hallar la probabilidad de que en 10 ocasiones el resultado haya sido “hombre”. Es una experiencia dicotómica. P(E) = p =40/100 = 0,40 P(F) = q = 1 – 0,40 = 0,60 n= 30 veces que se repite el experimento. La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(30, 0,30) Hay que hallar P(x=10) Notas importantes: El experimento se puede repetir un número de veces mayor que la cantidad de personas que hay. Podemos repetir el experimento 500, aunque hubiera sólo 3 personas en la reunión. Nos pueden pedir probabilidades tales como: P(“Que de las 30 veces que se ha repetido al menos en dos ocasiones halla sido hombre”) P(x ≥ 2) = P(x=2)+P(x=3)+…+P(x=30) O también: P(x ≥ 2) = 1 – P(x < 2) = 1 – [ (P(x=0) + P(x=1) ]

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Ejemplo 2 Un cazador tiene una probabilidad de 0,65 de acertar a una pieza en cada disparo. Si realiza 20 disparos, hallar la probabilidad de … a)Que no cace ninguna pieza. b)Que cace 7 piezas. c)Que cace al menos 3 piezas. Es una experiencia dicotómica, pues acierta el tiro o falla el tiro. P(E) = p =0,65 P(F) = q = 1 – 0,65 = 0,35 n= 20 veces que se repite la experiencia de disparar. La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(20, 0,65) a)P(x=0) b)P(x=7) c)P(x≥3) =P(x=3)+P(x=4)+…+P(x=20) P(x≥3) = 1 - P(x<3) = 1 – [ P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) ] Nota: Los cálculos necesarios para completar el ejemplo se ven más adelante.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Ejemplo 3 Una máquina produce 32 tornillos defectuosos cada 1000 unidades. Al realizar un control de calidad tomamos una caja de 50 tornillos. Hallar la probabilidad de que … a)Ningún tornillo resulte defectuoso. b)Halla 37 tornillos defectuosos. c)Halla menos de 3 tornillos defectuosos. Es una experiencia dicotómica o experimento de Bernouilli, pues cada tornillo examinado está defectuoso o no. P(E) = p =32/1000 = 0,032 P(F) = q = 1 – 0,032 = 0,968 n= 50 veces que se repite la experiencia, al examinar los 50 tornillos de la caja. La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(50, 0,032) a)P(x=0) b)P(x=37) c)P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) Nota: En este ejemplo, como en todos los demás, P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=n)=1

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 DISCRETA A BINOMIAL Cualquier distribución de probabilidad discreta, si ello nos interesa, se puede reducir, transformar, en una distribución de Bernouilli o experimento dicotómico: La probabilidad de éxito P(E) = p es la probabilidad del valor de la variable discreta (o rango de valores) que nos interese. La probabilidad de fracaso P(F) = q es la suma de probabilidades del resto de valores de la variable discreta. EJEMPLO_DE TRANSFORMACIÓN Lanzamos un dado al aire. Hay seis sucesos posibles. Y cada suceso tiene su probabilidad (pi=1/6). Es una distribución de probabilidad discreta. Pero si lo que nos interesa es obtener un 6, reducimos los sucesos a dos: P(“Obtener un seis”) = 1/6 P(“No obtener un seis”) = 1 – 1/6 = 5/6 Y hemos convertido el experimento no dicotómico en dicotómico. P(E) = p=1/6 ; P(F) = q= 5/6 Si el experimento se repite n veces  Distribución Binomial B(n, 1/6) Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado.

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 OTRO EJEMPLO DE TRANSFORMACIÓN En una población conocemos las siguientes probabilidades de una distribución de probabilidad discreta: P(“Un habitante gane 0 € /mes”) = 25 % = 0,25 P(“Un habitante gane 500 € /mes”) = 25 % = 0,25 P(“Un habitante gane 1000 € /mes”) = 20 % = 0,20 P(“Un habitante gane 1500 € /mes”) = 20 % = 0,20 P(“Un habitante gane 2000 € /mes”) = 10 % = 0,10 Si lo que nos interesa es saber si una persona elegida al azar gana más de 1000 € /mes o hasta 1000 €/mes, reducimos la distribución de probabilidades discretas a una distribución dicotómica o de Bernouilli: P(“Un habitante gane más de 1000 € /mes”) = 0,20 + 0,10 = 0,30 P(“Un habitante gane hasta 1000 € /mes”) = 1 – 0,30 = 0,70 Y hemos convertido la experiencia no dicotómica en dicotómica. P(E) = p=0,30 ; P(F) = q= 0,70 Si repetimos n veces el experimento  B(n, 0,30) Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado. Lo mismo haríamos si el resultado deseado (Éxito) fuera ganar hasta 500 €.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Tema 10.6 * 1º BCS FUNCIÓN DE PROBABILIDAD EN LA BINOMIAL

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Probabilidad de r éxitos Para conocer completamente la distribución de la variable binomial X = B(n, p), debemos encontrar la probabilidad de r éxitos: P(X = r) = pr, r = 0, 1,..., n. (1)Si n = 1, los éxitos o son 0 o son 1: P(X = 1)= P(E) = p P(X = 0)= P(F) = q ( 2)Si n = 2, los éxitos pueden ser 0, 1 y 2 : P(X = 2) = P(EE) = p.p = p 2 P(X = 1) = P(EF + FE) = pq + qp = 2.pq P(X = 0) = P(FF) = q.q = q 2 (3)Si n = 3, se tiene: P(X = 3) = P(EEE) = p.p.p = p 3 P(X = 2) = P(EEF + EFE + FEE) = ppq + pqp + qpp = 3 p 2 q P(X = 1) = P(EFF + FEF + FFE) = p qq + qpq + qqp = 3 p q 2 P(X = 0) = P(FFF) = q q. q = q 3

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 (4)Si n = 4, se tiene: P(X = 4) = P(EEEE) = p.p.p.p = p 4 P(X = 3) = P(EEEF + EEFE + EFEE + FEEE) = 4. p 3 q P(X = 2) = P(EEFF + EFEF + EFFE + FEFE + FEEF + FFEE) = 6.p 2.q 2 P(X = 1) = P(EFFF + FEFF + FFEF + FFFE) = 4.p.q 3 P(X = 0) = P(FFFF) = q.q.q.q = q 4 El exponente de p nos indica el número de éxitos y el exponente de q el de los consiguientes fracasos en n pruebas. Además, el coeficiente de cualquier monomio podemos deducirlo mediante el triángulo de Tartaglia o aplicando el Binomio de Newton. Se observa una simetría de las probabilidades en esta distribución, tanto en los coeficientes, k, como en las potencias de p y de q.

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 (5)Teniendo en cuenta lo anterior, para el caso n = 5 P(X = 5) = p 5 P(X = 4) = 5. p 4 q P(X = 3) = 10. p 3 q 2 P(X = 2) = 10. p 2 q 3 P(X = 1) = 5. p. q 4 P(X = 0) = q 5 En general: r n – r P(X = r)= k.p. q Para valores de n superiores a 5 se utiliza la Tabla de la Binomial, o se calcula el parámetro k sabiendo que es un número combinatorio. k = C = n! / r!. (n – r)! n, r

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 EJEMPLO RESUELTO 1 Lanzamos una moneda al aire 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 caras? RESOLUCIÓN: n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces r=7, pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. p=0,5, que es la probabilidad de éxito ( salir cara ). Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r)= k.p. q 7 20-7 P(x =7) = k. (1/2). (1 – ½) 7 7 20-7 7 13 P(x =7) = C. (1/2). (1 – ½) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,5. 0,5 = 20 = 77.520 0,00000095 = 0,074

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 EJEMPLO RESUELTO 2 Lanzamos un dado al aire 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 seises? RESOLUCIÓN: n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces r=7, pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. p=0,167, pues la probabilidad de éxito ( salir un seis ) es p = 1/6 = 0,167 Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r)= k.p. q 7 20-7 P(x =7) = k. (1/6). (1 – 1/6) 7 7 20-7 7 13 P(x =7) = C. (1/6). (5/6) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,167. 0,833 = 20 = 77520 0,000000334 = 0,026

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I15 Utilizando la función de probabilidad, calcular las probabilidades pedidas en: Ejemplo 1 En una reunión hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige una persona al azar, anotando el sexo de dicha persona. Se repite el experimento 30 veces. Hallar la probabilidad de que en 10 ocasiones el resultado haya sido “hombre”. Ejemplo 2 Un cazador tiene una probabilidad de 0,65 de acertar a una pieza en cada disparo. Si realiza 20 disparos, hallar la probabilidad de que no cace ninguna pieza, que cace 7 piezas, y de que cace al menos 3 piezas. Ejemplo 3 Una máquina produce 32 tornillos defectuosos cada 1000 unidades. Al realizar un control de calidad tomamos una caja de 50 tornillos. Hallar la probabilidad de que ningún tornillo resulte defectuoso, halla 37 tornillos defectuosos, y de que halla menos de 3 tornillos defectuosos. Ejercicios propuestos